九年级下册 2.5.3-2.5.4 切线长定理 三角形的内切圆-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

"""" !*+# 众相原创 分层练!广西数学!34" 4 !!%!$ 3,567 一阶 基础巩固对点练 知识点"切线长和切线长定理 !!如图#-(#-)与 ' 0分别相切于点 (#)#-(% ## ( -%5$1#则()% !""" " """"" """"" """" '(槡/ )(# ,(#槡/ -(/ 第 ! 题图 """ 第 # 题图 "!如图#-(#-)是 ' 0的切线#且 ( (-)%0$1#下 列说法不正确的是 !""" '(-(%-) )( ( (-0%#$1 ,( ( 0)-%6$1 -( ( (0-%6$1 #!!#$#/ 广西大学附中期中"如图#()#(+#),是 ' 0的切线#切点分别为 -#+#,#若 ()%0# (+%/#则),的长是""""! 第 / 题图 """ 第 0 题图 $!!教材96# 练习 :# 变式"如图#-(#-)是 ' 0 的切线#(#)为切点# ( (-)%5$1#-0%0#则 ' 0的半径是""""! %!!教材96! 例 1 变式"如图#-(#-)分别与 ' 0 相切于点(#)#(+为 ' 0的直径#若 ( +%5$1# 则 % -()的形状是""""! 二阶 能力提升强化练 &!如图# ' 0与正方形()+,的两边()#(,都相 切#且,2与 ' 0相切于点 2#若正方形 ()+, 的边长为 0#,2%/#连接0,#则0,的长为 !""" '(#槡# )(槡!$ ,( 6 # -(0 第 5 题图 """ 第 6 题图 '!!#$#/ 泰安"为了测量一个圆形光盘的半径# 小明把直尺,光盘和三角尺按图所示放置于桌 面上#并量出 ()%0 ;<#则这张光盘的半径 是"""";<!!精确到 $!! ;<#参考数据' 槡/.!!6/" (!!#$## 河池凤山县期末改编"如图#-为 ' 0外 一点#-(#-)为 ' 0的切线#切点分别为(#)# 直线 -0交 ' 0于点 ,#2#交 ()于点 +!若 ( (,2%/$1#-)%5#则-2的长为""""! )!如图#在AB % ()+中# ( ()+%>$1#以()为直 径的 ' 0交(+于点,#过点,的切线交)+于 点2#求证$,2% ! # )+! 证明#连接"1$ /!"是 ' 0的直径$ ( !"+,)*2$ -"+是 ' 0的切线$ ( "1+,)*2& /13是 ' 0的切线$-13,"3& - ( 3"1, ( 31"& 又/ ( 1+3. ( 3"1, ( +13. ( 31",)*2$ - ( 1+3, ( +13$-13,+3$ -13, ! " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ "+& 九下!第 # 章 !*!# """" !!%!& 8$9.:3" 一阶 基础巩固对点练 知识点"三角形内切圆和内心的相关计算 !!下列说法错误的是 !""" '(三角形有且只有一个内切圆 )(等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 ,(三角形的内心不一定都在三角形的内部 -(若>是 % ()+的内心#则(>平分 ( )(+ "!!#$#/ 南宁西乡塘区月考"如图#在 % ()+中# ()%7#(+%5#0为 % ()+的内心#若 % ()0的 面积为 #$#则 % (+0的面积为 !""" " """"" """"" """"'(#$ )(!1 ,(!7 -(!# 第 # 题图 """ 第 / 题图 #!!教材960 例 5 变式"如图# % ()+的内心为点 0# ( )0+%!!$1#则 ( 0)(& ( 0+(%"""! $!如图# % ()+的内切圆 ' 0与)+#+(#()分别 相切于点 ,#2#3#且 ()%1 ;<#)+%6 ;<# +(%5 ;<#求(3#),#2+的长! 解#/ % !"+的内切圆 ' 0与 "+$+!$!"分别 相切于点1$3$4$ -!4,!3$"4,"1$ +1,+3& 设!4,!3,$$则"4,"1,%+$$3+,1+,&+$& 根据题意$得 % +$ .