18.2.2 菱形-【名师学案】2023-2024学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 知识储备 形ABCD对角线的交点坐标是O(0,0),点B 1.菱形的定义：有一组 相等的平行四边 的坐标是(0,1)，且BC=5,则点A的坐标 形叫做菱形 是 2.菱形的性质：(1)菱形的四条边都 6.(中考·大连)如图，在菱形ABCD中，点E, (2)菱形的对角线 ,且每一条 F分别在边AB,AD上，AE=AF 对角线平分 :(3)菱形是 求证：CE=CF. 图形，对称轴是 3.菱形的面积与两条对角线的关系是菱形的面积 等于 ④基础练 知识点一 菱形的性质 1.关于菱形的性质，以下说法不正确的是() A.四条边相等 B.对角线相等 知识点二菱形的面积 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形 7.(2023·临沂改编)如图， 2.(2023·福建)如图，在菱形ABCD中，AB= 在菱形ABCD中，对角线 10,∠B=60°，则AC的长为 ( AC,BD相交于点O,AC=6,B A.2 B.4 C.5 D.10 BD=8,则菱形的边长是 ,面积是 中考新考法补充解题过程 8.(2023·丽水改编)如图，在菱形ABCD中， AB=2,∠DAB=60°，求菱形ABCD的面积. 第2题图 第3题图 请完成下列填空： 3.(中考·河南)如图，在菱形ABCD中，对角 解：连接BD交AC于点O. 线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点. 菱形ABCD, 若OE=3,则菱形ABCD的周长为() ∴.∠AOB= ,AC平分 A.6 B.12 C.24 D.48 ∠DAB,AC= AO.BD= BO. 4.如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点， ÷∠BA0=2∠BAD= 过点E作EF⊥BC于点F.若EF=4,则点E 在Rt△AOB中，∠BAO=30°， 到边AB的距离为 ∴.OB= AB= ∴.AO=VAB2-OB2= ∴.BD ,AC= D S形ABD= AC.BD=2× 第4题图 第5题图 5.(中考·贵阳)如图，在平面直角坐标系中，菱 53 八年级数学·下册 B综合练 出 9.【训练角度：菱形的面积与垂线段最短】如图， 菱形ABCD的两条对角线长AC=6,BD= 8,点E是BC边上的动点，则AE长的最小 值为 () A.4 C.5 D 10.如图，在菱形ABCD中，点M,N分别在边 AB,CD上，且AM=CN,MN与AC相交 C索养练 出 于点O,连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC 13.如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角 的度数为 ( 线BD=16,点O是线段BD上的动点， OE⊥AB于点E,OF⊥AD于点F. (1)对角线AC的长是 ,菱形ABCD 的面积是 ； A.28° B.52 C.62 D.72 (2)当点O在对角线BD上运动时，OE十 11.(2023·大连)如图，在菱形ABCD中，AC OF的值是否会发生变化？请说明理由. BD为菱形的对角线，∠DBC=60°，BD= 10,点F为BC的中点，则EF的长为 12.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,点E是CD的中点，连接OE,过点C 作CF∥BD交OE的延长线于点F,连接DF. (1)求证：△ODE≌△FCE: (2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证 明过程， 核心 素养 几何直观运算能力推理能力 助学助散优质高数 54 第2课时 菱形的判定 知识储备 4.【条件开放】(2023·齐齐哈尔)如图，在四边 1.有一组邻边 的平行四边形是菱形 形ABCD中，AC⊥BD,垂足为O,AD=BC, 2.对角线互相 的平行四边形是菱形. 请添加一个条件： ,使四边形 3.四条边 的四边形是菱形. +++-+++++++++十十++++++十十十 ABCD成为菱形. ④基础练 5.(2023·鞍山)如图，在□ABCD中，作对角线 BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交 知识点一有一组邻边相等的平行四边形是菱形 AD,BC于E,F.连接BE,DF.求证：四边形 1.(2023·深圳)如图，在平 BFDE是菱形 行四边形ABCD中，AB= 4,BC=6,将线段AB水平 向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边 形ECDF为菱形，则a的值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在□ABCD中，点E,F在AD,BC上， 且BE平分∠ABC,EF∥AB. 求证：四边形ABFE是菱形. 知识点三四条边相等的四边形是菱形 6.如图，点B,C分别是锐 角∠A两边上的点， AB=AC,分别以点B, C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交 于点D,连接BD,CD,则四边形ABDC的形 状是 ,依据是 知识点二对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.(教材P58练习T2变式)如图，在□ABCD 7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BD平 中，AC,BD相交于点O,AB=13,AC=24, 分∠ABC,∠A=∠C. DB=10,则四边形ABCD是 求证：四边形ABCD是菱形 A.一般的平行四边形B.矩形 C.菱形 D.不能确定 第3题图 第4题图 55 八年级数学·下册 B综合练 出 C索养练 8.如图，是一张平行四边形纸片ABCD,要求利 11.将两个全等的三角尺ABC与三角尺DEF 用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的 按如图1所示的方式摆放(BC与EF重 作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判 合)，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠ABC= 断 ( ∠DEF=30. 