18.1.2 平行四边形的判定&方法技巧专题 平行四边形判定方法的选择-【名师学案】2023-2024学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

18.1.2 平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定(1) 知识储备 知识点二两组对角分别相等的四边形是平行 1.两组对边分别 的四边形是平行四边形. 四边形 2.两组对边分别 的四边形是平行四边形， 4.下面给出的是四边形ABCD中∠A,∠B, ↑3.两组对角分别 的四边形是平行四边形， ∠C,∠D的度数比，其中能判定四边形是平 4.对角线 的四边形是平行四边形. 行四边形的是 ( ④基础练 出出 A.4:3:2:1 B.3:2:3:2 知识点一两组对边分别相等的四边形是平行 C.3:3:2:2 D.3:2:2:1 四边形 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=∠D. 1.(1)在四边形ABCD中，AB=6cm,BC= 求证：四边形ABCD为平行四边形 4cm,当CD= ,AD= 时，四边形ABCD是平行四边形. (2)【T1(1)变式】如 图，点D是直线I 外一点，在1上取 两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆 知识点三对角线互相平分的四边形是平行四边形 心，AD,AB的长为半径画弧，两弧交于 6.如图，AC,BD是相交的两D 点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是 条线段，O分别为它们的中 ,理由是 点.当BD绕点O旋转时， 的四边形是平行四边形. 连接AB,BC,CD,DA所得到的四边形 2.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且 ABCD始终为 形 (a一c)2+|b一d=0,则这个四边形为 7.(教材P47练习T2变式)如图，□ABCD的 对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是 3.(2023·宿迁模拟)如图，在☐ABCD中，点 OA,OC的中点. E,F分别在AB,CD上，且AE=CF 求证：四边形DEBF是平行四边形 (1)求证：△BEC≌△DFA: (2)求证：四边形AECF是平行四边形 41 八年级数学·下册 B综合练 出 8.已知△ABC(如图1)，按图2、图3所示的尺规 作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四 边形ABCD是平行四边形的依据是 () C索养练 出 图1 图2 图3 12.如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E,F A,两组对边分别平行的四边形是平行四边形 分别在CD,AB的延长线上，且AE=AD, B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 CF=CB. C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (1)求证：四边形AFCE是平行四边形： D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述 9.【条件开放】顺次连接平面上A,B,C,D四点 的结论还成立吗？若成立，请写出证明 得到一个四边形，从①AB∥CD:②BC=AD: 过程：若不成立，请说明理由 ③∠A=∠C:④∠B=∠D四个条件中任取 其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行 四边形”这一结论的情况共有 () A.5种 B.4种 C.3种 D.1种 10.(教材P51习题T12 ) 变式)如图，在四边形 E ABCD中，对角线 A AC,BD相交于点E,∠CBD=90°，BC=4, BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的 面积是 11.【训练角度：平行四边形的性质与判定、等腰 三角形的判定及三角形全等】如图，四边形 ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE 交CD于点F,交BC的延长线于点E. (1)求证：BE=CD: (2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE, 求证：四边形ACED是平行四边形 核心 素养 几何直观推理能力运算能力 助学助散优质高致 42 第2课时 平行四边形的判定(2) 知识储备 知识点二平行四边形判定的灵活运用 一组对边平行且 3.(2023·衡阳)如图，在四边形ABCD中，已 的四边形是平行四边形.