圆的认识与周长（讲义）-2023-2024学年六年级上册数学北师大版

课 题 圆（一）--圆的认识与周长 教学目标 1.使学生认识圆，掌握圆的特征，了解圆的各部分名称； 2.学会使用圆规，掌握用圆规画圆的方法步骤； 3.运用所学的知识解决生活中的实际问题，感受数学与生活的密切联系，体会数学应用的价值 重难点 1.理解圆心、半径、直径的定义及关系，掌握圆的位置与大小由圆心和半径决定。 2.将圆的特征与日常生活现象相联系，理解圆的应用。 3.理解圆周率π的概念，掌握周长与直径的关系，熟记周长公式C = πd 或 C = 2πr。 4.灵活运用周长公式解决实际问题，特别是当条件不直接给出时。 教学过程 【学生定位】 问题1 圆的认识 1. 两端都在圆上的线段（　　） A．一定是直径 B．不一定是直径 C．一定不是直径 2．先画一条通过A、B的直线，再画一个通过A、B两点的最小的圆，并标明圆心与直径． 问题2 圆的周长 1. 画圆时，圆的周长为15.7cm，那么圆规两脚间的距离为（　　） A．2.5cm B．5cm C．15.7cm 2. 一个挂钟的时针长2.5厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（　　） A．15.7厘米 B．31.4厘米 C．78.5厘米 3. 如图，一个半圆形的半径是r，它的周长是（　　） A．2πr× B．πr+r C．（π+2）r D．πr2 【精准突破】 【精准突破1】圆的认识 【知识要点】 1、 圆的认识 1.圆是平面上的一种曲线图形。 二、圆的各部分名称 1.圆心：用圆规画出圆以后，针尖固定的一点就是圆心，通常用字母O表示，圆心决定圆的位置。 2.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。半径决定圆的大小。半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。 3.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段。 4.圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 三、圆的主要特征 1.等圆：两个半径相等的圆叫做等圆。等圆经过平移可以完全重合。如图： 2.同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。如图： 3.在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 4.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。 用字母表示为： d＝2r， r ＝d 用文字表示为：直径=半径×2 半径=直径÷2 5.如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。圆是轴对称图形且有无数条对称轴。 【例题精讲】 【例题1-1】圆的周长是直径的3.14倍．　　（判断对错） 【例题1-2】直径是5厘米的圆比半径是3厘米的圆小．　．（判断对错） 【例题1-3】两端都在圆上的线段，直径最长．　 　（判断对错） 【精准突破2】圆的周长 1. 圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长，直径的长短决定圆周长的大小。 2. 圆周率的意义：圆的周长与它的直径的比是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。 π≈3.141596535……，计算时通常取π≈3.14. 3. 圆的周长计算公式：如果用C表示周长，那么或，后面跟长度单位：米，厘米等。 4. 圆的周长计算公式的应用 （1） 已知圆的半径，求圆的周长： （2） 已知圆的直径，求圆的周长： （3） 已知圆的周长，求圆的半径： （4） 已知圆的周长，求圆的直径： 5.半圆的周长等于圆周长的一半加上直径的长，即： 【例题精讲】 【例题2-1】一个时钟的分针长12厘米，它走1小时，分针的针尖所经过的路线的总长为　 　． 【例题2-2】用圆规画一个周长是18.84cm的圆，圆规两脚之问的距离应取　 　． 【例题2-3】一个半圆形，半径是3厘米，它的周长是　 　厘米． 【巩固】 【巩固一】圆的认识 1. 圆的直径的长度总是半径的2倍．　 　（判断对错） 2. 圆的半径增加1cm，它的直径就增加2cm． 　 （判断对错） 3. 画一个半径为1.5厘米的圆、并标出圆心、半径和直径． 【巩固二】圆的周长 1. 一个圆的周长是12.56厘米，如果把这个圆平均分成两半，每个半圆的周长是6.28厘米．　错误　． 2. 小刚骑自行车走125.6米，车轮正好转了50圈，这辆自行车车轮直径是　 　米． 3.圆的周长是6.28米，半圆的周长是　 米． 【查漏补缺】 1. 通过圆心并且两端都在圆上的（　　）叫做圆的直径． A． 射线 B．线段 C．直线 2. 圆的周长除以它的直径等于3.14．　　．（判断对错） 3. 画一个半径是2厘米的圆． 4. 半圆的周长等于整圆的周长的一半　 （判断对错） 5. 用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离是4cm，那么这个圆的半径是　 cm，直径是　　cm． 6. 画圆时，圆规两脚张开的距离是圆的　 　． 7. 一个半圆，半径是r，它的周长是（　　） A． B．πr C．πr+2r 【举一反三】 1. 如图，有3个大小相同的圆，它们的阴影部分周长一样长．　 　． 2. 李师傅想把3根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起（如图），捆一圈（接头处不计）至少需铁丝　 厘米． 3. 图中的两个小圆的周长的和与大圆的周长比较，（　　） A．一样长 B．大圆的周长长 C．大圆的周长短 D．无法比较 【效果验证】 1. 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做　 　，用字母　 　表示；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做　 　，用字母　 　表示． 