第一章 整式的乘除提升题-2023-2024学年七年级数学下学期期末章节题型归纳（北师大版）

第一章 整式的乘除提升题 同底数幂的乘法 1. （2023春•茂名期末）阅读下列材料： 若，两数满足，则称为的“对数”，记作，如，所以． 请根据以上规定，回答下列问题： （1）根据上述规定要求，请完成填空： 　3　，　　，，　　． （2）计算，，　　，　　，并写出计算过程； （3）直接写出结果： ①，，　　； ②，，　　． 幂的乘方与积的乘方 1. （2023春•榕城区期末）定义一种幂的新运算：⊕，请利用这种运算规则解决下列问题． （1）求⊕的值； （2），，，求⊕的值； （3）若运算9⊕的结果为810，则的值是多少？ 多项式乘多项式 1. （2023春•连平县期末）下面四个整式中，不能表示图中（图中图形均为长方形）阴影部分面积的是　　 A． B． C． D． 2. （2023春•惠来县期末）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） （1）求长方形游泳池面积； （2）求休息区面积； （3）比较休息区与游泳池面积的大小关系． a) （2023春•龙岗区校级期末）数学课上，老师和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形． （1）请用含、的代数式分别表示出型卡片的长和宽，以及型卡片的面积； （2）如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积． 3. （2024春•高州市期中）某社区为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长米、宽米的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长米、宽米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． （1）求安装健身器材的区域面积： （2）当，时，每平方米的健身器材地面铺设需100元，求安装健身器材的区域地面铺设的费用共多少钱？ 4. （2024春•宝安区期中）如图1，有型，型正方形卡片和型长方形卡片各若干张． （1）用1张型卡片，2张型卡片，3张型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式：　　； （2）选取1张型卡片，6张型卡片，　　张型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含，的式子表示为 　　； （3）如图3，在长方形中，，，、分别为、上一点，且，在左侧放置1张型卡片，在下方放置一张型卡片．若图中的长方形的面积为8，求一张型卡片和一张型卡片面积之和． 5. （2024春•紫金县期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪． （1）用含，的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式） （2）若，，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用． 完全平方公式 1. （2024春•安源区校级月考）已知，，则的值为　　 A．116 B．117 C．118 D．232 完全平方公式的几何背景 1. （2023春•光明区期末）如图，已知正方形与正方形的边长分别为，，如果，，那么阴影部分的面积为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 2. （2023春•福田区期末）如图，长方形中，，，正方形，正方形和正方形都在它内部，记，，若，则长方形的面积是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 3. （2023春•顺德区期末）经验告诉我们，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证完全平方公式的是　　 A． B． C． D． 4. （2023春•清远期末）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）①若，，则　15　； ②若，，则　　． （2）如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，两个正方形的边长分别是和，且，如果这两个正方形的面积和，求的面积． 5. （2023春•佛山期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式． （1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 　　； （2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 　　； （3）利用上面（2）的结论解决问题：若，，求的值； （4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 6. （2024春•英德市期中）综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形： （1）①利用图2可得等式：　　． ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：　　． （2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：　　． 【问题解决】 （3）已知，，利用（1）中①得到的等式求代数式的值． 【拓展延伸】 （4）如图5，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，已知，两正方形的面积和20，求图中阴影部分的面积． 7. （2024春•禅城区校级期中）在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求、的值的情况下，求出的值．具体做法如下：． （1）若，，则　37　； （2）若满足，求的值，同样可以应用上述方法解决问题．解：设，，（请接着完成完整的解答过程）． （3）如图，华英学校的“园艺”社团在一面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙围成一个长方形花圃，花圃的面积为15平方米，其中墙足够长．