用 知AD∥BC.添加下列条件不能判定四边形 符号语言表示为：如图， ABCD是平行四边形的是 () ,AB∥CD, ,.四边形ABCD是平 A.AD=BC B.AB∥DC 行四边形.或，AD∥BC, ,,,四边 C.AB=CD D.∠A=∠C 形ABCD是平行四边形. D ④基础练 知识点一 一组对边平行且相等的四边形是平 第3题图 第4题图 行四边形 4.【条件开放】如图，四边形ABCD的对角线 1.(2023·河北模拟)依据所标数据，下列一定 AC与BD相交于点O,AB=CD,请添加一 为平行四边形的是 ( 个条件： (只添加一个)，使四边形ABCD是平行四边形. 110 100 70P 知识点三平行四边形的性质与判定的综合运用 80l10 0110的 5.(1)(2023·南充改编)如图，在□ABCD中， A B D 点E,F在对角线BD上，且BE=DF, 2.(1)(答题模板)如图，在四边形ABCD中，AC 求证：四边形AECF是平行四边形 与BD相交于点O,AB∥CD,OB=OD 求证：四边形ABCD是平行四边形： 证明：AB∥CD, ∴.∠ABO= ∠BAO= .OB=OD, ..△ABO≌△CDO(AAS). ..AB= .又AB∥ ∴.四边形ABCD是平行四边形. (2)【T5(1)变式】如图，在□ABCD中，AE⊥BD, (2)(2023·自贡)如图，在平行四边形ABCD CF⊥BD,垂足分别为E,F.连接AF,CE 中，点M,N分别在边AB,CD上，且 ①求证：AE=CF; AM=CN.求证： ②求证：四边形AECF是平行四边形. ①四边形DMBN是平行四边形； ②DM=BN. 43 八年级数学·下册 易错点○对平行四边形判定方法掌握不牢致错 6.【开放性问题】在四边形ABCD中，从①AB∥ CD:②AB=CD:③BC∥AD:④BC=AD中 任选两个，使四边形ABCD为平行四边形的 选法有 () A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 【点拨】可从①两组对边分别平行：②两组对边分别 相等：③一组对边平行且相等，三个方面考虑，注意： 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是 C索养练 出出 平行四边形 9.(教材P68复习题T13变式)如图，在平面直 B综合练 角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别 7.如图1，在□ABCD中，AD>AB,∠ABC为 为O(0,0),A(12,0),B(8,6),C(0,6).动点 锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边 P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度 形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲 沿边OA向终点A运动：动点Q从点B同时 乙、丙三种方案，则正确的方案是 () 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC 向终点C运动.设运动的时间为t秒 图1 (1)CQ= ,PA= (用含1的 代数式表示)： (2)直线PQ将四边形AOCB截成两个四边 取BD的中点O,作 :作N⊥BD于点N.作N,CM分别Ψ 形，求当其中一个四边形是平行四边形时 :BN=NO,OM=MD: CM⊥BD于点M分∠BAD,∠BCD 2 t的值 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是 B C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是 8.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠EAD= ∠DBC,∠AED=90° (1)求证：AE∥BD: (2)过点C作CF⊥BD于点F,连接EF,求 证：四边形EFCD是平行四边形 核心 几何直观 推理能力 素养 运算能力 创新意识 助学助敏优质高数 44 第3课时三角形的中位线 知识储备++++ L.连接三角形两边 的线段叫做三角形的 中位线。 2.三角形的中位线 于三角 形的第三边，并且等于第三边的 60 如图，用数学语言表示为：，D,E分别是AB, 知识点二三角形的中位线与平行四边形 AC的中点， 6.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,BC ④基础练 的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条 知识点一三角形的中位线 件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条 1.