九年级下册 2.6 弧长与扇形面积-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

"""" !*"# 众相原创 分层练!广西数学!34" "!&2弧长和扇形面积 第 ! 课时"弧长 一阶 基础巩固对点练 知识点"弧长的计算 !!若某圆弧所在圆的半径为 ##弧所对的圆心角 为 !#$1#则这条弧长为 !""" " """"" """"" """" '( # / & )( & ,( 0 / & -(# & "!!教材 97$ 练习 :# 变式"如图# ' (# ' )# ' + 两两不相交#且半径都是 $!1 ;<#则图中三个 阴影扇形的弧长之和为 !""" '( & ;< )( & # ;< ,( & 0 ;< -( & 7 ;< 第 # 题图 """ 第 / 题图 #!!#$#/ 河池宜州区期中"如图#四边形()+,内 接于 ' 0#若 ( +%!#$1# ' 0的半径为 /#则 ) ), 的长为 !""" '( & )(# & ,(/ & -(5 & $!一段圆弧的弧长为 5!#7#其所对的圆心角是 5$1#该圆弧所在圆的半径为""""! & 取 /!!0"! %!新定义 如果一个扇形的弧长等于它所在圆 周长的 ! 5 #那么此扇形称为*最美扇形+!那么 *最美扇形+的圆心角是""""度! &!如图#在 / 2/ 的方格中#每个小方格都是边长 为 ! 的正方形#0#(#)分别是小正方形的顶 点#点+在0)上#则 ) (+的长为""""! '!如图#在边长为 ! 的正方形组成的网格中# % (0)的顶点均在格点上#点(#)的坐标分别 是(!/##"#)!!#/"! !!"画出将 % (0)绕点0逆时针旋转 >$1后得 到的 % ( ! 0) ! #并写出( ! 的坐标% !#"在旋转过程中#点 )经过的路径为)) ) ! #求 )) ) ! 的长! 解#!!"如解图所示$点! ! ! +"$#"% !""由勾股定理$得0", #" .!槡 " ,槡!*$ "" ) ! 的长为 )* ! 6槡!* !(* , 槡!* " ! & 二阶 能力提升强化练 (!如图#四边形 ()+,是 ' 0的内接四边形# ( )%171# ( (+,%0$1!若 ' 0的半径为 1#则 ) ,+的长为 !""" '( !/ / & )( !$ > & ,( & -( ! # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ & 九下!第 # 章 !*(# """" )!跨物理学科 一个滑轮起重装置如图所示#滑 轮的半径是 !$ ;<#当重物上升 !$ & ;<时#滑 轮的一条半径0(绕轴心0按逆时针方向旋转 的角度约为 !""" '(!#$8 )(5$8 ,(!7$8 -(01$8 第 > 题图 """ 第 !$ 题图 !*!现实情境 如图#公园内有一个半径为 !7 米 的圆形草坪#从(地走到)地有观赏路!劣弧 ()"和便民路!线段()"!已知(#)是圆上的 点#0为圆心# ( (0)%!#$1#小强从(地走到 )地#走便民路比走观赏路少走!"""米! '(5 & 槡*5 / )(5& 槡*> / ,(!# & 槡*> / -(!#& 槡*!7 / !!!如图#分别以等边 % ()+的三个顶点为圆心# 边长为半径画弧#得到的封闭图形是莱洛三 角形!若 ()%##则此莱洛三角形的周长 为""""! 第 !! 题图 """ 第 !# 题图 !"!新定义 如图# % ()+是等边三角形#曲线 +,239:--叫作*等边三角形的渐开线+# 曲线的各部分均为圆弧!设 % ()+的边长为 / 厘米#则前 1 段弧长的和!即曲线 +,239: 的长"是""""厘米! !#!如图#以 % ()+的一边 ()为直径作 ' 0交 (+于点2#()%(+# ' 0与)+边的交点恰好 为)+的中点,#连接,2! !!"求证$,2%,+% !#"若 ( )(+%011#()%/#求 ) ,2的长! !!"证明#/!",!+$- ( ", ( +$ / ( ". ( !31,!(*2$ ( 13+. ( !31,!(*2$ - ( ", ( 13+$- ( 13+, ( +$ -13,1+% !""解#如解图$连接01$!1$03$ /!",!