九年级下册 2.3 垂径定理-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

"""" !($# 众相原创 分层练!广西数学!34" + "!#2垂径定理 一阶 基础巩固对点练 知识点!"垂径定理 !!如图#+,是 ' 0的直径#()是非直径的弦#() 与+,相交于点 .!从以下四个条件中任取一 个#其中不能得到+, * ()的是 !""" " """"" """"" """"'((.%). )(0.%+. ,( ) (+% ) )+ -( ) (,% ) ), 第 ! 题图 """ 第 # 题图 "!!#$#/ 宜昌"如图#0(#0)#0+都是 ' 0的半 径#(+#0)交于点 ,!若 (,%+,%7#0,%5# 则),的长为 !""" '(1 )(0 ,(/ -(# #!如图#半径为 1 的 ' (与"轴交于点 )!$##"# +!$#!$"#则点(的横坐标为 !""" '(*/ )(/ ,(0 -(5 第 / 题图 """ 第 0 题图 $!如图# ' 0的弦 ()%7#.是弦 ()上的动点# 若0.的最小值是 /#则 ' 0的半径是"""! %!如图#()是 ' 0的一条弦#0, * ()于点+#交 ' 0于点,#连接0(!若()%0#+,%!#求 ' 0 的半径! 解#设 ' 0的半径为5$则0!,5$0+,5+!$ /01 * !"$!",$$-!+, ! " !","$ 在9: % !+0中$0!" ,!+" .0+"$ -5 " ," " .!5+!" " $ &变式'如图#()为 ' 0的弦# ' 0的半径为 1# 0+ * ()于点,#交 ' 0于点+#且+,%!! !!"求线段0,的长% !#"求弦()的长! 解#!!"/半径是 %$-0+,%$ /+1,!$-01,0+++1,% +! ,$% !""连接!0$如解图& /0+ * !"$-!","!1$ 根据勾股定理$得!1, !0" +01槡 " , % " +$槡 " ,#$ -!",# 6" ,&$即弦!"的长是 && 知识点#"垂径定理的应用 &!如图#将一个纵截面为半圆的容器水平放置# 然后向其中倒入部分液体#测得数据如图!单 位';<"#则液面宽度()% !""" '(7 ;< )(0 ;< ,(0槡/ ;< -(7槡/ ;< 第 5 题图 """ 第 6 题图 '!应用意识 一面墙上有一个矩形门洞#其中宽 为 !!1 米#高为 # 米#现要将其改造成圆弧型 门洞!如图"#则改造后圆弧型门洞的最大高度 是 !""" '(#(#1 米 )(#(# 米 ,(#(!1 米 -(#(! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 米 九下!第 # 章 !(%# """" 二阶 能力提升强化练 (!!#$#/ 河池期末"如图#将半径为 # ;<的圆形 纸片折叠后#圆弧恰好经过圆心 0#则折痕 () 的长为 !""" 槡'(# ;< )(/ ;< 槡 槡,(# / ;< -(# 1 ;< 第 7 题图 """ 第 > 题图 )!如图# ' 0的弦()垂直于+,#点2为垂足#连 接02!若(2%!#()%+,%5#则02的长是 !""" 槡 槡 槡 槡'(# # )(/ # ,(0 # -(1 # !*!易错 !教材91> 例 # 变式"已知圆中两条平 行的弦之间的距离为 !#其中一弦长为 7#若 半径为 1#则另一弦长为 !""" '(5 或 0槡5 )(5 或 6 ,(5 或 #槡#! -(6 或 > !!!数学文化 *圆材埋壁+是我国古代数学名著 '九章算术(中的一个问题$*今有圆材#埋在 壁中#不知大小!以锯锯之#深一寸#锯道长一 尺!问$径几何)+转化为现在的数学语言表达 就是$如图#+,为 ' 0的直 径#弦 () * +,#垂足为 2# +2%! 寸#()%!$ 寸#则直 径+,的长度为"""寸! !"!已知-是 ' 0内一点#过点 -的最长的弦长 为 !$#最短的弦长为 7#求0-的长! 解#如解图$!"为 ' 0的直径$+1为过点 *与 !"垂直的弦$-过点*的最长的弦是直径!", !*$最短的弦是弦+1,($ /+1 * !"$ -+*,1*, ! " +1,$$ 连接0+$在9: % 0+*中$ /0+, ! " !",%$+*,$$-0*,#& !#!!#$#/ 武汉"如图#0(#0)#0+都是 ' 0的半 径# ( (+)%# ( )(+! !!"求证$ ( (0)%# ( )0+% !#"若()%0#)+%槡1#求'0的半径! !! " 证明# / ( !+" , ! " ( !0"$ ( "!+ , ! " ( "0+$ ( !+"," ( "!