(中考·广东)如图，在△ABC中，BC=4,点 件是 ( D,E分别为AB,AC的中点，则DE=( A.∠B=∠F B.∠B=∠BCF A.0.25 B.0.5 C.1 D.2 C.AC=CF D.AD-CF D 第6题图 第7题图 第1题图 第2题图 7.如图，在□ABCD中，点M为边AD上一点， 2.(2023·眉山模拟)如图，在△ABC中，点D, AM=2MD,点E,F分别是BM,CM的中 E,F分别为边AB,AC,BC的中点，若△ABC 点.若EF=6,则AM的长为 的周长是18，则△DEF的周长为 () 8.如图，点D,E,F分别是△ABC的边AB, A.9 B.12 C.14 D.16 BC,AC的中点.求证：AE与DF互相平分. 3.(2023·金华)如图，把两根钢条OA,OB的 一个端点连在一起，点C,D分别是OA,OB 的中点，若CD=4cm,则该工件内槽宽AB 的长为 cm. 第3题图 第4题图 4.如图，CD是△ABC的中线，E,F分别是AC, DC的中点，EF=1,则BD的长为 B综合练 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°， 9.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD AB=8cm,E,F分别为边AC,AB的中点. AD=7,BD=4,CD=3.E,F,G.H (1)则∠A的度数是 别是AB,BD,CD,AC的中点，则四 (2)求EF的长. 边形EFGH的周长为 ( A.12 B.14 C.24 D.21 45 八年级数学·下册 10.如图，在四边形ABCD中， C茶养练 出 P是对角线BD的中点，E, 12.(1)如图1，在四边形ABCD中，F,E分别是 F分别是AB,CD的中点， A BC,AD的中点，连接FE并延长，分别 AD=BC,∠FPE=100°，则∠PFE的度数 与BA,CD的延长线交于点M,N.若 是 ∠BME=∠CNE.求证：AB=CD: 11.【训练角度：平行四边形的判定与性质、等边 (2)如图2，在△ABC中，O是BC边的中 三角形的性质及勾股定理】如图，等边 点，D是AC边上一点，E是AD的中 △ABC的边长是2，D,E分别为AB,AC的 点，直线OE交BA的延长线于点G.若 中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点 AB=DC=5,∠OEC=60°，则OE的长 F,连接CD. 是 (1)求证：DE=CF: (2)求EF的长. 图2 ++++++ 微专题（四）构造三角形的中位线巧解题 类型一已知两邻边中点，连中点构造中位线 类型三单中点十角平分线十垂直，补形构 L.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=8, 造三角形的中位线 CD=6,点E,F分别是AB,CB的中点，则 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E是 BC的中点，AD⊥BD,AC=7,AB=4,则 EF的长是 DE的长为 () A.1 B.2 C.1.5 D.0.5 第1题图 第2题图 类型二已知四边形对边中点，取对角线中 第3题图 第4题图 点与另两个中点连接构造双中位线 4.如图，在△ABC中，AB=8,AD为∠BAC 2.如图，在四边形ABCD中，AB=8,CD=6, 的外角平分线，且AD⊥CD于点D,E为BC ∠ABD=30°，∠BDC=120°，E,F分别是 的中点.若DE=10,则AC的长为( AD,BC的中点，则EF的长为 A.12 B.14 C.16 D.18 助学助散优质高数 46 方法技巧专题 平行四边形判定方法的选择 解题技巧 3.如图，在□ABCD中，分别以AD,BC为边向内 判定四边形是平行四边形的五种方法可概括为 作等边△ADE和等边△BCF,连接BE,DF. 三类：(1)边的关系：(2)角的关系：(3)对角线的关系. 求证：四边形BEDF是平行四边形 运用时选择哪一种方法，应根据具体情况而定，常规 解题思路和方法如下：①当已知条件中出现一组对边 相等时，一殷考虑通过证明另一组对边相等或者这组 对边平行；②当已知条件中出现一组对边平行时，一 般考虑通过证明另一组对边平行或这组对边相等： ③当已知条件出现一组对角相等，可选择证明另一组 对角相等：④当已知条件中出现对角线，且可以得到 一条对角线的中点时，一般考虑证明中点也是另一条 对角线的中点。 ④分类突破 出 类型一已知一组对边相等 1.如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是 垂足，DE=BF. 求证：四边形ABCD是平行四边形. D 类型二已知一组对边平行 4.【条件开放】在四边形ABCD中，AD∥BC,从 下列条件中：①AB∥CD:②AD=BC:③∠A =∠C:④∠B=∠C任选一个，能使四边形 ABCD是平行四边形的条件的序号是 5.