+$1为"+的中点$ - ( "!1, ( 1!3, ! " ( "!+,""&%2$ - ( "01," ( "!1,$%2$ /0!,03$ ( "!+,$%2$ - ( !03,)*2$- ( 103,$%2$ /!",#$-01, # " $ - ) 13的长为 $% ! 6 # " !(* , # ! ( & 三阶 素养创新综合练 !$!中华优秀传统文化 中国邮政集团公司曾发 行'二十四节气(特殊版式小全张!图 !"#其 中的 #0 枚邮票大小相同#上面绘制了代表二 十四节气风貌的图案#这 #0 枚邮票组成了一 个圆环#传达了四季周而复始,气韵流动的理 念和中国传统文化中圆满,圆融的概念!以 *大雪+节气单枚邮票为例!图 #"#该邮票的 *上圆弧+的长为 7#*直边长+为 6#*下圆弧+ 的长为$#则$%""""!用含7#6的式子表 示"! 图 ! """ 图 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ # """" !*)# 众相原创 分层练!广西数学!34" 第 # 课时"扇形面积 一阶 基础巩固对点练 知识点!"扇形的面积 !!一个扇形#根据下列所给条件不能计算出它的 面积的是 !""" '(已知扇形的弧长和半径 )(已知扇形的圆心角和半径 ,(已知扇形的圆心角和弧长 -(已知扇形所在圆的面积和半径 "!扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的 # 倍# 则扇形面积扩大到原来的 !""" " """"" """"" """"'(# 倍 )(0 倍 ,(7 倍 -(!5 倍 知识点#"与扇形有关的阴影部分的面积 #!!#$#/ 锦州"如图#点(#)#+在 ' 0上# ( ()+% 0$1#连接 0(#0+!若 ' 0的半径为 /#则扇形 0(+!阴影部分"的面积为 !""" '( # / & )( & ,( 0 / & -(# & 第 / 题图 """ 第 0 题图 $!!教材97$ 例 0 变式"如图#某小区要绿化一片 扇形0()空地#准备在小扇形0+,内种花#在 其余区域内!阴影部分"种草#测得 ( (0)% !#$1#0(%!1 <#0+%!$ <#则种草区域的面 积为 !""" '( #1 & / < # )( !#1 & / < # ,( #1$ & / < # -( !#1 / < # %!如果一个半径为 # ;<的圆的面积恰好与一个 半径为 0 ;<的扇形面积相等#那么这个扇形 的圆心角度数为""""! &!现实情境 如图#某汽车车门的底 边长为 ! <#车门侧开后的最大角 度为 6#1#若将一扇车门侧开#则这 扇车门底边扫过区域的最大面积 是""""! '!如图是一个正方形和半圆组成的图形#其中 - 为半圆的中点#求阴影部分的面积!! &. /!!0" 解#如解图$过点*作*7 * !"于点7$交+1于点 6$ 由题意$得*6,16,+6,%$67,!*$ -阴影部分的面积,正方形的面积.半圆的面积+ % !"*的面积 ,!* 6!* . ! " 6 ! 6% " + ! " 6!* 6 !% . &$&"%& 答#阴影部分的面积约为 &$&"%& 二阶 能力提升强化练 (!!#$#/ 连云港"如图#矩形 ()+,内接于 ' 0# 分别以()#)+#+,#(,为直径向外作半圆!若 ()%0#)+%1#则阴影部分的面积是 !""" '( 0! 0 & *#$ )( 0! # & *#$ ,(#$ & -(#$ 第 7 题图 """ 第 > 题图 )!!#$#0 防城港防城区期末"如图# ' 0的半径为 ##+ ! 是函数"%$# 的图象#+ # 是函数 "%*$# 的图象#则阴影部分的面积是 !""" '( & )(# & ,(0 & -( $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 都不对 九下!第 # 章 !**# """" !*!应用意识 如图#小明自制了一个乒乓球拍# 正面是半径为 7 ;<的 ' 0# ) ()%>$1#弓形 (+)!阴影部分" 粘贴胶皮#则胶皮面积 为"""";<#! 第 !$ 题图 """ 第 !! 题图 !!!!