& +$ ,'& 解得$$ ,"$ -!4," 78$"1,%+$,# 78$3+,&+$,$ 78& 二阶 能力提升强化练 %!!#$#/ 聊城"如图#点 0是 % ()+外接圆的圆 心#点>是 % ()+的内心#连接0)#>(!若 ( +(>% /11#则 ( 0)+的度数为 !""" '(!18 )(!6(18 ,(#$8 -(#18 &!如图#在 % ()+中#(+%)+%0# ( (+)%>$1# ' 0是 % ()+的外接圆#连接 +0并延长交 ' 0于点 ,#连接 ),#点 2是 % ()+的内心! 请用直尺和圆规作出点2#求 ( )(2的度数! 解#如解图$点3即为所求& /!+,"+,$$ ( !+",)*2$ - ( +!", ( !"+,$%2& /点3是 % !"+的内心$ - ( "!3, ! " ( +!",""&%2& 三阶 素养创新综合练 '!数学文化 !#$#/ 镇江"'九章算 术(中记载$*今有勾八步#股一 十五步!问勾中容圆径几何)+译 文$今有一个直角三角形#勾!短 直角边"长为 7 步#股!长直角边"长为 !1 步# 问该直角三角形内切圆的直径是多少) 书中 给出的算法译文如下$如图#根据勾,股#求得 弦长!用勾,股,弦相加作为除数#用勾乘以股# 再乘以 # 作为被除数#商即为该直角三角形内 切圆的直径#求得该直径等于""""步!注' %步&为长度单位" $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! 家解：(1制围，过P作直线￥=2的6 中，=心云AgAm 的中挂，且A情⊥4，—w是⊙静的规线 线，龟丝为A:当点P在直线·=2的白 D.又：是80的半艳.：g是⊙0的知战 1=c (2解：：初=5，∠a馆=∠.：5是⊙0的直轻 期时，P=1-2=3.解得=5,4风 (国)，4∠0=∠m,∠ .240g=r,∠C0年LD=.∠口E+L0E■ 学：6严在直线，的左用. ∠ 么0：4么E■∠1，y∠G。(C,,△被 2-=3,解得3平-1,4P(-1 (2)易1以2B北=的，4纪=w=3dn,AG=了m ac0g器a-m,m4,30 -子综上两法，5@r与直线12 六∠n=0r,w■。六∠TE∠n.nE30重∠A, 4。销得，C4■落，·：A■心-若6。之0伊的早径为. 第2硅解厘 第)短解西 相调时点P约标为5.号1-.一子： 3星■国，连援心，，⊙0的中径为J,用=2，化=8■ a上-wa.号e-(如l之然-0-2 4(1证用：解图1.接两.w,”A与⊙移相 切于点A料工A,1∠P=,在△W 3,W=相+增5：■4，：C+化WP,,△P是 ,0=M, 2)当-1心E心5时，0P与直线宝2相交当e-1成￥>5 (4),÷6梁：√E+AC=石(m》 在角三角形.且%，：是⊙0的中径可是8的 ◆25,3切线长宜理 和P4中， 里，，△ea0 明.P与克线2相内 线 2 1n1C11415.等边三角形4■76.9发23 11.解：关1g的方程2山-2,2年+m-1年0有实数里.d= 证用连核0，，4B是⊙0的直及，∠c=,,c是回0 是平行用方形，风章.七名C票乙4，∠m 格是E0的单径，，B有⊙0相国： 。-*0.甲系-4￥7{年-110解月触62又分0 L,帝里A,二∠A=∠N1,六∠：=C,在 的切线.么1年，片是0？的W线，球=量 (2解：如解国2，生技2L4B分，0 竹半径为2以直线与⊙0相切度相交匀 5=0, ÷∠山=∠且X,Z某+2的a∠球·LW= 25.2四的切线 △EC1Am中， ∠EG=∠G.EIN AM WLX=之wm=t=士r N代1.-分-子格-24 第I课时切线的判定 C 0.. 2.5.4三角形的内切图 《m.了0-0(m. 1.G2B人 4证明：连提面，以B是E0的直径，4∠春▣0，∠A 中径.2是⊙0的切慢 四-AC宝k》,年口以+W,= ：过点作⊥A信干点C,74⊥，古∠n=,在 14解：？△AC的内切国⊙0与G,C两.A0分则相间于点B.君： ∠言✉0，Y0B..∠B等∠，￥∠BD家4&C m,0军620,40写46，当。