第17章 模型构建专题 利用勾股定理解决最短路径问题&方法技巧专题 构图法求三角形的面积-【名师学案】2023-2024学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

模型构建专题 利用勾股定理解决最短路径问题 解题技巧 【针对训练】 利用勾股定理解决最短路径问题，解题的基本思 1.如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底 B 路和方法为：(1)定平面：化“立体”为“平面”，将立体 图形上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离： 面周长是12m,高是5m,要从A点 (2)定直角三角形：一般需根据题意构造直角三角形： 环绕油罐建梯子，正好到达A的正 (3)求最短距离：利用勾股定理求出最短路径长.最短 上方的B点，则梯子最短需要 路径基本模型如下： A.12m B.13m C.17m D.20m 图例 2.如图，桌面上的正方体的棱长为 2,B为一条棱的中点.已知蚂蚁 回“☑ 沿正方体的表面从A点出发， 圆柱 d丛凸 到达B点，则它运动的最短路程是 A.10 B.4 C.17 D.5 3.如图，长方体的长为3cm,宽 长方体 为2cm,高为5cm,点B到点 C的距离为1cm,一只蚂蚁如 阶梯 果要沿着长方体的表面从距点 A2 问题 A1cm的点P处爬到点B,需要爬行的最短 距离是 【例】（教材P39复习题T12变式）4 A.4cm B.5 cm 如图，有一个圆柱，它的高等于 C.√34cm D.3√5cm 12cm,底面半径等于3cm,在圆柱 4.如图，有一个三级台阶，它 的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 的每一级的长、宽、高分别 A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程 为24dm,3dm,3dm,点 是多少？（π取3）》 A和点B是这个台阶上两个相对的端点，点 解：将圆柱沿高AA'剪开如 A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食 图所示，根据“两点之间， 物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路 最短”可知，蚂蚁爬 程是 dm. 行的最短路程是线段AB的长， 5.如图，圆柱形杯子的高为蚂蚁 则由题意可知：AA'= ,A'B= 18cm,底面周长为24cm, 2πX3= 在杯内壁离杯底4cm的 B蜂密 在Rt△AA'B中，根据勾股定理，得 点B处有一滴蜂蜜，此时 AB =VAA?+ =122+ 一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂 蜜相对的点A处，则蚂蚁从杯外壁A处爬到 .需要爬行的最短路程是 cm. 杯内壁B处的最短路程是 cm. 助学助散优质高数 32 方法技巧专题 构图法求三角形的面积 中考新考法综合与实践 问题提出 在△ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为√5，√10，√13，求△ABC的面积. 米数学兴趣小组发现，如果运用三角形西积公式S=弓ah(为底边，h为对应的高)求解，那么高h 的计算较为复杂.进一步观察发现AB=√5=√1+2，BC=√10=√1+3，AC=√13= 素材1 √②十3，若把△ABC放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且△ABC的三个顶 点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出△ABC的面 积，这种借助网格计算面积的方法称为“构图法” 某园艺公司对一块三角形花圃PQR进行改造，如图3所示，分别以原花圃的PQ,PR为边向外扩 素材2 建正方形花圃PQGF,正方形花圃PRDE,并增加三角形花圃FPE,将原花圃改造为六边形 QRDEFG. 任务1 (1)请直接写出图1中的三角形面积： (2)已知△KMN的三边KM,MN,KN的长分别为√5,2√2，√I7,请利用图2的正方形网格（每个 任务2 小正方形的边长为1)画出相应的△KMN,并求出它的面积. 任务3 (3)若三角形花國的边PQ=2√2，PR=√5，QR=3,求改造后的六边形花圃QRDEFG的面积. Q 图1 1图2 图3 备川图 请完成进阶测评（二）】 33 八年级数学·下册-AC·BC300×400-240(km).:240<250..海港C受台风影响;(2)如 AB 500 图,当EC=250km,FC=250km时,正好影响海港C.*.CD EF,.'.EF=2DE. 在Rt△CED中,由勾股定理,得ED= EC^{-CD= 250^{}-240=70(km). *EF-140km...140-20-7(h).即台风影响该海港持续的时间为7h. 模型构建专题 利用勾股定理解决最短路径问题 【例】线段 12 29AB{9{②15 15 【针对训练】 1.B 2.C 3.B 4.30 5.20 方法技巧专题 构图法求三角形的面积 任务1:3.5 解:任务2:如图2,△KMN的三边KM,MN,KN的长分别为/5,2②,17.; 任务3:如备用图,PQ-22,PR-5.QR-3.'Spo-3×2-3-S '.改造后的六边形花圃QRDEFG的面积为3×2+PQ{}+PR{}=6+8十5=19. 2 备H图 第十七章核心素养专练 1.2十6②-(10-x)2 2.解:由题意得BC-AC-CE=17-7-10(m).: BFC=90”},CF=8m,:'BF= VBC-CF^{}=V10^{-8-6(m).在Rt△ACF$$ 中,AC-17m,CF=8m,'AF=AC-CF^{}= 17}-8^-15(m).*'AB=AF$$ -BF=15-6=9(m).答:小船移动的距离AB的长是9m.3.25 4.解;过点 P作PCIAB于点C,则 ACP= BCP=90{}.甲货船从A港口沿东北方向 出发,.'PAC=45*$.'APC=90*-PAC=45*=PAC.又:AC+PC -AP^*}..'.2AC}=10^{}.解得AC=PC=5\/②(海里).·乙货船从B港口沿北偏西 $$ 0{方向出发,.'PBC=30{。.PB=2PC=10 /2(海里).BC=PB-PC* =(10 ②)-(5 /②)=56(海里).'AB=AC+BC=(5②+5 6)海里.答; A港口与B港口相距(5/2十5)海里. 第十七章考点整合与素养提升 1.9 2.证明:由题意可知S形ixcp-(a十b)(a+b)= 整理,得^+6*-^{}. 3.D4.D5.46.100 7.5 8. 解:(1)10(2)如图,正方形OPQM即为所求; (③)如 图,补充的数轴及点F,E即为所求. 9.C 10.D 11.48 12.150*13.5或/7 14.13或3715.(1)证明:·· S正=(b-a)②-62-2ab+a^{,S正方形-c2-4×-ab= c*-2ab,',b-2ab+^}=c^{}-2ab.,b}+a^{}=c^{};(2)解:由题意,得OB=OH= 3,AB+BC=24-4=6.设BC=AH=,则AB=6-t,'.AO-t+3.在R$$ △AOB中,AB^{}=AO+BO{,'(6-){}=3^{+(3+){,解得x=1.AO=4.$$ 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角性质 知识诸备 1.平行 □ABCD 2.相等 相等 3.距离 180