九年级上册 2.5 一元二次方程的应用-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

!!!! $)" 众相原创 分层练!广西数学!78" #!("一元二次方程的应用 第 " 课时!平均变化率$销售利润问题 一阶 基础巩固对点练 知识点!"平均变化率问题 !!红星电池厂 #$#, 年 " 10 月份的电池产量如 图所示!设从 # 月份到 % 月份!该厂电池产量 的月平均增长率为#!根据题意可得方程 "!!# &'":$"" 1## # (%9" )'":$"" +## # (%9" *',9:"" 1## # (",6 -',9:"" +## # (%%# #!!#$#, 牡丹江"张师傅去年开了一家超市!今 年 # 月份开始盈利!, 月份盈利 0 $$$ 元!0 月 份盈利达到 6 #$$ 元!从 , 月份到 0 月份!每月 盈利的平均增长率都相同!则每月盈利的平均 增长率是!!!!! $!!教材30$ 练习4" 变式"劳动教育已纳入人才 培养全过程!某学校加大投入!建设校园农场! 该农场一种作物的产量在两年内从 ,$$ 千克 增产到 ,9, 千克!若平均每年的增产率相同! 求平均每年的增产率! 解#设平均每年的增产率为 "$ 根据题意得#$**!! 2"" # '$,$$ 解得#" ! '*#! '!*!$" # '+##!!不符合题意$舍 去"# 答#平均每年的增产率为 !*=# 知识点#"销售利润问题 %!某药店营业员在卖某品牌布洛芬时发现!当布 洛芬以每盒 0$ 元销售时!每天销售 ,$ 盒!若 单价每降低 " 元!每天就可以多售出 % 盒!已 知布洛芬的成本是每盒 ,$ 元!设每盒布洛芬 降低#元!如果药店一天能盈利 " $$$ 元!可列 方程为 "!!# &'"#$ 1##",$ +## (" $$$ )'"0$ 1##",$ +## (" $$$ *'"#$ 1##",$ +%## (" $$$ -'",$ 1##",$ +%## (" $$$ (!广西人文信息 南宁市宾阳县思陇镇被称为 %广西非遗竹编之乡&!某地区竹编筐的经营模 式为生产组的产品由商店代理销售! ""#据调研发现!竹制品生产组七月份共生产 " $$$ 套%竹编筐&!为增大生产量!该生产组平 均每月生产量增加 #$!!则该生产组在九月份 能生产多少套%竹编筐&* "##已知某商店代理销售%竹编筐&平均每天 可销售 0$ 套!每套盈利 ## 元!在每套降价幅 度不超过 9 元的情况下!每套每下降 " 元!则 每天可多售 % 套!如果每天要盈利 " "9$ 元!那 么每套应降价多少元* 解#!!"! *** 6!! 2#*!" # '! %%*!套"$ 答#该生产组在九月份能生产 ! %%* 套(竹编筐)% !#"设每套(竹编筐)降价 " 元$则每套盈利!## + ""元$平均每天可售出!(* 2%""套$ 由题意$得!## +""!(* 2%"" '! !,*$ 整理$得 #"# +!/" 2$* '*$ 解得 " ! '#$" # '-#(!不符合题意$舍去"# 答#每套应降价 # 元 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " # 九上!第 # 章 $*" !!!! 二阶 能力提升强化练 ,!为了绿化附近的荒山!某乡村村民已经连续三 年春季上山植树!树木的平均成活率为 <0!! 现已成活了 % $$$ 棵!已知第一年春季植树 0$$ 棵!求该乡村村民后两年植树棵数的年平 均增长率!设该乡村村民后两年植树棵数的年 平均增长率为#!则可列方程为 "!!# &'0$$"" +## # (%$$$ K<0! )'0$$ K<0!"" +## # (% $$$ *'0$$ +0$$"" +## +0$$"" +## # (% $$$ K <0! -'.0$$ +0$$"" +## +0$$"" +## # / K<0! ( % $$$ -!!#$#, 北海银海区期中"某市积极响应国家的 号召%房子是用来住的!不是用来炒的&!在宏 观调控下!商品房平均成交价由去年 < 月份的 每平方米 "$ $$$ 元下降到 "" 月份的每平方米 : "$$ 元!且去年房价在 < 月份'"$ 月份'"" 月 份'"# 月份的下降率保持一致!则去年 "# 月份 的商品房平均单价为每平方米!!!!元! .!新华商场销售某种彩电!每台进价为 , 0$$ 元! 调查发现!当销售价为 , <$$ 元时!