九年级上册 第1章 反比例函数-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（湘教版）广西专版

书 吃透教材!九上!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# !" ! " # $ % ! ! " $%&'( !!!"反比例函数 教材知识梳理 !!反比例函数的概念!一般地!如果两个变量"与#的关系可以表示成 ! !!!!!$为常 数"$ " !!!!%#的形式!那么称"是#的反比例函数!其中#是自变量!常数$"$ ! %#称 为反比例函数的比例系数! #!反比例函数的取值范围 ""#反比例函数的自变量的取值范围是 # !所有非零实数!$ "&#在实际问题中!应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量的取值范围! 教材经典母题变式 教材母题 ! 反比例函数的概念及自变量的取值范围 例 "!"教材'( 练习)" 变式#下列式子是不是反比例函数% 若是!请写出它的比例系数! ""#"* # "+ $"&#"* ( #," $"(#"* 槡& -" # $".#"* " ( #-"$"+#"* & %&. # & $"/#"* " ( # ," $ "0#"*&# & -#,"$"1##"*+! 解!"!#"##"$#"%#"&#不是反比例函数$ "'#"(#")#是反比例函数%其中比例系数分别为槡# *!% ! ' %%! &方法指导'反比例函数的三种形式!$为常数"$ ! %#$!"#"* $ # %!&#"*$# ," %!(##"*$! 例 & !已知函数"*槡 $," # 是反比例函数!则$的取值范围是! " " + 且 " ! ! !! 教材母题 " 建立反比例函数模型 例 ( !"教材'. 习题)& 变式#已知某游泳池的体积%是 (/% 2(!用恰当的函数表达式表示 出底面积 &"2&#与该游泳池的高度 '"2#之间的关系!指出它是什么函数!并求函数的比 例系数及当 ' *. 2时 &的值! 解!因为游泳池的体积等于底面积乘以高%所以#,$%,'(+% 所以$%,'(+"定值#%即$与%成反比例%所以$, '(+ % "%-+#% 因此%当游泳池的体积一定时%它的底面积$是高度%的反比例函数% 所以这个函数的比例系数是 '(+%因此当%,$ .时%$, '(+ $ ,/+". # #! 易错剖析 易错点"忽略反比例函数的比例系数$ ! % 例 . !已知函数"*"$,&##3$3,(!$为整数#是反比例函数!则$的值为!!!!! 易错提醒 求反比例函数的系数问题"切勿遗漏两个因素$!"#系数不为 %"本题中系数$,& ! %"切 勿由于惯性思维而错解为$ ! %%!&#自变量#的指数为,"! 吃透教材!九上!第 "章 #" 众相原创 分层练!广西数学"#$# !!#"反比例函数的图象和性质 第 " 课时!反比例函数 &, " ' "" -+#的图象和性质 教材知识梳理 !!一般地!当 4 5%时!反比例函数6* 4 7 的图象由分别在第 ! !一(三!象 限内的两支曲线组成!它们与#轴&"轴 " !都不相交!!在每个象限内! 函数值"随自变量#的增大而 # !减小!!!如图# 教材经典母题变式 教材母题 ! 反比例函数&, " ' "" -+#的图象 例 "!"教材'0 练习""#变式#画出函数"* . # 的图象!并解答下列问题' ""#函数的图象分别位于哪些象限$ "&#在每个象限内!函数值"随自变量#的变化如何变化! 解!画反比例函数&, $ ' 的图象的步骤! 列表! ' 0) 0$ 0' 0# 0! 0 ! # ! # ! # ' $ ) &, $ ' 0 ! # 0! 0 $ ' 0# 0$ 0) ) $ # $ ' ! ! # 描点如解图 !! 连线如解图 #! "!#函数的图象分别位于第一(三象限$ "##在每个象限内%函数值&随自变量 '的增大而减小! &方法总结'用描点法作反比例函数"* $ # !$5%#的图象的步骤$!"#列表$以坐标原点为中心向两 侧取自变量互为相反数的三组以上的#""的对应值%!&#描点$在坐标系中描出各组 #""值对应的 点%!(#连线$在"轴两侧"分别用平滑曲线将!&#中所描点连接起来"并向两端延伸!注意图象不与 坐标轴相交#! 吃透教材!九上!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# $" &变式'当 ( 5)时!反比例函数"* ( ,) # 的图象大致是 "!!# 8 !!!!!!! 9 !!!!!!! : !!!!!!! ; 教材母题 " 反比例函数&, " ' "" -+#的性质 例 &!"教材'0 议一议变式#对于反比例函数"* + # !下列说法正确的是 "!!