(2023·宁夏)如图，已知EF∥AC,B,D分别 是AC和EF上的点，∠EDC=∠CBE. 求证：四边形BCDE是平行四边形. 2.如图，四边形ABCD中，AB=DC,将对角线 AC向两端分别延长至点E,F,使AE=CF. 连接BE,DF,若BE=DF,求证：四边形 ABCD是平行四边形. 47 八年级数学·下册 类型三已知条件与对角线有关 B素养提升 出 6.(2023·福建改编)如图，在□ABCD中，O是 8.(2023·广安)如图，在四边形ABCD中，AC 对角线BD的中点，EF过点O且分别交 与BD相交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足 AB,CD于点E,F,连接DE,BF. 分别为E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA. 求证：四边形DEBF是平行四边形. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 7.如图，在□ABCD中，点O是对角线AC的中 9.(2023·扬州节选)如图，点E,F,G,H分别 点，EF过点O,与AD,BC分别相交于点E, 是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF, F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G, CE相交于点M,连接AG,CH相交于点N. H,连接EG,FG,FH,EH. 求证：四边形AMCN是平行四边形. 求证：四边形EGFH是平行四边形， D 请完成进阶测评（三） 助学助教优质高数48A基础练 1.平行四边形两组对边分别平行2.63.C4.(1)50°130°(2)70° 110°(3)108°5.BCBC ACB CFO CO BCBC6.C 7.10√3mm8.2或129.B10.D11.(4,2)12.1213.(1)证明：四边 形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AD=BC.∴.∠A=∠EBF,∠ADE= ∠BFE.:点E是AB边的中点，∴AE=BE.∴.△ADE≌△BFE(AAS).AD =BF.又AD=BC,.BF=BC:(2)解：△ADE≌△BFE,.DE=EF.四 边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD.∴.∠CDF=∠BEF.,DE⊥ AB,.∠BEF=90°.∴.∠CDF=90°.DE=AB,.DE=CD..△DCE是等腰 直角三角形.∴.∠DEC=∠DCE=45°.∴.∠FEC=180°-∠DEC=135. 微专题（二）“口十角平分线”→等腰三角形 1.22.8或24 第2课时平行四边形对角线的性质 知识储备 1.互相平分AO=CO,BO=D02.底高 A基础练 1.(1)4716(2)212.(1)D(2)1<AO<63.B4.证明：四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.,AE=CF,∴.OE=OF.在△BOE OB=OD, 和△DOF中，∠BOE=∠DOF,∴.△BOE≌△DOF.∴.BE=DF.5.106. OE=OF. C0DO3cm3cm12cm7.解：，在□ABCD中，DO=1.5cm,AB=5 cm,.DB=3cm,CD=AB=5cm.又，BC=4cm,∴.DB+BC=CD. △DBC是直角三角形，且∠CBD=90°.∴.DB⊥BC.∴.SeACD=BC·DB=4X3 =12(cm2).8.B9.1410.解：，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD, AD=BC,∠C=∠A=30°.，BE⊥DC于E,BF⊥DA于F,∴.CD=AB=2BF= 18,AD=BC=2BE=12.∴.SaAm=AD·BF=12X9=108,周长=2(18+12) 60.11.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，，∴，AD∥ BC,OB=OD.∴.∠OBF=∠ODE.又∠BOF=∠DOE, △BOF≌△DOE..OE=OF:(2)解：由(1)可知△BOF≌ △DOE,易证△COF≌△AOE,△AOB≌△COD,.S四边形EFB =S四边形F℃，即直线EF将□ABCD的面积二等分.应用：连 图必 接AC,BD相交于点O,作直线OP,则直线OP两旁的四边形面积相等. 微专题（三）平行四边形中的面积问题 1.162.3 18.1.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定(1) 知识储备 1.平行2.相等3.相等4.互相平分 A基础练 1.(1)6cm4cm(2)平行四边形两组对边分别相等2.平行四边形3.