2. 在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是　 　厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是　 　厘米． 3.一个圆的半径1分米，它的半圆周长是（　　）分米． A．3.14 B．4.14 C．5.14 4.一只挂钟的分针长20cm，经过30分钟后，分针的尖端所走的路程是　 　cm． 【课后作业】 1. 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做　 　，用字母　 　表示；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做　 　，用字母　 　表示． 2. 用圆规画一个半径为5厘米的圆，圆规两脚间的距离是　 　，画一个直径是6厘米的圆，圆规两脚间的距离是　 　． 3. 大圆的圆周率与小圆的圆周率相等．　 　． （判断对错） 4. 在同一个圆中，所有的直径都是半径的2倍．　 　．（判断对错） 5. 挂钟分针的针尖在小时内，正好走了25.12厘米．它的分针长多少？ 6. 一个圆形花池的周长是50.24米，它的半径是多少米？ 7. 画一个直径是4厘米的圆，标出圆心、半径和直径． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 圆（一）--圆的认识与周长 教学目标 1.使学生认识圆，掌握圆的特征，了解圆的各部分名称； 2.学会使用圆规，掌握用圆规画圆的方法步骤； 3.运用所学的知识解决生活中的实际问题，感受数学与生活的密切联系，体会数学应用的价值 重难点 1.理解圆心、半径、直径的定义及关系，掌握圆的位置与大小由圆心和半径决定。 2.将圆的特征与日常生活现象相联系，理解圆的应用。 3.理解圆周率π的概念，掌握周长与直径的关系，熟记周长公式C = πd 或 C = 2πr。 4.灵活运用周长公式解决实际问题，特别是当条件不直接给出时。 教学过程 【学生定位】 问题1 圆的认识 1. 两端都在圆上的线段（　　） A．一定是直径 B．不一定是直径 C．一定不是直径 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：因为通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，所以两端都在圆上的线段不一定是直径．故选：B． 【点评】此题主要考查了圆的直径的含义，应注意基础知识的积累．注意直径一定通过圆心． 2．先画一条通过A、B的直线，再画一个通过A、B两点的最小的圆，并标明圆心与直径． 【考点】9L：画圆．【解答】解：作图如下： ． 【点评】解答此题的关键是确定最小圆的直径，然后再作图即可． 问题2 圆的周长 1. 画圆时，圆的周长为15.7cm，那么圆规两脚间的距离为（　　） A．2.5cm B．5cm C．15.7cm 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：15.7÷3.14÷2=5÷2=2.5（cm）答：圆规两脚间的距离是2.5cm．故选：A． 【点评】此题考查了圆的周长的计算和画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径这两部分知识． 2. 一个挂钟的时针长2.5厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（　　） A．15.7厘米 B．31.4厘米 C．78.5厘米 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：3.14×2.5×2×2=3.14×5×2=3.14×10，=31.4（厘米）； 答：一昼夜这根时针的尖端走了31.4厘米；故选：B． 【点评】解答此题的关键是先判断时针一昼夜走了两个圆周，再根据圆的周长公式C=2πr解决问题． 3. 如图，一个半圆形的半径是r，它的周长是（　　） A．2πr× B．πr+r C．（π+2）r D．πr2 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：πr+2r=（π+2）r．答：半圆的周长是（π+2）r．故选：C． 【点评】考查了半圆的周长．解题的关键是理解和掌握它们的计算公式，同时不要错误的以为半圆的周长是圆的周长的一半． 【定位考点】 问题1圆的认识 对应知识点： (1) 圆的认识及特征 (2) 画圆 问题2圆的周长 对应知识点： （1） 圆的周长； （2） 半圆的周长。 【精准突破】 【精准突破1】圆的认识 【知识要点】 1、 圆的认识 1.圆是平面上的一种曲线图形。 二、圆的各部分名称 1.圆心：用圆规画出圆以后，针尖固定的一点就是圆心，通常用字母O表示，圆心决定圆的位置。 2.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。半径决定圆的大小。半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。 3.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段。 4.圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 三、圆的主要特征 1.等圆：两个半径相等的圆叫做等圆。等圆经过平移可以完全重合。如图： 2.同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。如图： 3.在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 4.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。 用字母表示为： d＝2r， r ＝d 用文字表示为：直径=半径×2 半径=直径÷2 5.如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。圆是轴对称图形且有无数条对称轴。 