# !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8<函数图象分布在第二&四象限 9<点" ,"! ,+#在该函数图象上 :<当#5" 时!"5+ ;<当#5% 时!"的值随#值的增大而增大 &变式 "'反比例函数"* *-" # 的图象在第一&三象限!则*的取值范围是! (-0! !! &变式 &'已知点+"# " !" " #!,"# & !" & #是反比例函数 "* ( # 的图象上两点!且 # " =% =# & !则 " " ! 1 !" & !填& 5'& ='或& *'#! &方法指导'反比例函数值的大小比较方法$!"#求值法$代入已知点的横坐标或取满足条件的特殊 的#的值"求出对应的函数值"进而比较大小% !&#图象法$利用已知条件在图象中描出各点的大致位置"根据点的位置关系比较% !(#性质法$根据已知点所在象限及函数增减性比较函数值的大小! &变式 ('已知正比例函数"**#"* ! %#的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为"&! .#!则它们的另一个交点坐标是 "!!# 8<" ,&!.# 9<".!&# :<"&! ,.# ;<" ,&! ,.# 易错剖析 易错点"忘记反比例函数的增减性的前提条件 例 (!已知点+"&!" " #!,".!" & #!-" ,.!" ( #都在反比例函数"* $ # "$5%#的图象上!则" " ! " & !" ( 的大小关系是 "!!# 8<" " 5" & 5" ( 9<" ( 5" & 5" " :<" & 5" ( 5" " ;<" " 5" ( 5" & 易错提醒 在比较反比例函数的函数值大小时"需分情况选择求解方法$!"#若两点在同一象限" 则根据函数增减性比较%!&#若两点在不同象限"则根据所在象限的纵坐标符号比较"即正数5负数! 吃透教材!九上!第 "章 %" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!反比例函数 &, " ' "" 1+#的图象和性质 教材知识梳理 !!一般地!当$=%时!反比例函数"* $ # 的图象由分别在第 ! !二(四!象 限内的两支曲线组成!它们与#轴&"轴都 " !不相交!!在每个象限内! 函数值"随自变量#的增大而 # !增大!!!如图# 教材经典母题变式 教材母题 ! 反比例函数"# $ # "$$%#的图象 例 "!"教材'>例"变式#已知函数"*"*,&##* & ,+是反比例函数! ""#则*的值为! 0# !$ "&#画出该函数的图象! 解!"##当(,0# 时%反比例函数的解析式为&,0 $ ' % 画出的函数图象如解图! 例 &!"教材'"( 习题)0 变式#正比例函数"*,&#与反比例函数"*, " &# 在同一坐标系中 的大致图象是 "!!# 8 !!!!! 9 !!!!! : !!!!! ; &方法指导'画反比例函数"* $ # !$=%#的图象的常见方法$!"#描点法%!&#轴对称法$若已知"* ,$ # 的图象"可根据"* $ # 和"* ,$ # 的图象关于#轴和"轴成轴对称作图即可%!(#中心对称法$先 作出"* $ # 在第二象限的图象"再根据其关于原点中心对称的性质"作出第四象限的图象! 教材母题 " 反比例函数"# $ # "$$%#的性质 例 (!"教材'"& 习题)."&#变式#已知函数"* $-" # 的图象的两支分布在第二&四象限内! 则$的取值范围是! " 10! !! 例 .!"教材'&" 复习题)0 变式#已知反比例函数"* *-( # !当#5% 时!"随#的增大而增 大!则*的取值范围是! (10' !! &变式'点+" ,(!" " #!," ,"!" & #!-"&!" ( #都在反比例函数"* ,"& # 的图象上!则 " " !" & !" ( 的大小关系是! """" !!!用& ='连接# &方法总结'关于反比例函数"* $ # 的三个性质$!"#$=%%!&#在每个象限内""随#的增大而增大% !(#图象位于第二(四象限!以上三个性质知道任意一个"可得到其他两个! 吃透教材!九上!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# &" 第 ( 课时!反比例函数图象和性质的综合运用 教材知识梳理 !!反比例函数&, " ' "" ! +#的图象与性质! $的正负 $5% $=% 大致图象 所在象限 图象位于第 ! !一(三!象限 图象位于第 " !二(四!象限 增减性 在每个象限内!"随#的增大而 # !减小! 在每个象限内!"随#的增大而 $ !增大! 点的坐标特征 横坐标和纵坐标的积恒为 % !!!! 对称性 轴对称 图象关于直线 & !&,2' !