27.3 位似-【名师学案】2023-2024学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

27.3位似 第1课时 位似图形 知识储备 L,两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交 ,并且这点与对应顶点所连线段 ,那么这两个多边形是位似多边形. 第5题图 第6题图 2.利用位似，可以将一个图形 或 6.(2023·长春改编)如图，△ABC与△DEF位 ④基础练 似，点O是它们的位似中心，其中OB=BE, 则△ABC与△DEF的周长之比是() 知识点一位似图形的概念 A.1:2B.1:4C.1:3D.1:9 1.下列命题中，正确的是 7.(2023·重庆模拟)如图，△ABC与△DEF是 A.全等的图形一定是位似图形 位似图形，点O为位似中心，相似比为2：3. B.相似的图形一定是位似图形 若△ABC的面积为8，则△DEF的面积是 C.位似图形一定是全等图形 () D.位似图形一定是相似图形 A.15 B.16 C.9 D.18 2.已知△ABCc∽△A'B'C',下列图形中，△ABC 和△A'B'C‘不存在位似关系的是 0… 第7题图 第8题图 8.(2023·河北模拟)如图，以点O为位似中心， 3.用直尺画出下列位似图形的位似中心O, 把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C', 以下说法中错误的是 ( A.△ABC∽△A'B'C B.点C,点O,点C三点在同一直线上 C.AO:AA′=1：2 知识点二位似图形的性质 D.AB∥A'B 4.两个位似图形的对应点到位似中心的距离之 知识点三位似图形的画法 比是2：3，则这两个图形的相似比是() 9.(教材P48练习T2变式)如图，以点O为位 A.2:3B.4:9C.√2：3D.1:2 似中心，把△ABC放大到原来的2倍. 5.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似 中心，位似比为2：3，点A,B的对应点分别 为点A',B',若AB=6,则AB'的长为() A.8 B.9 C.10 D.15 45 九年级数学·下册 B综合练 出 形缩小或放大。 10.如图所示的网格中，以点O为位似中心，四 (1)如图1，点O是等边△PQR的中心，P', 边形ABCD的位似图形是 ( ) Q,R'分别是OP,OQ,OR的中点，则 △PQ'R'与△PQR是位似三角形.此时， △P'Q'R'与△PQR的位似比是 位似中心是 (2)如图2，用下面的方法可以画△AOB的 内接等边三角形.阅读后证明相应问题. 画法： A.四边形NPMQ B.四边形VPMR ①在△AOB内画等边△CDE,使点C在 C.四边形NHMQ D.四边形NHMR OA上，点D在OB上 11.(2023·揭阳模拟)如图，在学习《位似》时， ②连接OE并延长，交AB于点E',过点 小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系 E作E'C'∥EC,交OA于点C',作 中画出了△ABC的位似图形△A,BC. ED'∥ED,交OB于点D' ③连接CD',则△CD'E是△AOB的 内接三角形. 求证：△CD'E'是等边三角形 5引 酒2 图1 图2 (1)仅借助不带刻度的直尺，在图1中标出 △ABC与△A,B,C,的位似中心M点的 位置（保留作图痕迹），并写出点M的坐 2 标 (2)若以点O为位似中心，仅借助不带刻度 的直尺，在图2中画出△AB1C1在y轴 左侧的位似图形△AB,C2,且△A,B,C 与△A2BC2的相似比为2：1. C素养练 出出 12.我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角 形，而且每对对应点所在的直线都经过同一 个点，那么这两个三角形叫做位似三角形， 它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位 核心 几何直观运算能力推理能力 似中心.利用三角形的位似可以将一个三角 素养 助学助散优质高数 46 第2课时 平面直角坐标系中的位似 知识储备 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,4), 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中 过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐 心，画一个与原图形位似的图形，使它与原图形的 相似比是k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似 标原点0为位似中心缩小为原图形的？，得 图形上的点的坐标为 到△COD,则CD的长度是 A基础练 出出 易错点○因考虑问题不全面而漏解 4.在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐 知识点一用坐标表示位似 1.