【例题精讲】 【例题1-1】圆的周长是直径的3.14倍．　×　（判断对错） 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：一个圆的周长总是直径的π倍，π约等于3.14，并不等于3.14，所以说，“一个圆的周长总是直径的3.14倍”这句话是错的．应该说“一个圆的周长总是直径的π倍”．故答案为：×． 【例题1-2】直径是5厘米的圆比半径是3厘米的圆小．　√　．（判断对错） 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：5÷2=2.5（厘米），2.5厘米＜3厘米，所以原题说法正确．故答案为：√． 【例题1-3】两端都在圆上的线段，直径最长．　√　（判断对错） 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：由题意可作图如下： 通过观察可知，两端都在圆上的所有线段中，直径是最长的一条．故答案为：√． 【精准突破2】圆的周长 1. 圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长，直径的长短决定圆周长的大小。 2. 圆周率的意义：圆的周长与它的直径的比是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。 π≈3.141596535……，计算时通常取π≈3.14. 3. 圆的周长计算公式：如果用C表示周长，那么或，后面跟长度单位：米，厘米等。 4. 圆的周长计算公式的应用 （1） 已知圆的半径，求圆的周长： （2） 已知圆的直径，求圆的周长： （3） 已知圆的周长，求圆的半径： （4） 已知圆的周长，求圆的直径： 5.半圆的周长等于圆周长的一半加上直径的长，即： 【例题精讲】 【例题2-1】一个时钟的分针长12厘米，它走1小时，分针的针尖所经过的路线的总长为　75.36厘米　． 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：2×3.14×12=6.28×12=75.36（厘米）； 答：分针的针尖所经过的路线的总长为75.36厘米．故答案为：75.36厘米． 【例题2-2】用圆规画一个周长是18.84cm的圆，圆规两脚之问的距离应取　3厘米　． 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：18.84÷（2×3.14）=18.84÷6.28=3（厘米）； 答：圆规两脚之间的距离是3厘米．故答案为：3厘米． 【例题2-3】一个半圆形，半径是3厘米，它的周长是　15.42　厘米． 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：3.14×3+3×2=9.42+6=15.42（厘米）， 答：它的周长的15.42厘米。故答案为：15.42． 【巩固】 【巩固一】圆的认识 1. 圆的直径的长度总是半径的2倍．　×　（判断对错） 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：同圆或等圆中，圆的直径的长度总是半径的2倍， 前提是同圆或等圆中，所以本题说法错误；故答案为：×． 2. 圆的半径增加1cm，它的直径就增加2cm．　√　（判断对错） 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：因为d=2r，所以当一个半径增加1cm时，因为直径是2个半径，所以直径增加2厘米；所以上面的说法是正确的．故答案为：√． 3. 画一个半径为1.5厘米的圆、并标出圆心、半径和直径． 【考点】9L：画圆． 【解答】解：根据题意，以O为圆心，以1.5厘米为半径，画圆如图所示： 【巩固二】圆的周长 1. 一个圆的周长是12.56厘米，如果把这个圆平均分成两半，每个半圆的周长是6.28厘米．　错误　． 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：如图：圆的直径为：12.56÷3.14=4（厘米）， 所以每个半圆的周长为：12.56÷2+4=6.28+4=10.28（厘米）． 所以每个半圆的周长是6.28厘米说法错误．故答案为：错误． 2. 小刚骑自行车走125.6米，车轮正好转了50圈，这辆自行车车轮直径是　0.8　米． 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：125.6÷50÷3.14=2.512÷3.14=0.8（米）； 答：这辆自行车车轮直径是0.8米．故答案为：0.8． 3. 圆的周长是6.28米，半圆的周长是　5.14　米． 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：6.28÷2+6.28÷3.14=3.14+2=5.14（米） 答：这个半圆的周长是5.14米．故答案为：5.14． 【查漏补缺】 1. 通过圆心并且两端都在圆上的（　　）叫做圆的直径． A．射线 B．线段 C．直线 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径；故选：B． 2. 圆的周长除以它的直径等于3.14．　×　．（判断对错） 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：由圆周率的含义可知：圆的周长与直径的比值等于3.14，说法错误；故答案为：×． 3. 画一个半径是2厘米的圆． 【考点】9L：画圆．【解答】解：根据题意，以O为圆心，以2厘米为半径，画圆如下： 4. 半圆的周长等于整圆的周长的一半　×　（判断对错） 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：半圆的周长为整圆周长的一半再加上一条直径，故答案为：×． 5. 用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离是4cm，那么这个圆的半径是　4　cm，直径是　8　cm． 