成轴对称 中心对称 图象关于 ' !原点!成中心对称 #!待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤!""#设!设表达式为"* $ # "$ ! %#$"&#代!代 入已知点坐标得到一元一次方程$"(#解!解方程!求 $的值$".#写!写出反比例函数表 达式! '!反比例函数中系数 "的几何意义!如图!过反比例函数"* $ # 的图象上任意一点.分别作 #轴&"轴的垂线段./!.0!可得 &矩形./10*(!3"3!! &温馨提示'已知与反比例函数图象有关的图形面积"可由$的几何意义得出$的绝对值"再结合图 象所在象限"进而得出反比例函数的表达式! 教材经典母题变式 教材母题 ! 待定系数法求反比例函数的表达式 例 "!"教材'&" 复习题)(""#变式#若点+"&! ,(#是反比例函数图象上一点!求该反比例 函数的表达式! 吃透教材!九上!第 "章 '" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 教材母题 " 反比例函数与一次函数的综合 例 &!如图!直线 "*$#-)与双曲线 "* * # "#=%#交于 +" ,(!"#!,两点!与 #轴交于点 -" ,.!%#! ""#分别求一次函数与反比例函数的解析式$ "&#连接1+!1,!求 # +1,的面积$ "(#直接写出当#=% 时!关于#的不等式$#-)= * # 的解集! 解!"!#将)" 0'%!#%*" 0$%+#代入&,"' *+% 得 0'" *+ ,!% 0$" *+ ,+ { % 解得 " ,!% + ,$ { % 4一次函数的解析式为&,' *$% 将)" 0'%!#代入&, ( ' "' 1+#% 得(,0'% 4反比例函数的解析式为&,0 ' ' "' 1+#$ "##5直线),的解析式为&,' *$%且与&轴交于点-% 4点-的坐标为"+%$#% 由 &,' *$% &,0 ' ' { %解得 ' ,0'% & { ,! 或 ' ,0!% &,' { % 4点,的坐标为" 0!%'#% 4$ # )., ,$ # ).- 0$ # ,.- , ! # 6$ 6' 0 ! # 6$ 6! ,$$ "'#观察图象%当 ' 1+ 时%关于 '的不等式 "' *+ 1 ( ' 的解集是 ' 10' 或0! 1' 1+! &方法指导'反比例函数与一次函数结合时常考的题型及解题方法$ !"#求函数的表达式!先根据已知点或交点的坐标求出反比例函数的表达式"再求出另一个交点" 再根据待定系数法求一次函数的表达式! !&#求交点的坐标!将一次函数与反比例函数的表达式联立成方程组求解即可%对于正比例函数与 反比例函数"它们的图象均关于原点对称"只要知道一个交点的坐标"利用对称性即可求出另一个 交点的坐标! 吃透教材!九上!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# (" "(#已知两个函数值的大小关系%求自变量的取值范围! 分区$过两个函数图象的交点分别作 "轴的平行线"连同 "轴"将平面分为 ) ( * ( + ( , 四 个部分"如图所示"观察两个函数图象的上下关系即可求出对应自变量的取值范围! 教材母题 & 反比例函数中系数 "的几何意义 例 (!"教材'&( 复习题)"& 变式#如图!点+是反比例函数"* 1 # "#=%#的图象上的一点! 过点+作平行四边形+,-2!使点,!-在#轴上!点2在"轴上!则平行四边形+,-2的 面积为 "!!# 8<& 9<. :<1 ;<"/ &方法指导'!"#反比例函数与几何图形结合的面积问题"一般考虑利用$的几何意义求解"若为不 规则的图形"则将其分割"求面积之和% !&#因为反比例函数"* $ # !$ ! %#中的比例系数 $有正(负之分"所以用 $表示三角形或四边形的 面积时要给$加上绝对值符号"再根据函数图象所在象限确定$的正负! 易错剖析 易错点"根据面积求$值时忽略正负 例 .!已知点+为反比例函数"* $ # 的图象上的一点!过点+分别作#轴&"轴的平行线!与 坐标轴围成的矩形面积为 1!则$的值为! 2) !! 易错提醒 在应用反比例函数的系数$的几何意义解题时"勿忽略$的符号"若题目未说明"则需 考虑$为正负的情况! 吃透教材!九上!第 "章 )" 众相原创 分层练!广西数学"#$# !!'"反比例函数的应用 教材知识梳理 反比例函数实际应用的常见关系! "!实际问题!""#行程问题!路程一定时!速度* 路程 时间 $ "&#销售问题!总销售额一定时!销量* 总销售额 单价 ! &!几何问题!常见为面积问题!如面积一定时!长方形的长和宽&三角形的底和高成反比例函 数关系等! (!常见跨学科问题! ""#压强问题!压力一定时!压强* 压力 受力面积 $ "&#电学问题!电压一定时!