平均每天能 售出 : 台!而当销售价每降低 60 元!平均每天 能多卖 9 台! ""#若每台这种彩电降价 #元!则每天这种彩 电的销量为多少* !请用含#的式子表示" "##商场要想使这种彩电的销售利润平均每天 达到 0 $$$ 元!则每台彩电应降价多少元* 解#!!"当每台这种彩电降价 " 元时$每天这种彩 电的销量为 . 2, 6 " -( '!. 2 # #( ""台% !#"根据题意得#!$ /** +" +$ (**" !. 2 # #( "" ' ( ***$ 整理得#"# +$**" 2## (** '*$ 解得#" ! '" # '!(*# 答#每台彩电应降价 !(* 元# 三阶 素养创新综合练 /!应用意识 柳州某果园柑橘品种主要包括有 爱媛'沃柑'金秋砂糖橘等!某网店仅将%爱媛& 和%沃柑&装箱售卖!张老师买了 # 箱%爱媛& 和 " 箱%沃柑&!支付了 ""$ 元$王老师买了 " 箱%爱媛&和 # 箱%沃柑&!支付了 ",$ 元! ""#问该网店每箱%爱媛&和%沃柑&的售价是 多少元* "##该网店经市场调查!按以上售价两种柑橘 每天共能销售 "$$ 箱!但若一箱%沃柑&的售价 每降低 # 元!则每天两种柑橘的销售总量将增 加 % 箱!所以该店决定对%沃柑&降价销售!%爱 媛&的价格不变!降价销售后的第一天统计发 现销售总量中有 9$!是%爱媛&!且总销售金 额为 % $:$ 元!若降价后%沃柑&的单价还是不 低于%爱媛&的单价!则每箱%沃柑&的售价降 低了多少元* 解#!!"设该网店每箱(爱媛)的售价是 " 元$每箱 (沃柑)的售价是!元$ 根据题意得# #" 2!'!!*$ " 2#!'!$* { $ 解得# " '$*$ !'(* { # 答#该网店每箱(爱媛)的售价是 $* 元$每箱(沃 柑)的售价是 (* 元% !#"设每箱(沃柑)的售价降低了%元$ 根据题意得#!(* +%" 6!! +,*!"!!** 2% 6 % # " 2$* 6,*! 6!!** 2% 6 % # " '% *.*$ 整理得#%# +%(%2$(* '*$即!%+!*"!%+$(" '*$ 解得#% ! '!*$% # '$($ 又&(* +% ' $*$ )% # #*$)%'!*# 答#每箱(沃柑)的售价降低了 !* 元 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " # !!!! %+" 众相原创 分层练!广西数学!78" 第 # 课时!几何问题 一阶 基础巩固对点练 知识点!"常见几何图形问题 !!数学文化 "#60 年!我国南宋数学家杨辉在 ,田亩比类乘除算法-中提出的一个问题(%直 田积八百六十四步!只云阔不及长一十二步! 问阔及长各几步!&意思是(长方形的面积是 :9% 平方步!宽比长少 "# 步!问宽和长各是几 步!设宽为#步!根据题意列方程正确的是 "!!# ! !!!!! !!!!! !!!!&'##+#"#+"## (:9% )'# # +"#+"## # (:9% *'#"#1"## (:9% -'#"#+"## (:9% #!如图!圆环!图中阴影部分"的内外圈用铁丝围 成!其中大圆半径比小圆半径的 # 倍多 " 米! 如果圆环的面积等于 %$ & 平方米!求围成圆环 的铁丝的总长度! 解#设小圆的半径为>米$则大圆的半径为!#>2!" 米$由题图可得$0圆环 '0大圆 +0小圆$即!#>2!" # , % + % > # '%* % $ 解得$> ! '+ !$ $ !舍"$> # '$$ )#>2! '# 6$ 2! '-!米"$ )# % 6$ 2# % 6- '#* % !米"$ 答#围成圆环的铁丝的总长度为 #* % 米# 知识点#"边框及面积问题 $!!#$#, 黑龙江"如图!在长为 "$$ 2!宽为 0$ 2 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路!若余 下的部分全部种上花卉!且花圃的面积是 , 9$$ 2 # !则小路的宽是 "!!# &'0 2 )'6$ 2 *'0 2或 6$ 2 -'"$ 2 %!!#$#, 淮安"为了便于劳动课程的开展!学校 打算建一个矩形生态园+,/3!如图"!生态园 一面靠墙!墙足够长"!另外三面用 ": 2的篱 笆围成!生态园的面积能否为 %$ 2#* 如果能! 请求出+,的长$如果不能!请说明理由! 解#设 &''" 0$则 &1' '(' ! # !!. +""0$根据题 意得$ ! # "!!. +"" '%*$ 解得#" ! '.