#$#/ 南宁西乡塘区三模"文艺复兴时期#意 大利艺术大师达芬奇曾研究过圆弧所围成的 许多图形的面积问题#如图所示称为达芬奇 的*猫眼+#可看成圆与正方形的各边均相切# 切点分别为 (#)#+#,#弧 ),所在的圆的圆 心为(!或 +"#若正方形的边长为 ##则图中 阴影部分的面积为""""! !"!如图#在 % ()+中# ( (+)%>$1#以点 +为圆 心#+(长为半径的圆交()于点,! !!"若 ( )%#11#(+%##求 ) (,的长% !#"若,是()的中点#且()%0#求阴影部分 !弓形"的面积! -+1,!1,"1, ! " !","$ /+1,+!$ - % !+1为等边三角形$ - ( !1+,&*2$ - ( 1+6,#*2$ -16, ! " +1,!$ -+6, +1 " +16槡 " ,槡#$ -阴影部分的面积,/扇形!+1 +/ % !+1 , &* ! 6" " #&* + ! " 6" 6槡# , " # ! +槡#& 三阶 素养创新综合练 !#!现实情境 如图#一根 1 <长的绳子#一端拴 在 >$1的围墙墙角的柱子上#另一端拴着一只 小羊!羊只能在草地上活动"#求小羊在草地 上可活动区域的面积!!结果保留 & " 解#如解图$大扇形0!3的圆心角是 )*2$半径是 % 8& 所以大扇形0!3的面积为 )* ! 6% " #&* , "% ! $ !8 " "$ 小扇形+"3的圆心角是 !(*2+!"*2,&*2$ 半径是 % +$ ,!!8"$ 则小扇形的+"3的面积为 &* ! 6! " #&* , ! & !8 " "$ 所以小羊在草地上可活动区域的面积为 "% ! $ . ! & , '' ! !" !8 " " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ & .(1)如图,过作直线(:7的 元A ,为A当点在直线.-2右 D.又0C是是0的既是0的切线 210-00n-是直 的AaA是线 时,Ar--2-3段.-5.P5. (1)240-0002& .. 乙AD-A0-0n00- 51点P在直线-2的左期t.: 00r--4.-.24. oDC-乙n -c-CC -2-.-3.得.--1P-1 2BcA-CB-3dA- -3n-nA --7.上述,P与直线-2 4(1:因1选是0,一P与 第2赴解图 4.得CA-C-60段3 3题到 相时,点的为(5.是1(-1.): 3.图选择0-①0的本投为3P-0-0。 0-0---0- 于AP0P-o 3.o+境40B0是 (hvaAC-f. (2)-113时0与面线-2相交,当-1晚5 在三1一是o0的是 和中 2.53 切长定助 时、与。-?相 -问0rP0Pt t 1.I 2.C 31415. 61 76.98. 1.7 lmo 4. C是的线C-00连找0两边 w): 9译竭:连接B是00的直2A-是00 善 11.一关:的方程2-2.-10有安数限· 平.0ACA0C 的切线。nC-一D是0的线 .D-nr -4-0即-4x(-11=-0 -0-n:0A00. 是已0的率限与0概: 艺Bn 一BrWco- 早技为2三.首线1与00相铅或相交 (2):2.选投0一A8P) u:. axcx:p-Cp-n 2.5.2 回的线 △OCB1△01. 1Foc-DO2oD0 IV..01ABsc--48-:48-24 第1课时 切线的判定 lo.. 2.5.4 三角形期内切图 (sAc0wocn0 是0 1.D113 (m0--30(6- 丰秘c是o0线 A.睛证0A是0枝-o0 1.C1137* 4第一AC的内识因②0与πC,A0分到词于点3. -00-0c-c- 5.过点(1这于C1(20- 0.51204.60.P-40 P.&AF-AFB-CB-C设AF-A-..BF-. 001C0% m时.-7r-A-3}i).tpo 品a 中.av0.(2r+(4-10. .CT是oort 5-1FC-0-6-据意.3-146--7. oc·n-an.at. ac.1xa. .oom 2.A25-:3nr=-1n 5:选00-0乙A20为0 -P0+0:103.1P60时P 10 5) A-%2A-ADB VP-AC-1开m.此P-PC+ac.0-(17 轻为A.oV为0的AA是0的线 6.:姓图.