电流* 电压 电阻 $ "(#密度问题!质量一定时!密度* 质量 体积 ! 教材经典母题变式 教材母题 ! 利用反比例函数解决实际问题 例 "!王琪购买一套商品房!首付 .+ 万元!剩余部分需贷款并按(等额本金)的形式偿还!所 谓等额本金!就是在客户还款的时候!在还款期内把贷款总额进行等分!然后每月偿还同 等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息!若每月偿还贷款金额 "万元!#个月还 清!且"是#的反比例函数!其图象如图所示! ""#求"与#之间的函数关系式$ "&#王琪购买的商品房的本息和是! !+% !万元$ "(#若王琪计划每月偿还贷款不超过 ( %%% 元!则至少需要多少个月还清% 解!"!#设反比例函数的解析式为&, " ' "" ! +#% 5点"!#+%+!%#在反比例函数的图象上% 4" ,!#+ 6+!% ,(+% 4&与 '之间的函数关系式为&, (+ ' "' -+#$ "'#当& $ ' +++ ,+!' 万元时%即 (+ ' $ +!'%解得 ' " #++! 答!若计划每月偿还贷款不超过 ' +++ 元%则至少需要 #++ 个月还清! 吃透教材!九上!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# *" 例 &!"教材'"/ 练习)& 变式#某煤气公司要在地下修建一个容积为 "%. 2( 的圆柱形煤气 储存室!该储存室的底面积为 & 2&!深度为 3 2! ""#求 &与 3之间的函数关系式$ "&#该公司决定把储存室的底面积定为 .%% 2&!则施工队施工时应该向地下掘进多深% 解!"!#由题意%得$/ ,!+$%4$与 /之间的函数关系式为$, !+ $ / "/ -+#$ "##当$,$++ 时%$++ , !+ $ / %解得 / ,#%% 答!施工队施工时应该向地下掘进 #% .! 教材母题 " 利用反比例函数解决跨学科问题 例 ( !"&%&( 宁夏改编#给某气球充满一定质量的气体!在温度不变时!气球内气体的气压 4"4'?#是气体体积%"2(#的反比例函数!当体积为 %!%. 2( 时!气压4*"&% 4'?!其图象 如图所示! ""#求4与%之间的函数关系式$ "&#当气球内的气压超过 "+% 4'?时!气球会爆炸!若将气球近似看成一个球体!试估计 气球的半径至少为多少时气球不会爆炸!球体的体积公式%* . ( - 5 ( " - 取 (#$ "(#请你利用4与%的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎! 解!"!#设 0与#之间的函数关系式为 0 , " # "" ! +#% 5点"+!+$%!#+#在该函数图象上%4" ,0#,!#+ 6+!+$ ,$!)% 40 , $!) # "#-+#$ "##当 0 ,!%+ 时%#, $!) !%+ ,+!+'#%4 $ ' 6'1 ' ,+!+'#%解得1,+!#% 5" ,$!) -+%40随#的增大而减小%4要使气球不会爆炸%则# " +!+'#%此时1 " +!#% 4气球的半径至少为 +!# .时%气球不会爆炸$ "'#由于车辆超载%轮胎体积变小%胎内气压增大则容易导致爆胎! 易错剖析 易错点"忽略实际问题中的特定条件而出错 例 .!&例 ( 变式'已知在温度不变时!气球内的气压4与气球体积%成反比例关系!则下列 关于4与%的函数图象正确的是 "!!# 8 !!!!!! 9 !!!!!! : !!!!!! ; 易错提醒 在实际问题中"要注意所涉及变量取值范围的隐含条件"如本题中"%应为正数"即图象 只保留第一象限的部分! ''# ! $ "#./01 !!$!#!$!$!$!%!4!&!('-<!'!0!(!$!)!$!*!4!!-!$ !!!0!!#!$!!$!$!!%!%!!&!%!!'!$!!(!$!!)!'槡' ! % " KL %!!"随机事件与可能性 !!4!#!0!$!4!%!!("!&!解!!'" 9!(" 9!8" 9!&"! '!4!(!0!)!'!*!甲 %!#"概率及其计算 &!#!! MN1MO !!$!#!%!$!(!%!4!&!%!'! ' + !(!% )!解!!("-!!'" & + !&"设取走了#个红球#则放入了#个白球#根据题意#得 8 5# (- * 8 + #解得##*8!答&取走了 8 个红球! *! & + &!#!# PQR)SMN 第 ( 课时!用列表法求概率 !!$!#!%!$!$!%!%!&! ' & '!解!列表略!则一共有 = 种等可能的结果#其中两人选择同一种 型号的免洗洗手液的结果有 & 种#,小辰和小安选择同一种型 号的免洗洗手液的概率为 & = * ( & ! (!0!)!0!*! ( 8 !-!解!!