证 明：(1)，□ABCD,.AB=CD,AD=BC,∠B=∠D..AE=CF,.AB-AE= CD-CF,即BE=DF..△BEC≌△DFA(SAS);(2)由(1)知△BEC≌△DFA, .EC=FA.又AE=CF,.四边形AECF是平行四边形.4.B5.证明： AB∥CD,.∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°.：∠B=∠D,.∠C=∠A.又 ∠B=∠D,∴.四边形ABCD为平行四边形.6.平行四边7.证明：：四边 形ABCD为平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD..E,F分别是OA,OC的中点， “OE=OA,OF=2OC.OE=OR.又：OB=OD,四边形DEBF是平行 四边形.8.B9.C10.2411.证明：(1)，☐ABCD,..AB=CD,AD∥BC ∴.∠DAE=∠AEB.,AE平分∠BAD,∴.∠BAE=∠DAE..∠BAE ∠AEB..BA=BE..BE=CD;(2)BE=BA,BF平分∠ABE,∴.AF=EF 又.∠DAE=∠AEB,∠AFD=∠EFC,∴.△AFD≌△EFC..DF=CF.又： AF=EF,.四边形ACED是平行四边形.12.(1)证明：，四边形ABCD是平 行四边形，.DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°..∠ADE=∠CBF=60°..AE =AD,CF=CB,∴.△AED,△CFB是等边三角形.∴.∠AEC=∠BFC=60°， ∠EAF=∠FCE=120°..四边形AFCE是平行四边形；(2)解：上述结论还成 立.：□ABCD,∴.DC=AB,AD=BC,∠ADC=∠ABC,∠BAD=∠BCD,DC∥ AB,AD∥BC,∴∠ADE=∠BCD,∠BCD=∠CBF.∴.∠ADE=∠CBF.AE =AD,CB=CF,.∠ADE=∠AED,∠CBF=∠CFB..∠AED=∠CFB.又 -181 ∠ADE=∠CBF,AD=CB,∴.△ADE≌△CBF.∴.ED=BF,AE=CF.又DC =AB,∴.DC+ED=AB+BF,即EC=AF.又AE=CF,∴.四边形AECF是平 行四边形 第2课时平行四边形的判定(2) 知识储备 相等AB=CDAD=BC A基础练 1.D2.(1)∠CDO∠DCO CD CD(2)①证明：，□ABCD,.AB∥CD, AB=CD.又，AM=CN,∴.AB-AM=CD-CN,∴.DN=BM.又.DN∥BM, ∴.四边形DMBN是平行四边形；②，□DMBN,.DM=BN.3.C4.AB∥ CD或AD=BC(答案不唯一)5.(1)证明：连接AC交BD于O,,□ABCD, OA=OC,OB=OD..BE=DF,..OB-BE=OD-DF,OE=OF.OA= OC,.四边形AECF是平行四边形.(2)证明：①.□ABCD,∴.AB∥CD,AB =CD.·∠ABD=∠BDC.,'AE⊥BD,CF⊥BD,.∠AEB=∠AEF=∠BFC =∠DFC=90°..△ABE≌△CDF..AE=CF;②由①知∠AEF=∠BFC,. AE∥CF.又，AE=CF,∴.四边形AECF是平行四边形.6.C7.A8.证明： (1).□ABCD,∴.AD∥BC..△ADB=∠DBC.∠EAD=∠DBC,∴.∠EAD =∠ADB..AE∥BD;(2)□ABCD,∴.AD=BC,AB∥CD,AB=CD. ∠AED=90°，CF⊥BD,∴.∠AED=∠CFB=90°.又，∠EAD=∠DBC,. △EAD≌△FBC.∴.EA=BF.由(1)知AE∥BF,.四边形ABFE是平行四边 形.∴.AB∥EF,AB=EF.又，AB∥CD,AB=CD,∴.EF LCD.∴四边形EFCD 是平行四边形.9.(1)8-2t12-3t解：(2)由题意知：BC∥OA.①当四边形 OPQC是平行四边形时，CQ/OP且CQ=OP,8-2=3,解得1=号：②当四 12 边形PABQ是平行四边形时，BQ∥PA,且BQ=PA..21=12-3,解得1=5 0<<1=多或号综上所述，当1=号s或号s时，直线PQ将四边形 OABC截得的两个四边形中，其中一个四边形是平行四边形. 第3课时三角形的中位线 知识储备 1.中点2.平行一半DE/BC,DE=号BC A基础练 1.D2.A3.84.25.(1)30°(2)解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8 cm∴BC=2AB=4(cm).:E,F分别是AC,AB的中点，EF=号BC=2 (cm).6.B7.88.证明：，D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点， :EF∥AB,EF=AB,AD=AB.EF-LAD.∴四边形ADEF是平行四边 形.∴.AE与DF互相平分.9.A10.40°11.(1)证明：，D,E分别为AB, AC的中点，∴.DE∥BC.:EF∥CD,.四边形DEFC是平行四边形.