第二章 相交线与平行线提升题-2023-2024学年七年级数学下学期期末章节题型归纳（北师大版）

第二章 相交线与平行线提升题 1. （2023春•信都区期末）已知：点是直线外一点，点、、是直线上三点，分别连接、、． （1）通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“”连接； （2）在直线上能否找到一点，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由． 2. （2023春•甘州区校级期末）已知，如图，于，于，，，求证：． 3. （2023春•黄埔区期末）如图，，平分，平分，，则下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤． 其中正确结论有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4. （2023春•惠来县期末）如图，把长方形纸条沿折叠，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5. （2023春•从化区期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图2所示方式放置，，，得到下列结论，其中不正确的结论是　　 A． B．若，则 C． D．若，则 6. （2023春•固镇县期末）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，则的大小为　　 A． B． C． D． 7. （2023春•金寨县期末）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是　　 A． B． C． D． 8. （2023春•合江县期末）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点落在点的位置，点落在点的位置，的延长线交于点．若，则的度数　　 A． B． C． D． 9. （2022秋•南陵县期末）如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，，的角平分线，其中点，，，，都在射线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 10. （2023春•封开县期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，若，则 ． 11. （2023春•广州期末）如图，在四边形中，如果，，是边上一点，平分交边于点，平分交边于点．以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若平分，则． 其中正确的是 （填写正确的序号）． 12. （2023春•江门期末）将一副带和的直角三角板拼成如图所示的图形，过点作交于点，则为 度． 13. （2023春•利州区期末）如图，，点为上一点，、的角平分线于点，已知，则 度． 14. （2023春•宝塔区期末）如图，，平分，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论 （填编号）． 15. （2023春•上蔡县期末）如图，四边形中，，，点、分别在、上，将沿翻折，得．若，，则的度数为 ． 16. （2023春•揭阳期末）已知与，其中是锐角，设，，当，时，那么与有什么数量关系？ （1）勤奋的小明同学，根据题意画出了下面图形，请根据小明的图形判断此时与的数量关系是 ； （2）善于思考的小颖同学认为小明同学的解答不够全面，缺少了一种情况．与的数量关系还可能是什么？请画出图形，并说明理由； （3）学霸小乐将原题中的条件改为，其它条件均不变，请直接写出此时与有什么数量关系． 17. （2023春•中山市期末）已知为直角三角形，，点在直线上． （1）如图1，过点作，其中，求的大小； （2）如图2，过点作，求证：． 18. （2023春•阳江期末）（1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2，若，点在的上方，那么，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 19. （2023春•会同县期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空： ； （2）如图2， ①若灯射线先转动，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，设灯转动秒，则 ， ；（用含的式子表示） ②在①的条件下，若，则 秒． （3）如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 20. （2023春•长顺县期末）如图，已知，，，点在线段上，，点在直线上，． （1）找出图中与相等的角，并说明理由； （2）若，求的度数； （3）在（2）的条件下，点（点不与，两点重合）从点出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，求的度数． 21. （2023春•宿迁期末）如图，直线，平分，平分，，，则　　 A． B． C． D． 22. （2023春•汕尾期末）感知如1图，，，，求的度数； 探究如2图，，，，求的度数； 应用如3图，在以上探究条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 23. （2023春•海曙区期末）如图1，已知，点、在直线上，点、在直线上，且于． （1）求证：； （2）如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； （3）如图3，为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是 ． 24. （2023春•荆门期末）如图1，已知，连接和交于点． （1）求证：； （2）如图2，点，分别在线段，上，且，，且． ①若，求的度数； ②当 时，为定值，此时定值为 ． 25. （2023春•浦江县期末）如图，直线直线，一块三角板的顶点在直线上，边、分别交直线于、两点．，，． （1）如图1，，则： ① ； ②若与的角平分线交于点，则 ． （2）如图2，点在的平分线上，连接，且，若，求的度数； （3）如图3，若，，则 （用含的式子表示）． 26. （2023春•齐齐哈尔期末）已知：，截线分别交、于点、． （1）如图①，点在线段上，设，，且满足，求的度数； （2）如图②，在（1）的条件下，射线平分，且交线段的延长线于点；请写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点在射线上运动时，与的平分线交于点，则与的比值为 （直接写出答案）． 27. （2023春•安达市校级期末）已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，请直接写出和之间的数量关系； （2）如图2，过点作，垂足为，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分，交于点，作平分，交于，连接，若，且，求的度数． 28. （2023春•广宁县期末）如图1，，点位于，之间，为钝角，，垂足为点． （1）若，则 ； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． 29. （2023春•雷州市校级期末）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，请直接写出、、之间的关系； （3）若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 30. （2023春•金平区期末）如图1，已知，直线交于点，交于点．点是右侧一点，连接，，平分，平分． （1）若，，则 ， ． （2）写出与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，当时，若，过点作于．