("列表如下& 直行 左转 右转 直行 !直行#直行" !直行#左转" !直行#右转" 左转 !左转#直行" !左转#左转" !左转#右转" 右转 !右转#直行" !右转#左转" !右转#右转" 由表格可知#共有 = 种等可能的结果$ !'"由!("可知#至少有一辆车向左转的结果有&!直行#左 转"#!左转#直行"#!左转#左转"#!左转#右转"#!右转#左 转"#共 + 种#,至少有一辆车向左转的概率为 + = ! !!!解!!(" & 8 !'"列表略! 由表可知#一共有 (2 种等可能的情况#其中小华抽出的牌上 的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的情况有 2 种# ,小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字 大的概率是 2 (2 * & ; ! !#!%!!$! ( & 第 ' 课时!用树状图法求概率 !!$!#! ( & !$! ( 2 %!解!!(" ( 8 !'"画树状图如解图& 一共有 (2 种等可能的结果#其中第 ' 次摸到的小球编号比第 ( 次摸到的小球编号大 ( 的情况有 & 种#,/!第 ' 次摸到的小 球编号比第 ( 次摸到的小球编号大 (" * & (2 ! &!解!!(" ( 8 !'"画树状图略! 共有 (2种等可能的结果#其中李叔叔恰好两次进入同一闸口的结 果有 8种#,李叔叔恰好两次进入同一闸口的概率为 8 (2 * ( 8 ! '!%!(!$!)!4!*! ( 2 !-!解!!("8--!&+!!!'"('2 !&"画树状图如解图& 由树状图可知#共有 (' 种等可能的结果#其中和为奇数的结 果有 ; 种#和为偶数的结果有 8 种#,/!小明去" * ; (' * ' & # /!小刚去" * 8 (' * ( & #) ' & ! ( & #,这个游戏规则不公平! !!! & ; 小专题培优 $!"概率的放回与不放回试验 !!%!#!$!$!0 %!解!由题意可得#画树状图如解图& 共有 = 种等可能的结果#其中小米和小美摸到的球都是红球的 结果有 ( 种#,小米和小美摸到的球都是红球的概率为 ( = ! &!解!!("画树状图如解图& 共有 = 种等可能的结果$ !'"由树状图可知#共有 = 种 等可能的结果#其中两次抽到 卡片上的数字之积是奇数的有 8 种结果#,/!两次抽到卡片 上的数字之积是奇数" * 8 = ! '!0!(!%!)!0!*! + 2 !-!解!!(" ( 8 !'"用树状图表示所有等可能出现的结果如解图& 共有 ('种等可能出现的结果#其中两人都没有抽到'$<夏至(的 有 2种#,两人都没有抽到'$<夏至(的概率为 2 (' * ( ' ! %!$"用频率估计概率 !!4!#!-!+!$!$!%! ( (- &!解!!("这批乒乓球中#随机抽取一个#恰好是'优等品(的概率 估计是-!=8=$ !'")袋中一共有 + 5(& 5'' *8- 个球#其中有 + 个黄球#,从 袋中摸出一个球#该球恰好是黄球的概率为 + 8- * ( ; ! '!4!(! ( + !0 )!解!!("-!8 !'" # )摸到黑球的频率接近 -!8#,摸到白球的频率约为 -!2#则估算袋中两种颜色的球共有 8 D-!2 - 1!个"$ ! 小明又将 %个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里#则袋 中球的总个数约为!% 51"个#其中黑球的个数约为!% 5&"个# ,摸出黑球的概率是 % 5& % 51 ! *! ( & !-!解!!("'& !'"数学学习小组的结论不正确!因为 + 点朝上的频率为 -!(8#不能说明 + 点朝上这一事件发生的概率就是 -!(8#只 有当试验的次数足够多时#该事件发生的频率才稳定在事件 发生的概率附近#才可以将这个频率的稳定值作为该事件发 生的概率$ !&"设盒子中大约有白球 #个#根据题意得& 8- 8- 5# *-!8#解 得&#*2-#经检验#*2- 是原方程的解#答&估计盒子中有白 球 2- 个! ! % " ./01 !!0!#!0!$!$!%!4!&! ' + !'! & + !(! ( & !)! ( & !*! ( ' ! !-! & 8 !!!! ( 2 !#!解!!("列表如下& ! ! 红 ( 红 ' 白 ( 白 ' 红 ( - !红 ' #红 ( " !白 ( #红 ( " !白 ' #红 ( " 红 ' !红 ( #红 ' " - !白 ( #红 ' " !白 ' #红 ' " 白 ( !红 ( #白 ( " !红 ' #白 ( " - !白 ' #白 ( " 白 ' !红 ( #白 ' " !红 ' #白 ' " !白 ( #白 ' " - 总共 (' 种等可能的结果$ !'"不公平!理由如下&由!