随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃旁分别以，边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），求新扩建花圃的总面积． 8. （2023春•揭阳期末）两个边长分别为和的正方形如图放置（图，其未叠合部分（阴影）面积为．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含、的代数式分别表示、． （2）若，，求的值； （3）当时，求出图3中阴影部分的面积． 9. （2024春•龙岗区期中）【知识生成】 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图（a）可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】 （1）若，，则　11　； 【类比应用】 （2）①若，则　　； ②若，则　　； 【知识迁移】 （3）两块完全相同的特制直角三角板如图（b）所示放置，其中点，，在一直线上，连接，，若，．求一块三角板的面积． 10. （2024春•光明区月考）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个大正方形． 【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示） 方法一：　　；方法二：　　； 【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为 　　； 【知识迁移】 如图3，有两个正方形和边长分别为和，将放入在的内部如图4，此时阴影部分面积为，将和并排放置后构造新的正方形如图5，此时阴影部分面积为，则　　． 11. （2024春•茂名月考）通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示） 方法一：　　； 方法二：　　； （2）根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为 　　； （3）根据（2）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： ①若实数，满足：，，求的值． ②若，求的值． 12. （2023春•顺德区校级期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．用4个全等的长和宽分别为、的长方形拼摆成一个如图1正方形． （1）代数式、、之间的等量关系是 　　． （2）根据（1）中你探索发现的结论，完成下列问题：设，则的结果是 　　． （3）已知，分别是正方形的边、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、作正方形，则图2中影部分的面积是 　　． 13. （2024春•榕城区期中）有两类正方形，，其边长分别为，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16． （1）用含，的代数式分别表示甲图中阴影部分的面积为 　　，乙图中阴影部分的面积为 　　； （2）求正方形，的面积之和； （3）三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求阴影部分的面积． 14. （2024春•禅城区校级月考）如图，圆形钢板的直径为，从中挖去直径分别为与的两个圆． 剩下钢板为图中阴影部分． （1）用，的代数式表示剩下钢板的面积（结果要化简）； （2）若，，请你用乘法公式计算剩下钢板的面积．取 （3）若剩下钢板的面积与一个长为的长方形的面积相等，则这个长方形的周长为 　　． 15. （2023春•福田区校级期末）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形．它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到． （1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 　　． （2）利用（1）中的结论解决以下问题： 已知，，求的值； （3）如图3，正方形边长为，正方形边长为，点，，在同一直线上，连接、，若，，求图3中阴影部分的面积． 16. （2023春•大埔县校级期末）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题． （1）观察图1，写出代数式，，之间的等量关系：　　； （2）若，，则　　；　　； （3）如图2，边长为5的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积的值． 完全平方式 1. （2023春•高州市期末）若是完全平方式，则的值是　　 A． B．11 C．或11 D．或5 2. （2024春•高州市月考）已知是完全平方式，则常数可以取　　 A． B． C． D． 3. （2023春•梅州期末）若是的完全平方式，则　9　． 4. （2024春•深圳校级期中）已知是一个完全平方式，则的值是：　4　． 5. （2023春•梅江区期末）为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： （1）图②中，阴影部分的面积是 　　． （2）观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． （3）应用：已知，，求值：①；②． 平方差公式 1. （2023春•兴宁市校级期末）【观察】 ① ②； ③； 【归纳】由此可得：； 【应用】请运用上面的结论，计算：　　 A． B． C． D． 2. （2023春•高州市期末）若，，则的值为 　2　． 3. （2024春•茂名月考）计算　　． 4. （2024春•惠来县期中）阅读下面问题：你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：①　　． ②　　． ③　　．④由此猜想　　． （2）利用得出的结论计算：． 平方差公式的几何背景 1. （2023春•盐田区期末）下列图形中，能借助其面积“形象”解释平方差公式的是　　 A． B． C． D． 2. （2023春•南山区期末），，是三个连续的正整数，以为边长作正方形，分别以，为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是　　 A．正方形比长方形的面积大1 B．长方形比正方形的面积大1 C．正方形和长方形的面积一样大 D．正方形和长方形的面积关系无法确定 3. （2023春•清远期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：　　（选择正确的一个） ．