$" # '!*$ 答#生态园的面积能为 %* 0#$此时&'的长为 . 0 或 !* 0# 知识点("容积问题 (!-4# 变式.将一块正方形铁皮的四个角各剪去 一个边长为 , 52的小正方形!做成一个无盖 的盒子!已知盒子的容积为 ,$$ 52,!则原铁皮 的边长为 "!!# &'"$ 52 )'", 52 *'"% 52 -'"9 52 知识点)"动点问题 ,!!#$#, 河池模拟" 如图!在 $ +,/中!+,( 9 52!,/(6 52! * +,/(,$G!点 *从 +点出 发!以 " 52?Q的速度向,点移动!点5从,点 出发!以 # 52?Q的速度向/点移动!如果*!5 两点同时出发!经过几秒时 $ *,5的面积等于 % 52 # * 解#如图$过点+作+2 & .' 于点2$则 * +2''/*<# & * &'('$*<$ )#+2'+'# )0 $ .'+ ' ! # .',+2# 设经过?秒时 $ .'+的面积等于 % <0#$ 则.''!, +?"<0$+''#?<0$+2'?<0# 根据题意得$ ! # !, +?",?'%# 即?# +,?2. '*#解得$? ! '#$? # '%# 当?'% 时$#?'.$. 1-$不合题意$舍去$故?'## 答#经过 # 秒时 $ .'+的面积等于 % <0# " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " # 九上!第 # 章 %!" !!!! 二阶 能力提升强化练 -!空间观念 如图 "!有一张长为 ,# 52!宽为 "9 52的长方形硬纸片!裁去角上的 # 个小正 方形和 # 个小长方形!图中阴影部分"之后!恰 好折成如图 # 所示的有盖纸盒!若纸盒的底面 积是 ",$ 52#!则纸盒的高为!!!!52! 图 " !! 图 # .!如图!用一根铁丝分成两段分别围成两个正六 边形!已知它们的边长比是 "R#!其中小正六边 形的边长为"## 1%#52!大正六边形的边长为 "# # +###52!其中 #.$"!则这根铁丝的总长 为!!!!52! /!!教材306 复习题 4"" 变式"现有一块矩形钢 板+,/3!长+3("$ 2!宽+,(0 2!采用如图 "的方式在这块钢板上截掉三个正方形得到如 图 # 所示的模具!模具横纵方向的长柄等宽 !即,9(38"!若截掉的最小的正方形边长比 中间正方形边长少 " 2!且模具的面积与截掉 的正方形面积之比为 #"R#<!求模具长柄的宽! 图 " ! 图 # 解#设'2'13'" 0# )1323(''22:('( 0$ &截得的最小的正方形边长比中间的正方形边长 少 ! 0$)2;'# 0$:;'$ 0$ 根据题意得$!( +"" # 2$# 2## ' #/ (* 6!* 6($ 解得$" ! '!$" # '/!不合题意$舍去"$ 答#模具长柄的宽为 ! 0# 三阶 素养创新综合练 !*!应用意识 社区利用一块矩形空地 +,/3建 了一个小型停车场!其布局如图所示!已知 +3(0# 2!+,(#: 2!阴影部分设计为停车 位!要铺花砖!其余部分均为宽度为#米的道 路!已知铺花砖的面积为 9%$ 2#! ""#求道路的宽是多少米* "##该停车场共有车位 0$ 个!据调查分析!当 每个车位的月租金为 #$$ 元时!可全部租出$ 若每个车位的月租金每上涨 0 元!就会少租 出 " 个车位!当每个车位的月租金上涨多少 元时!停车场的月租金收入为 "$ "#0 元* 解#!!"根据道路的宽为 " 米$则!(# +#""!#. + #"" ',%*$ 整理得$"# +%*" 2#*% '*$解得$" ! '$%!舍去"$ " # ',$ 答#道路的宽为 , 0% !#"设每个车位的月租金上涨 ) 元时$停车场的 月租金收入为 !* !#( 元$ 根据题意得$!#** 2)"!(* + ) ( " '!* !#($ 整理得$)# +(*) 2,#( '*$解得$) ! ') # '#($ 答#当每个车位的月租金上涨 #( 元时$停车场的 月租金收入为 !* !#( 元 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " # 题2课时用话当的方法解一元二次方程 1345+1=3,41=-1+5,年-1-3 (3)方程x-2+3r-1+3=0的其刚式1▣【一(1- 2.5一元二次方程的成用 1:D玉D表在接开平直法配为法会式法国式分解陆 (3以(E-4)2+(1-4)=0,六{x-4)(2台-4月=1，g-4= -4x18-1+3=-3+11<0武方程无实 见【附平均变化率，情齿利国同题 4解：(14+1=49.