("可得#共有 (' 种等可能的结果# 其中摸到两个小球的颜色相同的结果有 8 种#摸到两个小球 颜色不同的结果有 ; 种#,/!甲获胜" * 8 (' * ( & #/!乙获胜" * ; (' * ' & !) ( & ! ' & #,这个游戏对甲%乙双方不公平! !$!解!!(" ( & !'"画树状图如解图& 由树状图可知#共有 = 种等可能 的结果#其中这两个班抽到不同 卡片的结果有 2 种#,这两个班 抽到不同卡片的概率为 2 = * ' & ! !%!解!!("根据题意画树状图如解图& 共有 = 种等可能的情况#其中两个数 字和是奇数的有 8 种情况#则甲胜的 概率是 8 = $ !'"不公平!理由如下&)甲胜的概率是 8 = #,乙胜的概率是 + = #) 8 = ! + = #,这个游戏对两人不公平! !&!解!!("全等!三边分别相等的两个三角形全等!或'边边边( 或'JJJ(" !'"画树状图如解图& 由树状图可知#所有可能出现的结果为! #! "#! #" "#! ! # "#! !" "#! "# "#! "! "共有 2 种等可能的情况#符合 条件的情况有! #! "#! #" "#! !# "#! "# "8 种# ,/! # ()1 ,# (*1" * 8 2 * ' & ! !'!%!!(!=+! 吃透教材 ! " # $ % ! ! " $%&'( !!!"反比例函数 # "* & # ! !! ! " 所有非零实数 例 (!解!!("!'"!8"!+"!1"不是反比例函数$ !&"!2"!;"是反比例函数#其中比例系数分别为槡' 5(# ( & #+! 例 '!& % - 且& ! ( 例 &!解!因为游泳池的体积等于底面积乘以高#所以 K*$6 * &2-#所以 $6 *&2-!定值"#即 $ 与 6 成反比例#所以 $ * &2- 6 !6 /-"#因此#当游泳池的体积一定时#它的底面积 $是高度 6 的反比例函数#所以这个函数的比例系数是 &2-#因此当 6 * 8 3时#$ * &2- 8 *=-!3 ' "! 例 8!.' !!#"反比例函数的图象和性质 第 ( 课时!反比例函数!+ " # !" ,-"的图象和性质 # 一%三! ! 都不相交! " 减小 例 (!解!画反比例函数"* 8 # 的图象的步骤& 列表& # .; .8 .& .' .( . ( ' ( ' ( ' & 8 ; "* 8 # . ( ' .( . 8 & .' .8 .; ; 8 ' 8 & ( ( $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ' 参考答案 '(# ! 描点如解图 (& 例 ( 题解图 ( ! 例 ( 题解图 ' 连线如解图 '& !("函数的图象分别位于第一%三象限$ !'"在每个象限内#函数值"随自变量#的增大而减小! "变式#%!例 '!$!"变式 (#'/.(!"变式 '# 9 "变式 &#4!例 &!0 第 ' 课时!反比例函数!+ " # !" .-"的图象和性质 # 二%四! ! 不相交! " 增大 例 (!解!!(" .' !'"当'*.' 时#反比例函数的解析式为"*. 8 # # 画出的函数图象略! 例 '!$!例 &!&9.(!例 8!'9.&!"变式#" & 9" ( 9" ' 第 & 课时!反比例函数图象和性质的综合运用 # 一%三! ! 二%四! " 减小! $ 增大! % &! ' "*7#! ( 原点 ) 6&6 例 (!解!设反比例函数的表达式为 "* & # !& ! -"#)点 (!'# .&"是反比例函数 "* & # !& ! -"图象上一点#,将点 (!'# .&"代入反比例函数"* & # !& ! -"#可得 .& * & ' #即 &*' : ! .&" *.2#,该反比例函数的表达式为"*. 2 # ! 例 '!解! !(" 将 (! .&# ("#*! .8# -" 代入 "*&#5+#得 .&&5+*(# .8&5+*- { # 解得 &*(# +*8 { # ,一次函数的解析式为"*#58#将 (! .&#("代入"* ' # !#9-"#得 '*.&#,反比例函数的解 析式为"*. & # !#9-"$ !'")直线()的解析式为 "*#58#且与 "轴交于点 1#,点 1的坐标为!-#8"#由 "*#58# "*. & # { #解得 #*.&#"{ *( 或 #*.(#"*&{ # , 点)的坐标为! .(#&"#,$ # (.) *$ # (.1 .$ # ).1 * ( ' :8 :& . ( ' :8 :( *8$ !&"观察图象#当#9- 时#关于 #的不等式 &#5+9 ' # 的解集 是#9.& 或.( 9#9-! 例 &!%!例 8!7; !!$"反比例函数的应用 例 (!解!!(""与#之间的函数关系式为"* 2- # !