【考点】9L：画圆；8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：据分析可知：用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离是4cm，那么这个圆的半径是 4cm，直径是4×2=8（厘米）．故答案为：4、8． 6. 画圆时，圆规两脚张开的距离是圆的　半径　． 【考点】9L：画圆． 【解答】解：用圆规画圆，圆规两脚张开的距离即是圆心到圆上的距离也是半径；故答案为：半径． 7. 一个半圆，半径是r，它的周长是（　　） A． B．πr C．πr+2r 【考点】A4：圆、圆环的周长．【解答】解：2πr÷2+2r=πr+2r；故选：C． 【举一反三】 1. 如图，有3个大小相同的圆，它们的阴影部分周长一样长．　正确　． 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：观察图形可知：（1）图1中阴影部分的四个圆弧的长度加起来正好等于圆的周长； （2）图2中阴影部分外外圈是圆的周长的一半，内圈3个小半圆弧长之和等于大半圆的弧长，所以阴影部分的周长等于圆的周长； （3）图3中大半圆内的两个白色小半圆的弧长之和等于大半圆的弧长相等，所以图中阴影部分的周长等于圆的周长，因为三个圆的大小相等，所以阴影部分的周长一样长．故答案为：正确． 2. 李师傅想把3根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起（如图），捆一圈（接头处不计）至少需铁丝　71.4　厘米． 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：C=πd=3.14×10，=31.4（厘米）； 31.4+4×10=31.4+40=71.4（厘米）；故答案为：71.4． 3. 图中的两个小圆的周长的和与大圆的周长比较，（　　） A．一样长 B．大圆的周长长 C．大圆的周长短 D．无法比较 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：大圆的周长是：C=2πR，两个小圆的周长的和是：2πr1+2πr2=2π（r1+r2）， 根据图知道，R=r1+r2，所以2πR=2πr1+2πr2， 即：图中的两个小圆的周长的和与大圆的周长相等；故选：A． 【效果验证】 1．连接圆心和圆上任意一点的线段叫做　半径　，用字母　r　表示；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做　直径　，用字母　d　表示． 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母r表示；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示．故答案为：半径，r，直径，d． 2. 在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是　2　厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是　3　厘米． 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：由分析可知：在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是：4÷2=2厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是：6÷2=3厘米； 故答案为：2，3． 3. 一个圆的半径1分米，它的半圆周长是（　　）分米． A．3.14 B．4.14 C．5.14 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：3.14×1+1×2=3.14+2=5.14（分米）．答：它的周长是5.14分米．故选：C． 4. 一只挂钟的分针长20cm，经过30分钟后，分针的尖端所走的路程是　62.8　cm． 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：2×3.14×20÷2=125.6÷2=62.8（厘米）； 答：分针的尖端所走的路程是62.8厘米．故答案为：62.8． 【课后作业】 1. 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做　半径　，用字母　r　表示；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做　直径　，用字母　d　表示． 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母r表示；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示．故答案为：半径，r，直径，d． 2. 大圆的圆周率与小圆的圆周率相等．　√　． （判断对错） 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：因为任意圆的圆周率=圆的周长÷圆的直径，圆周率是一个定值，用π表示，所以大圆的圆周率与小圆的圆周率相等．故判断为：√． 3. 在同一个圆中，所有的直径都是半径的2倍．　√　．（判断对错） 【考点】8I：圆的认识与圆周率． 【解答】解：同一个圆中，所有的直径都是半径的2倍．所以原题的说法正确．故答案为：√． 4. 挂钟分针的针尖在小时内，正好走了25.12厘米．它的分针长多少？ 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：25.12÷÷3.14÷2=8×4÷2=16（厘米），答：它的分针长16厘米． 5. 一个圆形花池的周长是50.24米，它的半径是多少米？ 【考点】A4：圆、圆环的周长． 【解答】解：50.24÷3.14÷2=16÷2=8（米）；答：它的半径是8米． 【考点】8I：圆的认识与圆周率。 【解答】解：在同圆或等圆中，直径等于半径的2倍，也就是“圆的直径是它的半径的2倍，半径是它直径的一半．因此，圆的直径是半径的2倍，半径是直径的一半．这种说法是错误的． 故答案为：×． 学科网（北京）股份有限公司 $$