秀平方得：+141.的得：4=，与= 0或2山4=0解得=4，为-2： 数根 1t230% (4以2-3红41=0，人t-(山-10.调年-1=n侵春术工无条静象-（拾室不帽一03【宝式0计A3解：设平均每年的地产卡为.梨据哪建件(1+广-363. 2)24434-10,,e=26=3言-1.-4hg-4× 2-0n>0,,4 24-1=0,前根41 12018-1 解停3线1=的与=一之（不符介息，家去）：荐千圳 14解)：关于士的一元二次为程子=4：+期▣0有再个实验 每平的地产常为作 41 1:年1-4)-41×则加0，解得e41 53, (2)-2-穷=0，国式处解初.（年-11(。+）0,54 (21汽为程的再个实数相相等，期m=4,乾单方程为三一 多，解：(1门核中产附在九月使牛产1440套”件愉控”： 4 止0减49=0，解同，=山，-象 《2}:餐应%价2元 32-五-2024=n,-2x-204,2-4+1-2必，-4解：174 4+4=0,期(-1=9，解得，=与=2 16D7.1290 1反解：(1)经一女项联数为，圆许程为，+每6-9，纪▣=2 1)'125,3-1。t5.5h1-44 (21-+=0,〔-2（-5）0，-2=或 器解：()当每行这养彩电降伦年元到，每天这钟影电的精量为 代入友，--6■0，解周，■-1一次系数为 5C4.3+3=-5工，0或4 5=0.解日，“21=5： -1 解：10-5》=34-15，渊年-5)=3=5》，(A- 参6方*保+宝街 (3)设-1=a.期原为程为-81412=0，里。212= (7由}直程为+-6=导，3-41《-61= 5)-36E-5〉=0..3-51-3)0..1-5=0成年-3= a+(-名-234+(-61x(-7)4(g-0#-7》u0,解相 +4L六不论一赏填系数为判值，这个方程卫有有个不 (21刚解感意得《301-3)（体+）·5国.跳用 0=5,1=t 日-6减-2，即2-1-6减-1-2.期得“子小-宁 相等的买数租 月：一m+2501,解料：马票=1组客：年台彩电磁 2)y.%+5-02g=2▣-9，c=54-4m=-9户= 厚货幻无 4e254y,④+④"-可 5解：++1+3=0，E+年+=0，+=0 (21证明：一兄二次方程四2+虹+：，(。0)为~有升方及解：(1)溪样速制霜”爱的他纷是知元，与箱”货相”的出价 g+1=0,解特，=-51重一1 是50元： 3)移项月.4-4和=2配吉到，-1+=2++.口[4- :6解：-1-K一1}+20，设-，则里为程化 六“即情方程”总有关数根 2设好医附的再行释条了算尾，相制题看得：到一和) 2)=6.边开千方得，=2▣主，11=26：=2-6 为，-13y+42=0,1y-6》(y-7)1,,5-60减y-于= (3解一二欢方程红4=0(=》为和语为 (1-%(0:4号)·30mx(1四+4.分)= 象解：灵小化如：的齿长为a侧大花坛的道长为(1+5)4：由题 0.解得.4=4，为1.-1=0到.=32：月-27 程，本三a+行“相语方程+如+=0(a严0》有两个相 4幻.整理得：-45n+0▣0，得型一0)1度-5}=0，解 意.判+5=27.目年-0病-5=0.解得与5+5石 时，4。±3，六原方程解为所=17，为=-2与=54 的载根….一s■(u+c于-4=(u-于0，a 得：■0到站，义0一期组，，n写0，再0答： :5-5面有业荐，小花的连起为5+514 工4一元二款方程的根与系数的关系 H箱”低村“的物价料能了10无 推解国式分解法江-6+5*0（主=8-5）=01-【=01G L C 2 A AD 第2时几同间题 发一5=D六41=1，与=A方法：-证+5出0，移项料。k解：令Y■，x,捌由雕为程，得了-4：-12，整星，周(y- -0。-52-+9-5+9,(-3)=4,3为-31. 4n:x--1=0.人+5=寸- 6)八y+21=0,解得方=4，力==2，月30时+=0，月 2酮：良小国的丰程为？关，听大圆倚丰径为(2立·11米，由题图 4=1,不=3.（答案难一） 431(x-2)=0,解月m。-31=2月y=-10时，341= (2)22+-1=05,+与"-31”-1 可得，e8m-5w,得(2+11年-=F,解得 1解：用公式速+24-1=0，a1,0=2,e-1.