； ．； ．， ． （2）请应用（1）中的等式，解答下列问题： （1）计算：； （2）计算：． 4. （2023春•揭西县校级月考）乘法公式的探究及应用． （1）如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：　　； （2）运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：①，②． 5. （2023春•高州市期末）如图1所示，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：　　，　　；（只需表示，不必化简）； （2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？　　； （3）试利用这个公式计算： ①． ②． ③． 6. （2024春•高州市月考）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）实验与操作：上述操作能验证的等式是：　　（请选择正确的选项）． ． ． ． ． （2）应用与计算：请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算：． ②计算：． 7. （2023春•宝安区校级期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图． （1）上述操作能验证的等式是 　　．（请选择“”、“ ”、“ ” ． ． ． （2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值　　． ②简便计算：． 整式的混合运算 1. （2023春•电白区期末）观察下列运算并填空： ； ； 根据以上结果，猜想并研究：　　． 2. （2023春•和平县期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 3. （2024春•高州市月考）在矩形内，将如图1所示的两张边长分别为和的正方形纸片按图2，图3所示的两种方式放置（图2，图3中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，的值为 　　． 4. （2023春•和平县期末）计算：． 5. （2024•宝安区校级开学）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 　　． （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请直接写出的值． 整式的混合运算—化简求值 1. （2023春•福田区校级期末）先化简，再求值；，其中，． 2. （2023春•惠来县期末）先化简再求值：．其中． 3. （2023春•顺德区期末）已知，． （1）化简和； （2）若变量满足，求出与之间的关系式； （3）在（2）的条件下，求的值． 4. （2023春•茂名期末）已知，则的值为　　 A．1 B．4 C．5 D．9 5. （2023春•南山区期末）先化简，再求值；，其中． a) （2023春•茂名期末）先化简，再求值：，其中． 6. （2023春•佛山期末）先化简，再求值：，其中． 7. （2023春•揭阳期末）先化简，再求值：，其中，． 8. （2023春•罗湖区校级期末）先化简，再求值：，其中，． 9. （2024春•佛山期中）综合运用 已知，． （1）化简和； （2）若变量满足，求出与之间的关系式； （3）在（2）的条件下，求的值． a) （2023春•五华县期中）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值． 解：因为 所以，即：，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 10. （2023春•梅县区校级期中）如图1所示，长方形的长为、宽为，沿图中虚线用剪刀剪开，平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2所示）． （1）观察图2，请你直接写出，，之间的等量关系：　　； （2）根据（1）中的结论，若，，求的值； （3）拓展应用：若，求的值． 11. （2023春•惠来县校级期末）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将长方形平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图② （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系：　　； （2）根据（1）中的结论，请回答：若，，则　　； （3）拓展应用：若，求的值． 【解答】解：（1）由矩形、正方形的面积公式可知：， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， 故答案为：； （3）， ， ． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除提升题 同底数幂的乘法 1. （2023春•茂名期末）阅读下列材料： 若，两数满足，则称为的“对数”，记作，如，所以． 请根据以上规定，回答下列问题： （1）根据上述规定要求，请完成填空： 　3　，　　，，　　． （2）计算，，　　，　　，并写出计算过程； （3）直接写出结果： ①，，　　； ②，，　　． 【解答】解：（1），，， ，，． 故答案为：3，4，． （2）设，，则，， ， ， ，，，． 故答案为：3，8． （3）①设，，则，， ， ， ，，； 故答案为：1． ②设，，则，， ， ， ， ，，． 故答案为：2． 幂的乘方与积的乘方 1. （2023春•榕城区期末）定义一种幂的新运算：⊕，请利用这种运算规则解决下列问题． （1）求⊕的值； （2），，，求⊕的值； （3）若运算9⊕的结果为810，则的值是多少？ 【解答】解：（1）⊕ ； （2）当，，时， ⊕ ； （3）⊕， ， ， ， ， ， ． 多项式乘多项式 1. （2023春•连平县期末）下面四个整式中，不能表示图中（图中图形均为长方形）阴影部分面积的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由图可得， 图中阴影部分的面积，故选项错误，符合题意； ，故选项正确，不符合题意， ，故选项正确，不符合题意， ，故选项正确，不符合题意， 故选：． 