#/-"$ !'"(-+ !&"当" " & --- *-!& 万元时#即 2- # " -!&#解得# % '--! 答&若计划每月偿还贷款不超过 & --- 元#则至少需要 '-- 个 月还清! 例 '!解!!("$与 >之间的函数关系式为$ * (- 8 > !> /-"$ !'"当 $ *8-- 时#8-- * (- 8 > #解得 > *'+#答&施工队施工时应 该向地下掘进 '+ 3! 例 &!解!!("4* 8!; K !K/-"$ !'"当4*(+- 时#K* 8!; (+- *-!-&'#, 8 & :&= & *-!-&'#解得=* -!'#)&*8!; /-#,4随K的增大而减小#,要使气球不会爆 炸#则K % -!-&'#此时= % -!'# ,气球的半径至少为 -!' 3时#气球不会爆炸$ !&"由于车辆超载#轮胎体积变小#胎内气压增大则容易导致 爆胎! 例 8!% ! # " 234567 #!!"一元二次方程 # -! ! 一个! " 二! $ %#+#9! % 二次项系数 例 (!4 例 '!解!#' .'#!'#.'5(" *###' .''#' 5''#.'#*##!( . ''"# ' 5!' ' .'.("#*-#当 ( .'' ! -#即 ' ! ( ' 时#关于 # 的方程#' .'#!'#.'5(" *#是一元二次方程#此时二次项 系数为 ( .''$一次项系数为 '' .'.($常数项为 -!当 '* ( ' 时#( .''*-#此时原方程不是一元二次方程! "变式#&! .&! .+ 例 &!!("#' .1#52 *-!!'"#' .;#*- 例 8!( #!#"一元二次方程的解法 #!#!! '() 第 ( 课时!利用平方根的意义解一元二次方程 #槡4!!降次 例 (!%!"变式#8!例 '!# ( *槡1##' *.槡1 "变式#解!!("原方程化为#' *'+#根据平方根的意义得## ( *+# # ' *.+$ !'"原方程化为 ;(#' *'+#等号两边同时除以 ;( 得##' * '+ ;( # 根据平方根的意义得## ( * + = ## ' *. + = ! 例 &!解!!("移项得#!'#5&" ' *'+#开平方得#'#5& *7+#解 得## ( *(## ' *.8$ !'"移项得#&!#.(" ' *('#等号两边同除以 & 得#!#.(" ' * 8#开平方得##.( *7'#解得## ( *&## ' *.(! 例 8!解!移项#得8!'#.("' *'+!#5("'#开平方#得'!'#.(" *7+ !#5("#即 '!'#.(" *+!#5("或 '!'#.(" *.+!#5("#解 得## ( *.1## ' *. ( & ! 第 ' 课时!配方法###二次项系数为 ( # 一次项系数的一半! ! 一元一次 例 (!!("'!(!!'"&!8!!&" & ' !! . 1 8 " "变式#% 例 '!解!!("#' 5;#.= *-#移项得##' 5;#*=#配方得##' 5;#5 (2 *= 5(2#即!#58" ' *'+#开平方得##58 *7+##58 *+ 或 #58 *.+#解得## ( *(## ' *.=$ !'"原方程变形为#' .2#5; *-#移项#并配方得##' .2#5= * .; 5=#即!#.&" ' *(#开平方得##.& *( 或 #.& *.(#解 得## ( *8## ' *'! 例 &!解!!("配方法!!'" ! !等号右边没有加 = !&"正确解答过程为&#' 52#.8 *-#移项得##' 52#*8#配方 得##' 52#5= *8 5=#即!#5&" ' *(&#,#5& *7槡(&#,#5 & *槡(&或#5& *.槡(&#,#( *槡(& .&##' *.槡(& .&! "变式#$ 第 & 课时!配方法###二次项系数不为 ( # (! ! 配方 例!解!!("二次项系数化为 (得##' 5'#* ( ' #配方得##' 5'#5( * & ' #, !#5( " ' * & ' #,#5( *7 槡2 ' #,# ( * .' 5槡2 ' # # ' * .' .槡2 ' $ !'"8# ' *( 5('##移项得#8#' .('#*(#二次项系数化为 ( 得##' .&#* ( 8 #配方得##' .&#5 = 8 * ( 8 5 = 8 #即!#. & ' " ' * + ' #开平方得##. & ' *7 + 槡' #则 #. & ' * 槡(- ' 或 #. & ' * . 槡(- ' #解得## ( * 槡(- 5& ' ## ' * .槡(- 5& ' ! #!#!# *+) # #* .+7 + ' .8槡 %9 '% 例 (!解!!(")% *(#+*.;#9*.+#,+' .8%9*! .;" ' .8 : ( :! .