(1)(2023·嘉兴)如图，在直角坐标系中， 标分别为A(一2,4)，B(-4,0),O(0,0).以 △ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2, 原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原 1),C(3,2),现以原点O为位似中心，在 来的2，得到△CDO,则点A的对应点C的 第一象限内作与△ABC的相似比为2的 坐标是 ( 位似图形△A'B'C',则顶点C的坐标是 A.(-1,2) B.(1,-2) () C.(1,2) D.(-1,2)或(1，-2) A.(2,4)B.(4,2)C.(6,4)D.(5,4) 【点津】在平面直角坐标系中，一个图形关于原点位 似的图形有两个，若新图形与原图形的相似比是k, 则新图形上对应点的坐标是原图形上对应点坐标的 k或一k倍 知识点二平面直角坐标系内图形的位似作图 第1(1)题图 第1(2)题图 5.如图，在平面直角坐标系中，已知O是坐标原 (2)(2023·唐山一模)如图，在平面直角坐 点，A,B两点的坐标分别为(3，一1)，(2,1). 标系中，△OAB的顶点为O(0,0), (1)以点O为位似中心，在y轴的左侧画出将 A(12,9),B(9,0).以点O为位似中心， △OAB放大2倍后的△OA'B'; 在第三象限内作与△OAB的相似比为 (2)分别写出A,B两点的对应点A',B的坐标 1：3的位似图形△OCD,则点C的坐标为 2.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原 点O为位似中心放大后得到△OCD.若 B(0,1),D(0,3),则△OAB与△OCD的相似 比是 A.2:1 B.12 C.3:1 D.1:3 4(2,4) OD B 第2题图 第3题图 47 九年级数学·下册 B综合练 A,B两点，△BOC与△B'O'C'是以点A为位 似中心的位似图形，且相似比为1：2，求点 6.如图，A是反比例函数y= B的坐标 (x>O)图象上的一点，点B, D在y轴正半轴上，△ABD 是△COD以点D为位似中心的位似图形，且 △ABD与△COD的相似比是1：3，△ABD 的面积为1，则k的值为 () A.2 B.3 C.4 D.8 7.如图，△OAB与△OCD是 以点O为位似中心的位似 图形，相似比为3：4， B D x ∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是 (6,0),则点C的坐标为 C茶养练 8.如图，直线y= 3x十1与x轴y轴分别交于 ·微专题（四) 确定位似中心的坐标 解题技巧 b= 代入得 解得 k 确定位似中心的方法：找位似图形上的 -k+6= 1b= 两对对应点，分别过这两对对应点作直线， .直线CE为y= .当y=0时 这两条直线的交点就是位似中心，有时需注 x ,∴点P的坐标是 意，两个位似图形可能在位似中心的同侧， 【变式练习】 也可能在位似中心的两侧，避免漏解。 1.如图，在正方形ABCD和正方形OEFG中， 确定位似中心坐标的方法：先分别求出 点A和点F的坐标分别为(3,2)，（一1，一1）， 所作的两条直线的解析式，然后联立得方程 则两个正方形的位似中心的坐标是 组，求方程组的解即为位似中心的坐标， A.(1,0) 【例】如图，已知矩形OABC与 B.(-5,-1) 矩形ODEF是位似图形，P是 C.(1,0)或(-5，-1) 位似中心，若点B的坐标为(2， D.(1,0)或(-5，-2) 4),点E的坐标为(-1,2)，求 2.(2023·遂宁)在如图 点P的坐标. PPOA 所示的平面直角坐标 解：.矩形ABCO,B(2,4),C点 系中，格点△ABC, 在y轴上∴.C(0, ).由题意可知位似中 △DEF成位似关系， 心P是直线CE与 轴的交点，设直线 则位似中心的坐标为 CE为y=k.x+b,把C(0, ),E(-1,2) 助学助教优质高致 48∠OCB..∠EBC=∠OCB..OC∥BE.BE⊥CE,.半径OC⊥CE, .CE是⊙O的切线：(2)解：连接AC,,AB是⊙O的直径，∴.∠ACB= 90°，∴.∠ACB=∠CEB=90°.'∠ABC=∠EBC,.△ACB∽△CEB, A 小说跽亮gC=2a 27.2.2相似三角形的性质 知识储备 1.相似比2.相似比3.相似比的平方 基础练 BE 1.C2.1)B元BE 5 7.5(2)63.(1)C(2)C4.815.(1)证明：：∠BCE= ∠ACD,∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠IDCE=∠ACB.又：∠A=∠D, △ABC△DBC,2)解：AABC△DBC:S=(停)=告÷0=号，即 S△DEc ACE 是=号CB=.6,4:25或9：2571c8B91日(22+1816 10.解：(1)，四边形BFED是平行四边形，∴.DE∥BF,.DE∥BC,∴.△ADE∽△ABC, A8-P光=AB=8,AD=2;(2)△ADE0AABC,a匹=PDE S△c BC= (兮)厂-高：△ADE的面积为1，△ABC的面积是16.