2. （2023春•惠来县期末）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） （1）求长方形游泳池面积； （2）求休息区面积； （3）比较休息区与游泳池面积的大小关系． 【解答】解：（1）长方形游泳池面积为： 平方米； （2）长方形空地的面积为： 平方米， 休息区面积 平方米； （3）， 休息区的面积大于游泳池面积． a) （2023春•龙岗区校级期末）数学课上，老师和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形． （1）请用含、的代数式分别表示出型卡片的长和宽，以及型卡片的面积； （2）如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积． 【解答】解：（1）型卡片的长，宽， 面积； （2） 当，时，原式． 3. （2024春•高州市期中）某社区为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长米、宽米的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长米、宽米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． （1）求安装健身器材的区域面积： （2）当，时，每平方米的健身器材地面铺设需100元，求安装健身器材的区域地面铺设的费用共多少钱？ 【解答】解：（1）安装健身器材的区域面积 平方米； （2）当，时， 安装健身器材的区域地面铺设的费用 （元． 答：安装健身器材的区域地面铺设的费用为3560元． 4. （2024春•宝安区期中）如图1，有型，型正方形卡片和型长方形卡片各若干张． （1）用1张型卡片，2张型卡片，3张型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式：　　； （2）选取1张型卡片，6张型卡片，　　张型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含，的式子表示为 　　； （3）如图3，在长方形中，，，、分别为、上一点，且，在左侧放置1张型卡片，在下方放置一张型卡片．若图中的长方形的面积为8，求一张型卡片和一张型卡片面积之和． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）， 选取1张型卡片，6张型卡片，9张型卡片，可以拼成一个正方形， 故答案为：9，； （3）设， ，，四边形为长方形， ，，则有， 长方形 的面积为8， ， ， ， ， 一张型卡片和一张型卡片的面积之和是20． 5. （2024春•紫金县期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪． （1）用含，的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式） （2）若，，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用． 【解答】解：（1） 平方米， 铺设的草坪的面积为平方米； （2）当，时，平方米， 铺设草坪所需要的费用为元． 完全平方公式 1. （2024春•安源区校级月考）已知，，则的值为　　 A．116 B．117 C．118 D．232 【解答】解：， ①． ， ②． 由①②，得：， 整理，得：， ． 故选：． 完全平方公式的几何背景 1. （2023春•光明区期末）如图，已知正方形与正方形的边长分别为，，如果，，那么阴影部分的面积为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：由图形得出阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去两个三角形面积， 即 ， ，， ， 故答案为：． 2. （2023春•福田区期末）如图，长方形中，，，正方形，正方形和正方形都在它内部，记，，若，则长方形的面积是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：，，四边形是正方形， ， 即， ， 故选：． 3. （2023春•顺德区期末）经验告诉我们，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证完全平方公式的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．选项中的图形可以验证，因此选项 不符合题意； ．选项中的图形可以验证，因此选项符合题意； ．选项中的图形可以验证，因此选项不符合题意； ．选项中的图形可以验证，因此选项不符合题意； 故选：． 4. （2023春•清远期末）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）①若，，则　15　； ②若，，则　　． （2）如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，两个正方形的边长分别是和，且，如果这两个正方形的面积和，求的面积． 【解答】解：（1）①，，， ． ． 故答案为：15． ②，，， ． ． 故答案为：． （2）设，， ， ． 又， ． 由完全平方公式可得，， ． ． ． 答：的面积为11． 5. （2023春•佛山期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式． （1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 　　； （2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 　　； （3）利用上面（2）的结论解决问题：若，，求的值； （4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【解答】解：（1）根据题意可知：大长方形的面积为， 也可以表示为， 所以， 故答案为：． （2）根据题意可知：图形的面积为， 图形的面积也可以表示为， 所以． 故答案为． （3）， ， 即， ，， ． （4）由题意可知，阴影部分的面积为： ． 6. （2024春•英德市期中）综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形： （1）①利用图2可得等式：　　． ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：　　． （2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：　　． 