甲：连接AC,作AC 乙：分别作∠A与∠B的平 (C(E) 的中垂线交AD, 分线AE,BF,分别交BC于 BC于点E,F,则四 ,点E,交AD于点F,则四边 B(FY 边形AFCE是菱形. 形ABEF是菱形. 图1 图2 图3 (1)如图2，固定三角尺ABC不动，将三角 A.甲正确，乙错误 B.甲错误，乙正确 尺DEF沿BC方向平移至图2所示的 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 位置，分别连接AE,BD,则四边形 ABDE的形状为 (2)如图3，在图2的基础上，将三角尺DEF 第8题图 第9题图 沿BC方向继续平移，当四边形ABDE 9.(教材P67复习题T5变式)如图，矩形ABCD的 是菱形时，分别连接AF,CD, 对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥ ①请判断此时四边形ACDF的形状，并 BD.若AC=10,则四边形OCED的周长是 说明理由； ②若AF=1,则四边形ABDE的周长为 10.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，点 E是AC的中点，过点C作CF∥AB,交DE 的延长线于点F. (1)求证：AD=CF; (2)连接AF,CD.如果点D是AB的中点， 那么当AC与BC满足什么条件时，四边 形ADCF是菱形，证明你的结论 核心 素养 几何直观运算能力推理能力 助学助散优质高致 56∥CB,.∠A=∠EBC.又AB=BE,∴.△ABD≌△BEC(SAS);(2)·在 □ABCD中，ABLCD,且AB=BE,∴.BE LCD.∴.四边形BECD为平行四边 形.∴OB=号BC,OE=号ED.:∠BOD=2∠A=2∠EBC,且∠BOD=∠EBC +∠BEO,∴∠EBC=∠BEO.∴.OB=OE..BC=ED.又，□BECD,∴□B- ECD是矩形.12.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥ CD,OB=OD,OA=OC.∴.∠ABE=∠CDF.'点E,F分别为OB,OD的中点， BE=2OB,DF=名OD.BE=DF.又：AB=CD,∠ABE=∠CDF, △ABE≌△CDF;(2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.理由如下： AC=2OA,AC=2AB,.AB=OA.E是OB的中点，.AG⊥OB..∠OEG= 90°.同理可证CF⊥OD,∴.EG∥CF.由(1)知△ABE≌△CDF,∴.AE=CF.又 AE=EG,EG=CF.∴.EG LCF.∴.四边形EGCF是平行四边形.：∠OEG= 90°，.四边形EGCF是矩形. 18.2.2菱形 第1课时菱形的性质 知识储备 1.邻边2.(1)相等(2)互相垂直平分一组对角(3)轴对称对角线所在 的直线3.两条对角线乘积的一半 A基础练 1.B2.D3.C4.45.(2,0)6.证明：菱形ABCD,.∠B=∠D,AB= BC=CD=DA.又.AE=AF,.AB-AE=AD-AF,即BE=DF..△BEC≌ △DFC.CE=CR.7.5248.902230°号152252 52239.B10.C11.512.(1)证明：：点E是CD的中点，.CE= DE.又CF∥BD,∴.∠ODE=∠FCE.又∠DEO=∠CEF,.△ODE≌ △FCE;(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：·△ODE≌△FCE,.OE= FE.又，CE=DE,∴.四边形ODFC为平行四边形.又，四边形ABCD为菱形， ∴.AC⊥BD,即∠DOC=90°，.平行四边形ODFC为矩形.13.(1)1296 解：(2)OE十OF的值不变.理由如下：连接AO.四边形ABCD为菱形，∴.AB 卓AD=10.由（①知S造BD=96,SAAm三2S8EAD=48,SAm=Sam于 S。m48=号AB:0E+7AD.0r,即48=2×10·OE+号×10·OF,解 得OE+OF=9.6.即OE+OF的值不变. 第2课时菱形的判定 知识储备 1.相等2.垂直3.相等 A基础练 1.B2.证明：：□ABCD,∴.AD∥BC.∴.∠AEB=∠EBF.BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠EBF.∴∠ABE=∠AEB..AB=AE.又.AB∥EF,AE∥BF, 四边形ABFE是平行四边形.又，AB=AE,.□ABFE是菱形.3.C4.AD ∥BC(AB=CD或OB=OD等)5.证明：，'在□ABCD中，O为对角线BD的 中点，∴AD∥BC,BO=DO.∴.∠EDB=∠FBO,∠DEO=∠BFO.∴.△DOE≌ △BOF(AAS)..OE=OF.又，OB=OD,∴.四边形EBFD是平行四边形.EF ⊥BD,∴.四边形BFDE是菱形.6.菱形四条边相等的四边形是菱形7.证 明：，BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD.又∠A=∠C,BD=BD,∴.△ABD≌ △CBD.∴.AB=BC,AD=CD.又AB=AD,.AB=BC=CD=AD..四边形 ABCD是菱形.8.C9.2010.(1)证明：：CF∥AB,∴.∠ADF=∠CFD, ∠DAC=∠FCA.:点E是AC的中点，.AE=CE.∴△ADE≌△CFE.∴.AD =CF;(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由(1)知，AD= CF,:AD∥CF,.四边形ADCF是平行四边形.，AC⊥BC,.∠ACB=90°. 点D是AB的中点，E是AC的中点，.DE∥BC..∠AED=∠ACB=90°，即 DF⊥AC.∴.□ADCF是菱形.11.(1)平行四边形解：(2)①四边形ACDF是 菱形，理由如下：连接AD,交BE于O.,四边形ABDE是菱形，.AD⊥EF,EO =BO,DO=AO..BC=EF,.BC-BO=EF-EO,OC=OF..OA=OD, ∴.四边形ACDF是平行四边形.又，AD⊥BE,.□ACDF是菱形.②4√3 18.2.3正方形 知识储备 1.(1)直角(2)相等(3)相等且互相垂直平分一组对角(4)轴对称 -184