+" *;8#,#* ; 7'槡'( ' *8 7槡'(#即 #( *8 5槡'(# # ' *8 .槡'($ !'"将方程整理#得#' .8槡'#5; *-#)% *(#+*.8槡'#9*;# ,+ ' .8%9*! .8 槡'" ' .8 :( :; *-#,#* .! .8槡'" ' * '槡'#即#( *#' *'槡'$ !&"# ( * (( 5槡(& 2 ## ' * (( .槡(& 2 $ !8"将方程整理#得#' 58#5(2 *-!)% *(#+*8#9*(2#,+' .8%9*8 ' .8 :( :(2 *.8; 9-#,此方程无实数根! 例 '!0 例 &!解!!("一!原方程未化为一般形式 !'"原方程化为#' .+#.( *-#)% *(#+*.+#9*.(#,+' . 8%9*! .+" ' .8 :( :! .(" *'= /-!,#* + 7槡'= ' #,# ( * + .槡'= ' ## ' * + 5槡'= ' ! #!#!$ ,+-.) 第 ( 课时!因式分解法解一元二次方程 # 降次! ! 乘积 例 (!% "变式#解!!#.(" ' .8!#.(" *-#方程左边因式分解得#!#.(" !#.( .8" *-#即!#.("!#.+" *-#,#.( *- 或 #.+ *-# 解得## ( *(## ' *+! 例 '!解!!("!&#.8" ' .!8#5(" ' *-#由平方差公式得#! .#. +"!1#.&" *-#解得## ( * & 1 ## ' *.+$ !'"原方程整理得##' .;#5(2 *-#方程左边因式分解得#!#. 8" ' *-#解得## ( *# ' *8! 例 &!# ( *'## ' * ' & 第 ' 课时!用适当的方法解一元二次方程 # 直接开平方法! ! 配方法! " 因式分解法! $ 公式法 例 (!0 例 '!解!!(" !'#5&" ' .'+ *-#移项得#!'#5&" ' *'+#,'#5 & *+ 或 '#5& *.+#解得## ( *(## ' *.8$ !'"'# ' .1#.' *-#,% *'#+*.1#9*.'#即+' .8%9*8= 5 (2 *2+# , #* 1 7槡2+ ' :' * 1 7槡2+ 8 # , # ( * 1 5槡2+ 8 # # ' * 1 .槡2+ 8 $ !&"!#5'" ' *&!#5'"#移项得#!#5'" ' .&!#5'" *-#等号 左边因式分解得#!#5'"!#5' .&" *-#,#5' *- 或 #5' . & *-#解得## ( *.'## ' *($ !8"# ' .'#.& *-#移项得##' .'#*&#方程两边同时加 ( 得# # ' .'#5( *& 5(#即!#.(" ' *8#,#.( *' 或#.( *.'#解 得## ( *&## ' *.(! #!$"一元二次方程根的判别式 ## ! !# *+ ' .8%9! " 两个相等! $ 没有 例 (!0 例 '!解!!(")% *'#+*&#9*.8#, # *& ' .8 :' :! .8" * 8( /-#,此方程有两个不相等的实数根$ !'")% *(#+*.'槡&#9*&#,#*! .'槡&" ' .8 :( :& *-# ,此方程有两个相等的实数根$ !&"原方程可化为 +#' .1#5+ *-#)% *+#+*.1#9*+# , # *! .1" ' .8 :+ :+ *.+( 9-#,此方程没有实数根! 例 &!& % . ( ; 且& ! -!"变式 (#=!"变式 '# .8 9&98 例 8!&/& 且& ! + 例 +!解!当&*- 时#方程为一元一次方程 #.' *-#此时方程有 实根#符合题意$当& ! - 时#方程为一元二次方程&#' 5#.' * -# # *( ' .8&:! .'" *( 5;&#由题意得# #% -#即 ( 5;& % -# 解得#& % . ( ; #,& % . ( ; 且& ! -!综上所述#符合题意的&的 取值范围为& % . ( ; ! ' #!%"一元二次方程的根与系数的关系 # . + % ! ! 9 % 例 (!解!!(" # *& ' .8 :( :( *+ /-!,# ( 5# ' *.&## ( # ' *($ !'"原式整理得&&#' 5#.& *-! # *( ' .8 :& :! .&" *&1 / -!,# ( 5# ' *. ( & ## ( # ' * .& & *.(! 例 '!'!例 &!'-!例 8!1!例 +!' #!&"一元二次方程的应用 第 ( 课时!平均变化率$销售利润问题 # %!( 5#" ' *+! ! %!( .#" ' *+! " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 销售量 参考答案