【问题解决】 （3）已知，，利用（1）中①得到的等式求代数式的值． 【拓展延伸】 （4）如图5，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，已知，两正方形的面积和20，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）①图2是边长为的正方形，因此面积为，拼成图2的四个部分的面积和为， 因此有， 故答案为：； ②图3整体上看是长为，宽为的长方形，因此面积为， 拼成这个长方形的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）如图4，拼成的大长方形的长为，宽为， 所以面积为，而拼成这个长方形的12个部分的面积和为， 故答案为：， （3），，而， ， 即； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，由于两正方形的面积和20，即， ， ， ， ． 7. （2024春•禅城区校级期中）在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求、的值的情况下，求出的值．具体做法如下：． （1）若，，则　37　； （2）若满足，求的值，同样可以应用上述方法解决问题．解：设，，（请接着完成完整的解答过程）． （3）如图，华英学校的“园艺”社团在一面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙围成一个长方形花圃，花圃的面积为15平方米，其中墙足够长．随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃旁分别以，边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），求新扩建花圃的总面积． 【解答】解：（1），， ， ， 故答案为：37； （2）设，， ，， ； （3）设米，则米， 平方米， 平方米， 米， 新扩建花圃的总面积 平方米， 则新扩建花圃的总面积84平方米． 8. （2023春•揭阳期末）两个边长分别为和的正方形如图放置（图，其未叠合部分（阴影）面积为．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含、的代数式分别表示、． （2）若，，求的值； （3）当时，求出图3中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）由图可得，，． （2）， 的值为18． （3）由图可得： 图3中阴影部分的面积为15． 9. （2024春•龙岗区期中）【知识生成】 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图（a）可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】 （1）若，，则　11　； 【类比应用】 （2）①若，则　　； ②若，则　　； 【知识迁移】 （3）两块完全相同的特制直角三角板如图（b）所示放置，其中点，，在一直线上，连接，，若，．求一块三角板的面积． 【解答】解：（1） ； 故答案为：11． （2）①则 ； 故答案为：1． ②， ． ； 故答案为：12； （3）由题意，设，， 则， ， ． ． ，即． ， ． ． 答：一块三角板的面积为34． 10. （2024春•光明区月考）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个大正方形． 【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示） 方法一：　　；方法二：　　； 【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为 　　； 【知识迁移】 如图3，有两个正方形和边长分别为和，将放入在的内部如图4，此时阴影部分面积为，将和并排放置后构造新的正方形如图5，此时阴影部分面积为，则　　． 【解答】解：知识生成：方法一：从整体上看，阴影部分的面积等边长为的正方形的面积， 阴影部分的面积； 方法二：从组成上看，阴影部分的面积边长为的大正方形的面积个长为、宽为的小长方形的面积， 阴影部分的面积， 故答案为：；． 得出结论：根据（1）中的结论，可得：， 故答案为：． 知识迁移：根据题意，可得： 图4中的阴影部分面积为：， 图5中阴影部分面积为：， ， 故答案为：． 11. （2024春•茂名月考）通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示） 方法一：　　； 方法二：　　； （2）根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为 　　； （3）根据（2）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： ①若实数，满足：，，求的值． ②若，求的值． 【解答】解：（1）方法一：； 方法二：， 故答案为：；； （2）代数式，，之间的等量关系为： ； 故答案为：； （3）①，， ， ； ②， 又， ． 12. （2023春•顺德区校级期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．用4个全等的长和宽分别为、的长方形拼摆成一个如图1正方形． （1）代数式、、之间的等量关系是 　　． （2）根据（1）中你探索发现的结论，完成下列问题：设，则的结果是 　　． （3）已知，分别是正方形的边、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、作正方形，则图2中影部分的面积是 　　． 【解答】解：（1）由图可知： 阴影部分面积为：或， ，即； （2）， ； （3）设正方形的边长为， ， ，， ，， 长方形的面积是， ， ， 设，，则， ， ， 或（舍去）， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ， 阴影部分的面积为：14． 13. （2024春•榕城区期中）有两类正方形，，其边长分别为，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16． （1）用含，的代数式分别表示甲图中阴影部分的面积为 　　，乙图中阴影部分的面积为 　　； （2）求正方形，的面积之和； （3）三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求阴影部分的面积． 