将射线绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，经过秒后，射线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的的值． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线提升题 1. （2023春•信都区期末）已知：点是直线外一点，点、、是直线上三点，分别连接、、． （1）通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“”连接； （2）在直线上能否找到一点，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由． 【解答】解：（1）通过测量可知，； （2）过点作，则最短（垂线段最短）． 2. （2023春•甘州区校级期末）已知，如图，于，于，，，求证：． 【解答】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3. （2023春•黄埔区期末）如图，，平分，平分，，则下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤． 其中正确结论有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：，， ， ， 故①符合题意； 平分，平分， ，， ， ， ， 故②符合题意； 平分， ， 若， ， ， 但不一定等于， 不一定等于， 故③不符合题意； ， ， ， ，， ， ， ； 故④符合题意； ， 平分， ， ， ， 故⑤符合题意． 正确的有4个． 故选：． 4. （2023春•惠来县期末）如图，把长方形纸条沿折叠，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形是矩形， ，， ，， 由折叠的性质得到， ， ， ， ， ． 故选：． 5. （2023春•从化区期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图2所示方式放置，，，得到下列结论，其中不正确的结论是　　 A． B．若，则 C． D．若，则 【解答】解：、， ， ， ， ， 故此选项不符合题意； 、， ， ， ， ， ， 故此选项符合题意； 、，， ， ， 故此选项不符合题意； 、由选项知， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故此选项不符合题意； 故选：． 6. （2023春•固镇县期末）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， ，， ， ，， ， ． 故选：． 7. （2023春•金寨县期末）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是　　 A． B． C． D． 【解答】解：长方形的对边， ， ． 故选：． 8. （2023春•合江县期末）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点落在点的位置，点落在点的位置，的延长线交于点．若，则的度数　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形是长方形， ， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 故选：． 9. （2022秋•南陵县期末）如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，，的角平分线，其中点，，，，都在射线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由图形可知，，，， 则． 故选：． 10. （2023春•封开县期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，若，则　　． 【解答】解：长方形纸片的边， ， 根据翻折的性质，可得， 又， ． 故答案为：． 11. （2023春•广州期末）如图，在四边形中，如果，，是边上一点，平分交边于点，平分交边于点．以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若平分，则． 其中正确的是 　②③　（填写正确的序号）． 【解答】解：，但和不平行， 四边形不是平行四边形， ， 故①不符合题意； ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②符合题意； ， ， ， ， ， 平分，平分， ， ， 故③符合题意； 平分， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④不符合题意． 故答案为：②③． 12. （2023春•江门期末）将一副带和的直角三角板拼成如图所示的图形，过点作交于点，则为 　75　度． 【解答】解：由题意可知：，， ， ， 在中， ， ， 故答案为：． 13. （2023春•利州区期末）如图，，点为上一点，、的角平分线于点，已知，则　80　度． 【解答】解：设，， 、的角平分线交于点 ，， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：80． 14. （2023春•宝塔区期末）如图，，平分，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论　①②③　（填编号）． 【解答】解：①， ， ， 又平分， ．故①正确； ②， ， ， ， 平分所以②正确； ③， ， ， ； 所以③正确； ， 而，所以④错误． 15. （2023春•上蔡县期末）如图，四边形中，，，点、分别在、上，将沿翻折，得．若，，则的度数为　95　． 【解答】解：，，，， ，， 将沿翻折，得， ，， ， 故答案为：95． 16. （2023春•揭阳期末）已知与，其中是锐角，设，，当，时，那么与有什么数量关系？ （1）勤奋的小明同学，根据题意画出了下面图形，请根据小明的图形判断此时与的数量关系是 　　； （2）善于思考的小颖同学认为小明同学的解答不够全面，缺少了一种情况．与的数量关系还可能是什么？请画出图形，并说明理由； （3）学霸小乐将原题中的条件改为，其它条件均不变，请直接写出此时与有什么数量关系． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 故答案为：； （2）与的数量关系还可能是：． 图形如下： 理由如下： ， ， ， ， 即； （3）与数量关系：，或． 理由如下：设的垂足为． 情况1：如图， ， ， ， ， 即； 情况2：如图， 反向延长得， 由情况1，知， ， ， 整理，得， 综上，，或． 17. （2023春•中山市期末）已知为直角三角形，，点在直线上． （1）如图1，过点作，其中，求的大小； （2）如图2，过点作，求证：． 【解答】解：（1）， ， ， （2）， ， 又， ． 18. （2023春•阳江期末）（1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2，若，点在的上方，那么，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【解答】解：（1）过点作， ， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可得：， 平分，平分， ，， ， ， 的度数为． 19. （2023春•会同县期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：　　； （2）如图2， ①若灯射线先转动，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，设灯转动秒，则　　，　　；（用含的式子表示） ②在①的条件下，若，则　　秒． （3）如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【解答】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①设灯转动秒， 则，， 故答案为：，； ②若， 则， 又， ， ， ， ， ； （3）不发生变化，，理由如下： 设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ，而， ， ， 即． 