点即为所求-A0.B-4. .0DtADC CD0-.C10DO ②1).10P1/6. 6.证:如解技0过点作0c. 2ACB-CBABC45v点E ①0直线与o 为V一①与是相0 阶段测(2.4-2.5) 4D 7.B5D.答室不-) 是△C的内心B-一- 1四影ACD是正形-C平分 51D2.C34B55.C78 9 10 22. -0cb oN是0的半,.cn与o (1)5是0AB10乙A0C-600B-704B- 1.4 12.131'112 %.6 乙t-Bnc-二C-Dt-60ABC t. 小考题陪忧28 与指线有关的证明与计等 为等三形。A昆AC△C长% (:(1)短0C是三运06 觉了课时 切的性 -0--P 0- 1⑧r 1 2.C317537 .0c BPPP-01. ADC'ACAACDAD.2A 6译:是0与00相干点400- 七七7x二 -乙0-00第1P文0是0径P (%0r07AC是是 乙000D1A . -BC--F+CB)-0是 是0r. 三 形A.vA+π. 七CA00 0的半径是②线。 1. (1①1r ②A-4C ③2-90 .-1n没00的径为, 七A% (21:设00的本为一o3.0 (2)略:图1.作直A2.技cD干A为0 7C.25,10 3.1既-题5在中题A s--c.8c.-(x.a.既 登2A0%乙CA%2B. 3.(.3-().-5.-3含去). CAE0”AD 10(1:图AC -orn.006x8-(6.0.-. C0- 1甘 0的5号5. (1=An: △0-:a-0-o. 1.(1)连.图一BF-B .的内0的择为2 -O -{{ 是B中位线000. 是0.A是0线。 -M-o-000C 76-M (2:接解. (A)000AB0是0 -O.o-o 00题 丰位-线A线: 6..r-n-BF4700:0. 趣1 2 00cnrp4C% (2)(1)知△0C△0FAf--1A-A. 即01战09为本0的率pf (3)还是0的线.理下:加到2.作直径A.选 o0有乙-Er- -3在△&-π-AC-2语2B- (2连0,图,段本握0的程为10--. InAAADBC . -0-4:-v画。8 A.nt0.△m-△r.-装-. -乙AB-.HC WBA. “) 4 0A0ff二.F为oo的 AC-4a-3CF-10-4-2-r-3-1-2. ”(4-01)-是。的是 3(1)证明:如图.连接(00.则(0。 I&ourocr中OBr:o. 小专题培忧27 与切线的判定有关的辅助线的作 c----} 1.or cA.n.f- 0f - 心在七上且与达匹相切平点 oFf--Cor” D..c100-高. 2.6 长和形程 01-0一01证:图连00i与00相干点D0 0.8-030-B :ro的. 乙0.乙0000-08400LC 2B. 8 46 5.806. 第1 强长 2.oc.A160.0r1A8.Cr-CF1- nC-:c:w-acnc-ocon:πr B1C.5乙00C-0ac-90",在△soC和RDoC 7..11点A(-2.3: 是中△rs) 215(--(-)、-13时5:平An平正投是 (2)由句数定理.0。①.可。 _二8.-.时 有大为8--1---(-30-1 .的长。 A的投析是线段AD,的投是线段C 的:士3” 8.当8:3时,3.有最大ā为5.的级大-8.的醒 . 平容E的投影是线段AB:平言D竭的投影是线段 sC2C1nD11173- &C,1-1③ :如图没正的中心为达的中在为0选是6(1)到:图,连0D7项1. 13. 14.C 15.3130 1645 17.A 1301)期A-A2B-26. .乙o0平A0D 8A-1Dc 4.P8.0P:_.,_. u1D2A3.6 3.2 直校赴.同修的侧提开 an.IM-ac:nc。 -nar.o-0B乙o0. Cra: -:-0r-1.21-1.由题.图 2..n1 4:(1)Ac7.t5(o}: -1-r-o是 (2解:如图.5AD05-Ac5 (2开国图 中因些部分的析-△(5-5)。 的是的图: 为BC的中-乙A--B--2C- 4x---π4 (71:图,0过点0作01眈是为 .580-2840.45%0t-0 AnC-0-0C.0c是答三0-0- (31三开图%2(435)-2() 乙tC-450-045A-3. 