：四边形BFED是平行四边 形EF/AB△EFC△ABC器-（保）广-品i△EC的面积为平行 四边形BFED的面积=16-9-1=6.山.解：()2mm,49nm(2)设PN= mm,由题意可知△APN△ABC,瓷怎即高02，解释PQ-80-子 S=P0:PN=(80-子)=-号r+80-号<0，开口向下，当x=60时， S有最大值2400mm2.此时PN=60mm,PQ=40mm. 27.2.3相似三角形应用举例 知识储备 相等 基础练 1.C2.B3.解：过点E作EH⊥AB于点H,交CD于点G.由题意，得CG∥AH, △CGD△AHE器爵3品2解得AH=1.AB=AH+HB= AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).答：旗杆AB的高度是13.5m.4.B5.76.450 7.178.309.解：AB⊥AF,CD⊥AF,GH⊥AF,.AB∥CD∥GH,.△EDCc △EBA,△FHGO△FaA,-,俗=跃由愿点知DC=GHF-e, ∴0ACAc解得AC=106浴-器∴品-中5解得AB=55管：大雁 6 4 2 4 塔的高度是55m.10.解：令OE=am,AO=bm,CB=xm,则由△GDC△EOC,得 需6是即-27整理，得8.2+1.0=21a-ax0由△FBA△0A,得 需识即1：=2，.整理，得1.0=2a-a.@.将@代人D,得8.2十2a-ar EO OA' 2.1a-a.x,解得a=32,.OE=32m.答：楼的高度OE为32m. 27.3位似 第1课时位似图形 知识储备 1.一点成比例2.放大缩小 基础练 1.D2.D3.解：点O的位置如图所示. 4.A5.B6.A 168 7.D8.C9.解：如图，△A'B'C和△A"B"C"即为所求 10.A11.解：(1)(0,2)如图，点M即为所求；(2)如图，△A2B2C2即为所作 … 12.(1)2 点O(2)证明：.EC'∥EC, 图1 图2 E'D'∥ED,∴.△OCE△OCE',△ODE∽△ODE,∴.CE:CE=OE:OE,DE:DE= OE:OE,∠CEO=∠CE'O,∠DEO=∠DE'O,∴.CE:CE'=DE:DE',∠CED= ∠CE'D',∴△CDE∽△C'D'E'.△CDE是等边三角形，∴△CD'E是等边三角形. 第2课时平面直角坐标系中的位似 知识储备 (kx,ky)或(-kx,一ky) 基础练 1.(1)C(2)(-4,-3)2.D3.24.D5.解：(1)图略(2)A'(-6,2),B(-4,-2). 6.D7.(2,2√3)8.解：由题意可知点A,点B的坐标分别是(-3,0)，(0,1).：△BOC 与△B0C是以点A为位似中心，且相似比为1：2票-8器-号0B=20B 2,0A=2A0=6,当点B在第一象限时，O(6-3,0),即(3.0).当x=3时，y=3x十1= 2,即点B的坐标是(3,2)，同理可求当B在第三象限时，点B的坐标是（一9，一2）， .综上所述，点B的坐标是(3,2)或(-9，一2). 微专题（四）确定位似中心的坐标 例4x442242x+4-2(-2,0)变式练习1.D2.(-1,0) 进阶测评（三）（27.2.2一27.3) 1.B2.D3.A4.B5.C6.D7.1:28.29.7.5 10.1080元11.解：(1)如图，△OBC1即为所求.(2)10 12.解：由题意知BG=HE=CF=3.5米，∴.DH=DE-CF= 7-3.5=3.5(米).AB⊥BF,DE⊥BF,.AG∥DH, ÷△CDH△CAG肥-器-员即裙-嘉解得AG … 14(米)，AB=AG+GB=14+3.5=17.5(米).答：旗杆AB的高度为17.5米.13.C 14.(1)证明：，四边形PNMQ为矩形，.MN∥PQ.即PQ∥BC,∴.△APQ∽△ABC: (2)解：设矩形宽为xmm,则长为2xmm.:四边形PNMQ为矩形，.PQ∥BC.:AD⊥ BC,.PQ⊥AD.'PN:PQ=1：2,.PQ为长，PN为宽，由题意知PQ=2xmm,AD= 10mm,BC=150mm,PN=xmm.:PQ/C.△APQn△ABC.瓷-5，即高 100,解得一9,2-9答：矩形的长是9mm,宽是9mm 难点突破专题相似与圆（选用） 1.B2.33.B4.证明：(1).AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，.∠PAO=90 :PC=PA,OC=OA,PO=PO,∴.△POC≌△POA,.∠PCO=∠PAO=90°，即PC⊥ OC.又：OC为⊙O的半径，.PC为⊙O的切线：(2)由(1)可知：OC⊥PD,.∠DCO= ∠DAP=90.又：∠0DC=∠PDA.△0DC∽△PDA,∴咒-茶，即PD:0C- PA·OD.5.解：(1)连接OD,:FD为⊙O的切线，∴∠ODF=90°.DF∥AB, ∠A0D=180°-∠ODF=90,∠ACD=号∠A0D=45.rCF=CD,∴∠PF=∠CDF- 67.5°：(2)：OA=OD,∠AOD=90°，.∠EAD=45°.∠ACD=45,.∠ACD= ∠EAD∠ADE=∠DA△DMEn△DCA.六8焉-iDA=DE·Dc=8, DA>0,.DA=2√2.OA+OD=2OA=DA=8,OA>0,∴.OA=2,即⊙O的半径为2. -169