20. （2023春•长顺县期末）如图，已知，，，点在线段上，，点在直线上，． （1）找出图中与相等的角，并说明理由； （2）若，求的度数； （3）在（2）的条件下，点（点不与，两点重合）从点出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，求的度数． 【解答】解：（1）与相等的角为，，，，，理由如下： 如图， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 与相等的角为，，，，； （2），， ， 又， ； （3）如图，当点在线段上时，点在延长线上， ， ， ； 如图，当点在延长线上时，点在线段上， ，， ． 综上所述，的度数为或． 21. （2023春•宿迁期末）如图，直线，平分，平分，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， ． ， ． 又， ． 故选：． 22. （2023春•汕尾期末）感知如1图，，，，求的度数； 探究如2图，，，，求的度数； 应用如3图，在以上探究条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【解答】解：【感知】如图①，过点作， （两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ， 即； 【探究】如图②，过点作， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． （等式的性质）． 【应用】如图③所示，过点作， 是的平分线，是的平分线， ，， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ． 23. （2023春•海曙区期末）如图1，已知，点、在直线上，点、在直线上，且于． （1）求证：； （2）如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； （3）如图3，为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是　或　． 【解答】（1）证明：如图1中，过作． ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图2中，作，， 设，， 由（1）知：，， ， ， ， 同理：， ， ． （3）如图，设交于． 当点在内部时，， ， 平分， ， ， ，， ， ． 当点在直线的下方时，同法可知：， 综上所述：或． 故答案为：或． 24. （2023春•荆门期末）如图1，已知，连接和交于点． （1）求证：； （2）如图2，点，分别在线段，上，且，，且． ①若，求的度数； ②当　2　时，为定值，此时定值为 　　． 【解答】（1）证明：过点作， ， ， ， ， ， ； （2）①解：设，， ，， ，， ，， 由（1）可得：， ， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 的度数为； ②由①可得：， ， 由①可得：，， ，， ， 为定值， ， ， ， 当时，为定值，此时定值为， 故答案为：2；． 25. （2023春•浦江县期末）如图，直线直线，一块三角板的顶点在直线上，边、分别交直线于、两点．，，． （1）如图1，，则： ①　50　； ②若与的角平分线交于点，则　　． （2）如图2，点在的平分线上，连接，且，若，求的度数； （3）如图3，若，，则　　（用含的式子表示）． 【解答】解：（1）①如图，过点作，则， ，， ， ， ， 故答案为：； ②记与直线的交点为， ， ， ，， ， 与的角平分线交于点， ，， ， ， 是的外角， ， 故答案为：； （2）设，则， ， ， 点在的平分线上，连接，且， ，， ， ， ， ， ； （3）设，则，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 26. （2023春•齐齐哈尔期末）已知：，截线分别交、于点、． （1）如图①，点在线段上，设，，且满足，求的度数； （2）如图②，在（1）的条件下，射线平分，且交线段的延长线于点；请写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点在射线上运动时，与的平分线交于点，则与的比值为 　　（直接写出答案）． 【解答】解：（1）， ，， ， ， ， ； （2）． 理由如下：过点作直线， 平分， 设； ， ， ； ， 即； （3）如图3，设与交于点， 平分，平分， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 与的比值为， 故答案为：． 27. （2023春•安达市校级期末）已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，请直接写出和之间的数量关系； （2）如图2，过点作，垂足为，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分，交于点，作平分，交于，连接，若，且，求的度数． 【解答】解：（1）结论：． 理由：如图1中，从交的延长线于． ， ， ， ， ， ， ． （2）如图2中，作， ，， ， ，， ， ， ， 与互余， ， ， 与互余， ， ． （3）如图3中，设，． ， 平分， ， ， ， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ． 28. （2023春•广宁县期末）如图1，，点位于，之间，为钝角，，垂足为点． （1）若，则　　； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． 【解答】（1）解：过点作，则， ，， ． ， ， ． ， ， ． 故答案为：； （2）证明：如图2，过点作，则． ， ． ，． 又， ． ． ， ， ． ． （3）解：设，由（2）可得， ， ． 过点作，如图3， ，． ． ． 平分， ，即，解得． 的度数为． 29. （2023春•雷州市校级期末）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，请直接写出、、之间的关系； （3）若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 【解答】证明：（1）过作， ， ， 由两直线平行，内错角相等，可得： 、； ， ． （2）关系：； 过作直线， ， ， 则：、； ， ． （3）关系：． 过作， ， ， 同（1）可证得：； ，， ， 即． 30. （2023春•金平区期末）如图1，已知，直线交于点，交于点．点是右侧一点，连接，，平分，平分． （1）若，，则　70　，　　． （2）写出与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，当时，若，过点作于．将射线绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，经过秒后，射线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的的值． 【解答】解：（1）如图（1）所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， 平分， ， 平分， ， 由，得， 由，得， ， （2）， 理由如下：由（1）得．， ， ， ， ， （3）如图（2）所示： 的初始位置为，当旋转至，处时平行于， ， ， 且由（1）知， ， 平分， ， ， ， ， ①若时，， ， 故此时，，解得， ②若时，则，解得， 综上所述，当的值为31或67秒时，与平行． 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 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