为- -2,即++2-0，钱方程无n略上所述，改方程的解为茶B6上75K? 9解：1)6-4士-4%1x(3-1厘-%+4，方程有再个 片含)4321-234171米)2m34 e-2-41《-》44-8,4--4e。 2 盼控测(2.1-22)】 不相等的实数根，*多4440，解得4>2： 2甲×)=可米)，餐：围收概环俯黄批的总长度为2：采 248。-lz2--【5"1- 1.日14天44G9C4.C7日k-1里5 2方程的两银为人增立3-啡+3 10201911.{,+311+14-1,5)a512金2k10 3-443弘.解得6,3.与==1〔去) 4解：设：m,则也一(B-n,银梨题豆香，子 2川周式升显：=340，云t*31=0,0. 14解11)配方得-3)4，图x-3m2减-3T-2,解得，i1n111120 (样-4)4的，解斜：4“8，与■0，管：生嘉国的则能为 1=5,1=1； 13解(1)以关于：的方程-2+一=0有再个不相等 和，时4B的长为m或相a 利用：方法，生再用因式计解达（解决过程扇1 2解：任每一±三方程的右边M如◆ (21-2-1-4m-n2nw,.2生6。 的实位辰.1=(-2》°-4(-4》=4n-4+4>0, .0 1￥3 6.经过2时凸P以的自积等于4时 任开二42=2山-1=0.移得，4=2=1，化方，4 12+9=149,(山-J)m0,2江-3■40,2g-3 (21"为网合条件的前4单数a>0■-1阜为假为产73826 -2+'-x0设孩方程的是4,4+2▣2,· 子9解设E=限=1重.W,纪=E+配=5m,顾得的最 减-3-而解得4“。 115解：(1)影去程程方得，+4：+4-4+时■9，期(x+2)'4 2 20=前-1解月4=2n=3或4=-2n=-3,背n。-3 个的E方形边的比中国的正方形道长少【■“三： 和，：或方程有件个不相等的买赖酸一4一知>0，心4： ，复方程为++4，解得，41。-4，与一7，不词 住著三：表不同意州同学的说使，得到的示：我门零说璃 (21把1▣-5代人为程，9-1+解=0，解得，n=4 ,3限都图凉源.(5-◆子+一品x05,解得 圈意，放含去，4■的顶为 运得配方法来解一元二次方配 16解：1ya-鄂-4如+4-4■u-2-4产-4，当 4:=,车到不合区盒，者去1，花：相川长州的义为1保 14.(11E：=(2)=《4=1)0.期电任实数 小专通培优4·元次方罂的解法 4-2时.代致式4一和存作最小值，最个靠为4： 国解：(1门约意为6： 值，左程总有实台银 1.解(g=4,6=1,e■-3.4c==44(-3) (2)存在设矩形N的商阻为5.根是题型得，5=(6- (2每个车位的川料金上零a时，餐车据的川粗象收人 (21解14配们斜边a■3，月两边关h,E静好是班个 】=x6=《年5)户4969，周=3时，8程量大青 方程的两个根.石年=+，网9=(4+)于=2所9=1+ 为0125元，程据送这目，0+#0-气=1915.整程 醒大自为卖 2下-22h.解月k=±、5.南0*C=2+着=23（不可葡服 得2-50阳+5=0，解得，41=的=25，答，当月个放的月 ()方程变得，-6：=话.配方得-应+9=25，目a 2,3一元二次方程根的判别式 3)25.开平为得-1“±5，解得，48与=-1： 直数，明=，故AC的民=-55 国像上理25无时，特车场的月阻金收人为02出尼 13)s+1)+2)=24年+21,4+1(s+2)-2(+2).表解：1方图4-45，+50的判湖式4(-45)'-4￥ 1E解：1)31-36 阶段期(2.3-2,5) 1+2)1-1}=051+2=0成-1=0，解料，元==2 24小清促-如+3=0，&-4+3=n,小是方程-LA2D3D4B5.C6C1B表2等案得-) 45■0，水程有霄个相等的宾数图 2m.3111-5128及161线1 2)方程，■4(34+1)可北为9：-2-40.甘方程：- +情n的银生n时+te地云÷：H解：4：--4-n2. 3解：(11→10月“9.六1-14t34=4,44-2: 12-40的月湖式点=《-1注-年×从x《-4)=2推>0， +8a+-进-心.号：当e-b时，或-2 :12m≥0.14+1≥0.i宽方程鱼有用角升相等的实 222+2+4=0.x2+1山=4，则242t1=4+1.月 丛力程有丙个不用等约离数限： 数根： 警考爸案