+$ - ( !0"," ( "0+% !""解#如解图$过点 0作半径 01 * !"于点 3$ 连接1"$则!3,"3$ / ( !0"," ( "0+$ ( 10", ! " ( !0"$ - ( 10", ( "0+$-"1,"+& /!",$$"+,槡%$ -"3,"$1",槡%$ 在9: % "13中$ ( 13",)*2$ -13, "1 " +"3槡 " ,!$ 在9: % "03中$ ( 03",)*2$ 0" " ,!0"+!" " ." " $解得0", % " $ 即 ' 0的半径是 % " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ & """" !(&# 众相原创 分层练!广西数学!34" 三阶" 素养创新综合练 !$!项目式学习 根据素材解决问题! 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材 ! 图 ! 为一座圆弧形石拱桥#图 # 是其圆弧形桥拱的示意图#查阅资料知道桥拱的半径为 !$ <# 某时刻测得水面宽()%!5 <! 图 ! " 图 # 素材 # 如图 /#一艘货船露出水面部分的横截面为矩形 239:#测得 23%/ <#2:%!# <!因水深足 够#货船可以根据需要运载货物!据调查#船身下降的高度"!米"与货船增加的载重量$!吨" 满足函数关系式"% ! !$$ $ # ! 图 / 问题解决 任务 ! 确定拱顶离水面的距离 +,!+#,分别是弧 ()和弦()的中点" 求+,的长! 任务 # 拟定设计方案 根据图 / 状态#货船能否通过圆形拱桥) 若 能#最多还能卸载多少吨货物) 若不能#至少 要增加多少吨货物才能通过) 解#任务 !#如解图 !$设圆心为点0$则点0在+1延长线上$连接!0$ /桥拱的半径为 !* 8$-01,!!* ++1"8$ /0+ * !"$-!1, ! " !",( 8$ /01 " .!1 " ,0! " $-!!* ++1" " .( " ,!* " $-+1,$ 8!负值已舍"$ -拱顶离水面的距离+1的长为 $ 8% 任务 "#货船不能通过圆弧形拱桥$至少要增加 !*吨的货物才能通过&理由如下# 当36是 ' 0的弦时$设36与0+的交点为,$连接03$06$如解图 "$ /四边形3476为矩形$-36 & 47$ /0+ * !"$-0, * 36$-3,, ! " 36,& 8$ -0,, 03 " +3,槡 " , !* " +&槡 " ,( 8& /01,0+++1,!* +$ ,& 8$-1,,( +& ," 0#$ -货船不能通过圆弧形拱桥$ 易得船在水上部分需要下降的高度%,# +" ,! 8$ /%, ! !** $ " $-$ " ,!** 6! ,!**$-$ ,!*!负值已舍"$ -至少要增加 !* 吨货物才能通过& t1)：核,m,C,是的三等什点.=m ∠的，∠=乙Aw.六∠心=上Awr,A∥=W,小专题培优25利的基本性质有关的辅册线的作法7解：如解用.雀接m,过位：作01K于 8.又∠Ag=,∠▣∠n=上mN=30. ∠W+∠An=T=∠+∠0.LA= 1122285m3B41005506247.2,6 ∠5B,.=F,4AF=m 点a.m5m,0-2m =i,Cn=0r,.∠情=∠4=45..∠AC= 23垂径定理 小专遵培优站侧的性盾有关的证到计算 0+∠1N=0°+45=5： 【2)框销：·∠=∠2n=∠D相=0.∠C=”.0N= 1.2B3.45 1D2E支B40线o6T.kc:, 1a5 4△的蜂接困的半轻为口量 0LNDa三1-∠=75"∠Ac=∠A在 长解：段⊙0的十轻为r,期4可，以ar-1,分B⊥相=4. 之C=}值=，在m△4a中，=c+0,7=2+ L正明：减.N计南为B.D的中线心上8，N1m.器D生An4或5n1+ 8 AA标=G,评可得=精，AG==课，E=群￥团 ∠4Wm乙C=0.X,么LY6,去∠0Nm 2.I}正期2D,E为8A配的高，4∠AC=2帮=， 14 -1.特的径为经 222圆周角 12(1)证第：AB是O0的直径.《A8=0的么C4=阳 1变式解：1中径是5，■5，D■1.0- ∠Anc.若1息，后∠0，LTn0-L 在A了中，∠G=45,5=不在△W精△ 第1漾时圆话角定理及挂论1 m=5-14: LW■∠第 1.42C1.D4050k257.A 2)连摄，，01AB,.A8=20,甲据对夏记理.得A0 六么We△CASL1 1超明：品=品+亚，成+径，服。龙，∠ LT用=L心，FF: √Ar-m厘3-a1,:■多室？，率盘越的然 ∠AN=∠C首， ∠G,A信aA6 (2)解：如聊围，连线0.交的于A, CD,1即.