【解答】解：（1）图甲阴影部分面积为：； 图乙阴影部分面积为：． 故答案为：；． （2）根据题意，得：，， ， 正方形，的面积之和为20． 故答案为：20． （3）由（2）知：，，， ，， ， ， ， 图丙阴影部分面积为：． 14. （2024春•禅城区校级月考）如图，圆形钢板的直径为，从中挖去直径分别为与的两个圆． 剩下钢板为图中阴影部分． （1）用，的代数式表示剩下钢板的面积（结果要化简）； （2）若，，请你用乘法公式计算剩下钢板的面积．取 （3）若剩下钢板的面积与一个长为的长方形的面积相等，则这个长方形的周长为 　　． 【解答】解：（1）根据题意可知，三个圆的半径分别为，，， 所以阴影部分的面积； （2）当，时， ； （3）设这个长方形的宽为，则， ， 长方形的周长为， 故答案为：． 15. （2023春•福田区校级期末）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形．它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到． （1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 　　． （2）利用（1）中的结论解决以下问题： 已知，，求的值； （3）如图3，正方形边长为，正方形边长为，点，，在同一直线上，连接、，若，，求图3中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）图2整体是边长为的正方形，因此面积为，图2中9个部分面积和为， 因此有， 故答案为：； （2），，而， ， 即， 答：的值为26； （3），， ， 又， ， ． 16. （2023春•大埔县校级期末）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题． （1）观察图1，写出代数式，，之间的等量关系：　　； （2）若，，则　　；　　； （3）如图2，边长为5的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积的值． 【解答】解：（1）图1的阴影部分面积，图1的阴影部分面积， ， 故答案为：； （2），， ， ， ， ， 故答案为：28，20； （3）长方形的周长为12，面积为8.5， ，， ， ． 完全平方式 1. （2023春•高州市期末）若是完全平方式，则的值是　　 A． B．11 C．或11 D．或5 【解答】解：是完全平方式， ， 解得：或， 故选：． 2. （2024春•高州市月考）已知是完全平方式，则常数可以取　　 A． B． C． D． 【解答】解：是完全平方式， ， ， 故选：． 3. （2023春•梅州期末）若是的完全平方式，则　9　． 【解答】解：关于的多项式是完全平方式， ， ， 故答案为：9． 4. （2024春•深圳校级期中）已知是一个完全平方式，则的值是：　4　． 【解答】解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：4． 5. （2023春•梅江区期末）为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： （1）图②中，阴影部分的面积是 　　． （2）观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． （3）应用：已知，，求值：①；②． 【解答】解：（1）阴影部分是边长为的正方形， 阴影部分的面积是； 故答案为：； （2）由图可得， 故答案为：； （3），， ①， ②． 平方差公式 1. （2023春•兴宁市校级期末）【观察】 ① ②； ③； 【归纳】由此可得：； 【应用】请运用上面的结论，计算：　　 A． B． C． D． 【解答】解： ， 故选：． 2. （2023春•高州市期末）若，，则的值为 　2　． 【解答】解：，， ． 故答案为：2． 3. （2024春•茂名月考）计算　　． 【解答】解： ． 故答案为：． 4. （2024春•惠来县期中）阅读下面问题：你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：①　　． ②　　． ③　　．④由此猜想　　． （2）利用得出的结论计算：． 【解答】解：（1）①． ②． ③．④由此猜想． 故答案为：①，②，③，④． （2）原式 ． 平方差公式的几何背景 1. （2023春•盐田区期末）下列图形中，能借助其面积“形象”解释平方差公式的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，整理得：，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 2. （2023春•南山区期末），，是三个连续的正整数，以为边长作正方形，分别以，为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是　　 A．正方形比长方形的面积大1 B．长方形比正方形的面积大1 C．正方形和长方形的面积一样大 D．正方形和长方形的面积关系无法确定 【解答】解：设，，， 则以为边长作正方形的面积为， 以，为长和宽作长方形的面积为： ， ， 该正方形比长方形的面积大1， 故选：． 3. （2023春•清远期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：　　（选择正确的一个） ．； ．； ．， ． （2）请应用（1）中的等式，解答下列问题： （1）计算：； （2）计算：． 【解答】解：（1）根据图1知：根据图2知：， ， 故选：． （2）①原式 ． ②原式 ． 4. （2023春•揭西县校级月考）乘法公式的探究及应用． （1）如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：　　； （2）运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：①，②． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为； 图2中长方形的长是，宽是，其面积为， 图1、图2阴影部分的面积相等，得． 故答案为：． （2）① ； ② ． 5. （2023春•高州市期末）如图1所示，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：　　，　　；（只需表示，不必化简）； （2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？　　