40 F.AF=AE=的，D=石设AF=5=,周F即= ÷∠W+∠少■”，六龙⊥，为00的平径 6中，5=G+0雪√(251'+(4,10 m时，。P-4G-32a=),此时w ÷D是心0的如线 5=,EC==6-上和据福意，碍S+46-=7解周，= 系延得：连接从.：04=0D,之A=∠0.u银为日0的直 -G-I2(,此时B=G+6+0。(2 径，4∠B=0,二2A+∠指=0“，4此=∠B 经为4，.C为©0的半径，膏4A,.A指是0的线 4∠01+元■0，目☑0=，第10,0是 可+林)n.1间属0国12T+域】 &证明：如解丽.生接，过点非作N1心B, ⊙0的学2，二直线边与⊙0框u 4AB=,∠C8=∠AC=4S.V点E 阶段测《2.4-2.5】 系足为X,⊙0与阳切于出".0四 DTD上G·∠答室一) 是△e的内心42BE·子∠ LD2.C3C4B5G香.C2.A8相同象3m2 1,“目方BA0是E春形，平分 男1减0 ∠，又年4D.⊥BC,A 22.5 L4E2.13”从2 1粮(1)解：造装罐AB1,∠瓦图，∠085=2B N,目作是O0的羊径，D与@山 7.6 1H.超：.∠且=乙8世=0，∠C4=4=份°.点A TC,是等边角形，÷c== 朝级 小专道给优28切线行关的证明计算 为等边三角思，六An三=AG=6程.△m国长为 2)延明：由(I短，AmG是等边三角感.间∠N=”. 题2保时切线的性两 18r =CG=CP,C=C,上P▣L又世∠W= 1(I：为0的直径.乙A=0,∠+ 11用2G1■42k31 :5,解：(1门如解图，②0即为规术： ,∠B=∠P∠P,.∠P=3,上= k证用：莲接比.语与⊙0相切于点C,5D=, 41连援活，F,,￥4A红是直具 ∠W.:上W=2,E=必.∠B=∠W正官+ ZACO+EC91 AE.E-..ZE+ ∠C8=),∠E配▣0=（∠E年∠E8)=0.带是 三角形，4婚■√+ 是@的线 1,11)Tw4F更上A。∠4得2想4E0 ©0的半轻是@心的时线 +▣取使⊙0的平径为r, (21解：径白u的中径为，，配■多，=C里山x0+里 (2)证帮：回解面1.作直径AD,莲楼D,?A也为⊙？的直 登，4∠60=0°，4上B+∠0两r,?∠》=∠B. 1.6.k2万集10 3+rFE条，：D=E布，在h60中.F+P 10(1)证鳞：塑解丽.莲接EAG w364143)3(2了，解得，=5.-3《膏去》 一f,裙·00)子6×8-与o,新+m1.卡2 ⊥2，六为⊙的地规： D,∠C4=,E8, 二0价的平径为5. 主(1们证雨：：相=，A0⊥配六边=城，又宝量的 云△9C的内国同⊙0的率轻为2 是凸M球的中位线，六市8就.上用。L, 6.解：(11是接2，解。：BF=BF, 5是⊙0的第设，.A探是⊙的国线： ∠夏=CW球，，乙G”,5CAn+ =∠F,=g,a4=H.△1C△h 之Bsg,r4a0.∠4D■∠m 9A5》,.∠E4∠04■r,48,+是0的 (2)解连接F团，解同.，*D 丰径，直线4W是6的细线： ,fmm-F4,0黑k 年积2 ∠G=,,球■=多，累为 上F,:的为年两伊的半是，. ()求出是回P的切线理由期下：打解部2，作直位D,指 2)I)知△G@4E,A==1,A指=E+ 是半园0的切线： E-3.在由△中，=√m==22,”上8= ⊙0的直枪，LE?=T,F (2》核F.解图，日半属0的平径为，0= E-W=41■W+F■ A=4,=3,F=1,4-,=f=3-1=2,在 闭，A1FF为@0的线 4 匙△f和△F中，N+4室+ 小专蹈培宽7切线的判定有关的辅助线的作因 3(1)证期：如解，进接，离山■ 4.,2周∠N2.,00海画 +(4--心是中0临学经为号 11.31 公在6上.，且与助G相切T边 2.6气长和刚形面 4棉少L精1-用灯，六成4Ff为压(I门正明：如解用，在接B,c与@0相切干高D.31 p.C40,:上=y,￥= 第1课计长 e0的料下是⊙P的切线 ,》=C,二格■托。.上nC年∠B,上 0.∠0■44，.∠= 2.E丽日，是接G4E1CD,f4AB,第=F,∠1= 44⊥C,,∠C=∠04C=T,在山△G厢h△G: 警考答案