助43 小解：如斯丽，灵△此的外银周的同心为 失.B4知成3r1L4 6TA8C象A0CI1.2 0.连摄8.，4C=45,,4C■ 11如解，连报，耀，4n=3r,.2棉=1∠8= 1上解：如解国，想为©0的直径CD为过 节上w用面年D=45,G88 2上G-,782△C结8，AW 仙，义4Em,,△出身等边当角形，，4■指E成= P与道直的盆，一过点P的最长的进 六w+=CkS+45 是直经AN=©，量想的生是蕊D=, 30,⊙0的半径为0，量6=，渊公= C一及储一号证-，厚△C的外候 0-1,由靓定理，再=M-年-，厚时 团LAM,旷团=4，造接 国丰格为 =(45'-(0-),解得1=6.dx。V0=69,U.1正球：∠=Lm。∠0T.LAW+LP眼 在m△伊中代了5，m4n ■6 0,∠闭+∠wTP,∠P值。∠C,在△ 0段满(21-2.3) 1适用么Br寸乙B,∠子乙，(e:1c工n支n本用5C6D7C8用外 中 第12期 AP-C. 3(1)证期A=C,∠G=∠C.∠G=∠D 2∠是C.:CAW=2∠w: 1152128口.2 ∠C■《EB (21解：妇解他，过点伊作车轻314手 直B.连援g.同5=配.，∠馆m2 14箱行w1想，ELC,6D一了，植-于C,想- 望，品点P是A面的浦外C: 《2)解∠&G=0.C=0,n日 (23解：n解图.连陆0思，：话-.w上Am∠A城。 C,山=A,又：∠A=本=∠E章因”，边形 6,▣面6=生P从在A国 Lt=子∠理.4，yaG=∠C。w且 E是王方形.证m业，推，A忙=4活E= ∠，m=下A桥■4，=5， 上，以=m时，则心￥子相当 ∠青。EDC+∠AN,六上春.75” g2,0站=，5，在△减中，∠W r25在△中，La正4的 4解解唇，雀其V得为所作 点在G上，4=气时，渊以世 半径量4 F. ,.E。√0=E|,直面△E中，∠EW= 15证明：连报AC,闪道形AG是网内接料游形，乙玉 -(体-1，新得限-会即D0*径是 吉G-4背严点在板上，限-网 上my蕊mLA情干高E.C-,∠院-∠Am, 时.南用，量AP=,周℃=Pg=象-，在凸P中，+ 14解：匠务1：如解周1，设解心为点0，则点：在D延长线上 点∠f山票乙A 直接.携的平径为川即， 6解：(1)口解眉，作2⊥A6于点名.必国 8-解得小：子库时一子8上用连，护鸭长 (2))等其情对的圆国身相等 ∴01目-们每.：⊥w 第？课时显周角定理的姓论上及圆内四边形 的子想等a灯+ 干点.则板-宁想-3米，N- 为3成4度好 米，段四？的坐径为F米，在△从 2.5雀线与料的位置关系 3琴期-AB为©0的直径，，乙A国=0P,以1，又：此 0,【10=C0+2■1 中，+0=0,3+《r=)=,老8 w一的=边，言红假 251直线与属的位置关系 么望=4负值记角}，其镇离 的得，5，置的学径为5米： 4自多.量640 1D2厘3.A4B 卡面的距离山帕长为4m: 7,证精比W边用A是⊙0的内据国边B,∠A=∠E 任务2：觉着不佳酒过润属形契 (2)年指用，当=米米时，4：分= 5解：过点U作N工a1于点x,如解图 ∠A02∠E,∠A=∠E4LCE,.∠E=cC 桥.至少要带加用吨的货物才信 4未，在别△建中，缺+常=，，4+=，二 +人A■∠E,41要证，司6A是等覆角形. 2L8-3,人W-w-士5- 通达理由如干，背E因是⊙)的 ,3米.五球，5-32引米1答：水度手客术间的鱼大家度 kA泉号祖2L2而+以240m 丝时，设与C的实点为超，透 为2米. 工5：香：-2.5针，8V与射线4开有前 一个公关当：当0《(25时，⊙W与附线1程有公共点： 接从，听，如解围上，，边形 1表证锈：：乙且G=∠Aw,C:D∠w,÷LAw重∠Cn 工4过不共线三点作侧 W为面形，∴W年”上 解国2 1,5g≤5时.⊙M与射找4有两个公无点：当，>时.⊙w N平分∠C下的平什∠AC,∠AD■∠即， I D 2 D 与时段其有-一个公共点 边影AP是同内接国边用，上+上·1 w,出上w.二=气✉6.六。-aE及雨作博日明图 4解：山图章得，上C,子的：子×v√+=万 4∠0+4m+4婚+2①面=，42444BD+ 06=m以B年托=D=的=4=6m,入.峰=多 6■2《，现能不能通止属属形拼样，解得图在本上那分有 得点相州直线G的面离为，2，与⊙用羽平径相等六直线A后 ■0 与@相，F，上.=0，E4FFL随 I4(I)en=∠RD 婴下释的高度y32小m,y“南，1四 2)证阴：AC10,E1C,.LD+44-0 子批=1<5小直线H与0N相元 0国，片川食值出令}，至少要婚加的吨计将费通江 ∠1E·∠.U室”，+'4D室4球，吴：∠0= 4B 5D 6 7.D8c 公考答案