； （3）试利用这个公式计算： ①． ②． ③． 【解答】解：图1中阴影部分的面积为，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故答案为：，； （2）由图1，图2中阴影部分的面积相等可得，， 故答案为：； （3）①原式， ， ， ； ②原式 ． ③原式 ． 6. （2024春•高州市月考）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）实验与操作：上述操作能验证的等式是：　　（请选择正确的选项）． ． ． ． ． （2）应用与计算：请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算：． ②计算：． 【解答】解：（1）由图1可得，阴影部分的面积为， 由图2可得，阴影部分的面积为， 图1和图2阴影部分的面积相等， ， 故选：． （2）①； ② ． 7. （2023春•宝安区校级期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图． （1）上述操作能验证的等式是 　　．（请选择“”、“ ”、“ ” ． ． ． （2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值　　． ②简便计算：． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此有， 故答案为：； （2）①，，， ， 即：， 故答案为：4； ②原式 ． 整式的混合运算 1. （2023春•电白区期末）观察下列运算并填空： ； ； 根据以上结果，猜想并研究：　　． 【解答】解：由； ； ， 观察发现：． 证明：等式左边 等式右边． 故答案为： 2. （2023春•和平县期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．，故该选项正确，符合题意； ．，故该选项错误，不符合题意； ．，故该选项错误，不符合题意； ．，故该选项错误，不符合题意； 故选：． 3. （2024春•高州市月考）在矩形内，将如图1所示的两张边长分别为和的正方形纸片按图2，图3所示的两种方式放置（图2，图3中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，的值为 　　． 【解答】解：由题意得 ， ， ， ， ． 故答案为：． 4. （2023春•和平县期末）计算：． 【解答】解：原式， ， ． 5. （2024•宝安区校级开学）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 　　． （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请直接写出的值． 【解答】解：（1） ， 其值与的取值无关， ， 解得， 答：当时，多项式的值与的取值无关； 故答案为：； （2）， ， 的值与无关， ，即； （3）设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ． ． 整式的混合运算—化简求值 1. （2023春•福田区校级期末）先化简，再求值；，其中，． 【解答】解： ， 当，时，原式． 2. （2023春•惠来县期末）先化简再求值：．其中． 【解答】解： ， 当时，原式． 3. （2023春•顺德区期末）已知，． （1）化简和； （2）若变量满足，求出与之间的关系式； （3）在（2）的条件下，求的值． 【解答】解：（1） ； ； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ． 4. （2023春•茂名期末）已知，则的值为　　 A．1 B．4 C．5 D．9 【解答】解：因为， 那么方程同时进行平方运算，即， 根据积的乘方法则得，， 则， 故选：． 5. （2023春•南山区期末）先化简，再求值；，其中． 【解答】解： ； 当，时， 原式 ． a) （2023春•茂名期末）先化简，再求值：，其中． 【解答】解： ， 当时，原式． 6. （2023春•佛山期末）先化简，再求值：，其中． 【解答】解： ， 当时，原式． 7. （2023春•揭阳期末）先化简，再求值：，其中，． 【解答】解： ， ， 当，时， 原式 ． 8. （2023春•罗湖区校级期末）先化简，再求值：，其中，． 【解答】解： ， 当，时，原式． 9. （2024春•佛山期中）综合运用 已知，． （1）化简和； （2）若变量满足，求出与之间的关系式； （3）在（2）的条件下，求的值． 【解答】解：（1） ， ． （2）， ， ． （3） ． 把代入上式得， 原式 ． a) （2023春•五华县期中）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值． 解：因为 所以，即：，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【解答】解：（1），， ， ； （2）， ； （3）设，， ， ， 又， ， 由完全平方公式可得，， ， ， ， 答：阴影部分的面积为． 10. （2023春•梅县区校级期中）如图1所示，长方形的长为、宽为，沿图中虚线用剪刀剪开，平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2所示）． （1）观察图2，请你直接写出，，之间的等量关系：　　； （2）根据（1）中的结论，若，，求的值； （3）拓展应用：若，求的值． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）因为， 所以； （3）因为， ， 所以， 解得， 所以． 11. （2023春•惠来县校级期末）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将长方形平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图② （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系：　　； （2）根据（1）中的结论，请回答：若，，则　　； （3）拓展应用：若，求的值． 【解答】解：（1）由矩形、正方形的面积公式可知：， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， 故答案为：； （3）， ， ． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$