2.7 第形与 一-20=0在lrnr中.or:n. 15C62 15 7.6 1.C 2C 3144D .oo. .---8-2是 8.:设毫的丰径为n.则-r”-25.,-5 8:(3)加,证方AaD所末 () 1 母线长。v②.。v0(1的积一 n2 高·or--x2x5--5.:析 .6C7151 2×5写5.[)-53 第:课时 形帜 ,.r. 2 30(.的-(05) 1nC 11.10 1245 1.1 2638415.90.v ..A10.n114 B.:11 第2意 合与习与对接中老 7.解:图点PP1于点 (2)A是三形.理由如下:选排 12.算(1)如因1.项短路径为分例展开刊中的AC 一阶 美联知说整合性 6.受c子点1.由避喜.料{。 .如图可祖.B-0. ①上 ②无数 ③四心④相夜 或 ① -v0w.0.0-v155).5-551-是 183故:1:阅- 2是等三。 -王方形的西程·的面程一 官国 现 例目 D视心角 60.A可A。 短陷程为55。 △m析:101,.-x2 B相等 一来 B相等 直角 ①直径 分 r-6v是边三 平 ②直 直 ②分②直② 5--1x10×15-64.25.答:阴影分的语积约为6425 高: (31选共0如1图2A-60%2A0-120° 一个 直 切 个 .400.0×2-10.t-40 1D58.13+45)11.2 二院 对接中考拾分练 1 1.A 2D3B 4C 5C 6D 7.I 8C &I C (2)①当模匆开,沿平A.A平言BACC行时. 12.:1)用.(-B- 14-120-24-0+24-150是15 25Bi-0-25-65Ct-C0. 1.(43-③ cC:65AC=1% (1译0相词A.且是0是 14()283 -v15.51+6-/1-2/(m: -6-.句 100分2P01P于点801P干A.. 开.沿平而A平面ABCB,A _ (2中题可,卧注六边摇的边长为6.刚外接插的择为 .0.点在上一00是0的段.且期1. (45).5-v46(3/1461:B (2)图、过&cr1A予点π一D是的中点。 A.----1.估计:的随是3. 7是视. /: (20-0-40-3AC-0t.0-1.5-9. -:0r.cn--:2.C 3加呢图2.选报A4过0601A1.于点D.在B 小专题培30 助随问题的三大常见模 △Acn为40800.30 1.C 2.1/-33.5 420 42/ 3 7.8 0c-90:0.v0-0.-4-4. A00400.0-02A01%.A- 0.a-第-寸陆---.-12. -w--c1r0-0r-5-部s45 A0.7 800-乙40. -60:Ao-01·0-. 8--580x-寻- -.117 2m)4.-2A-4m).最短路为43n 13.A 14.Am.4c0.△a0 15.3 .C 17.20= 册A是0的内接四过.设0 3.3 三视图 13.:解图,大形0的心角是. n-n:n1 交M干点v5AEV.0V5. 是5.听大形1AE的面阻为 第1时 几词体三程图 D。。 第3章 投影与视图 1D2A 33 4C5.C[C6主 为π的中--.BBu. -B- o-nB.cr-V-n- 3.1 投 17.口 角是10-120-60.8径是5-. n-A.ar.nr.cr-A'+u 8.D 9.C 1.B 115c5.C5 12.朝视题 13.视图 11354D5657 1(1)左左警(2) 测(2.8-2.7) 8.:灯题P子FF如都图示: 第: 中三提证原词性 羊在草地上活区域的面s1.72(. 1.C 283.C475.C6A7C84.8 112c 31I4n51 6.周性(答案不一) 小专题培优29 与展有关的阴影部分的面积计算 11.0.8 12.518:.1 7.1 81111 19B 11C 16 13 1.41734-24c861 14篇:如录,证文达ACDEF即为% 1.耀:(1)直三按: 求.(作国方一) (3)这个1.幅的树和为388×3-72(平)题 (2)开。 1.:接0x交于点如用一D为直径的固 与初干点二0是题.0方C即5是中点2 15第1(1)-)(12-2 I9B 10.D 11.D 15.)