∴.DE= CF;(2)解：四边形DEFC是平行四边形，∴.DC=EF.D为AB的中点，等边 △ABC的边长是2，.AD=BD=1,CD⊥AB,BC=2.在Rt△DBC中，由勾股定 理得DC=√3..EF=√5.12.(1)证明：连接BD,取BD的中点O,连接OE, OF在△ABD中，E,0分别是AD,BD的中点OE=AB,OE∥AB. ∠OEF=∠BMR.同理可证：OF=号CD,∠OFN=∠CNE.:∠BMF ∠CNF,.∠OFN=∠OEF..OE=OF.∴.AB=CD.(2)2.5 微专题（四）构造三角形的中位线巧解题 1.52.53.C4.A 方法技巧专题平行四边形判定方法的选择 1.证明：，DE⊥AC,BF⊥AC,∴.∠DEC=∠AFB=90°，在Rt△DEC和Rt △BFA中，8E:R△DECR△BFA(HL.DCA-BACAB ∥CD.又，AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形.2.证明：，AE=CF,AB =CD,BE=DF,.△BEA≌△DFC(SSS).∴.∠EAB=∠FCD..∠BAC= ∠DCA..AB∥DC.,AB=DC,.四边形ABCD是平行四边形.3.证明：： □ABCD,∴.DC=BA,DA=BC,∠DAB=∠DCB.,等边△ADE和等边 -182 △BCF,.DE=AD=AE,BF=BC=CF,∠DAE=∠BCF=60°.∴.AE=CF= DE=BF,∠DAB-∠DAE=∠DCB-∠BCF,即∠EAB=∠DCF.又：'AB= DC,AE=CF,.△ABE≌△CDF.∴.BE=DF.又DE=BF,.四边形BEDF 是平行四边形.4.①或②或③5.证明：，EF∥AC,.∠EDC+∠C=180°， 又：∠EDC=∠CBE,.∠CBE+∠C=180°.∴.EB∥DC..DE∥BC,BE∥ CD,∴.四边形BCDE是平行四边形.6.证明：□ABCD,.AB∥CD.. ∠BDC=∠DBA,∠DFE=∠BEF.又O是BD的中点，∴BO=DO..△DOF ≌△BOE..OF=OE.又OB=OD,∴.四边形DEBF是平行四边形.7.证 明：，四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC..∠EAO=∠FCO.,O为AC 「∠EAO=∠FCO, 的中点，..OA=OC.在△OAE和△OCF中，〈OA=OC, ..△OAE≌ ∠AOE=∠COF, △OCF(ASA).∴.OE=OF.同理可证得△AGO≌△CHO,OG=OH.∴.四边形 EGFH是平行四边形.8.证明：，AF=CE,∴.AF-EF=CE-EF.∴.AE= CF.,BE⊥AC,DF⊥AC,∴.∠BEA=∠DFC=90°.在△ABE与△CDF中， I∠BAE=∠DCF, AE=CF, .∴.△ABE2△CDF(ASA)...AB=CD.又.∠BAC= ∠AEB=∠CFD, ∠DCA,.AB∥CD..四边形ABCD是平行四边形.9.证明：：点F,H分别 是平行四边形ABCD的边BC,AD的中点AH∥CF,AD=BC,AH=AD, CF-号BC.∴AHLCF.∴四边形APCH是平行四边.形AF∥CH,即AM/ CN.同理可证四边形AECG是平行四边形..EC∥AG,即CM∥AN.又.AM ∥CN,.四边形AMCN是平行四边形. 18.2特殊的平行四边形 18.2.1矩形 第1课时矩形的性质 知识储备 1.平行四边形2.平行且相等都是直角相等且互相平分3.斜边的一半 A基础练 1.C2.53.证明：.矩形ABCD,.AD=BC,AD∥BC.∴.∠DAC=∠ACB. BE⊥AC,DF⊥AC,∴.∠BEC=∠DFA=90°..△ADF≌△CBE.∴.AF= CE.4.C5.(1)A(2)2.56.(1)60°(2)126√37.证明：，矩形AB CD,∴.AC=BD,AD∥BC..AC∥DE,.四边形ADEC是平行四边形..AC= DE.∴.AC=DE=BD.8.425°9.证明：，AC⊥BC,AD⊥BD,∴.∠ACB= ∠ADB=9O.:E是AB的中点CE=?AB=DE.△ECD是等腰三角形. 10.3√311.2012.(1)证明：.四边形ABCD为矩形，.AD∥BC,AD= BC.又，BE=BC,且点C,B,E在一条直线上，∴.AD∥BE,AD=BE.∴.四边形 ADBE是平行四边形；(2)解：，四边形ABCD为矩形，∴.∠BAD=90°，OB= OD.∴.BD=2OB=5.在Rt△BAD中，AD=√52-4=3.：四边形ADBE为平 行四边形，，∴.BE=AD=3,AE=BD=5..∴.☐ADBE的周长为2×(5十3)=16. 微专题（五）构造直角三角形斜边上的中线 1.A2.A3.24 第2课时矩形的判定 知识储备 2.相等3.三 A基础练 1.C2.(1)⊥90°(2)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD ∥BC.E是边AB的中点，.AE=BE.又EC=ED,.△AED≌△BEC.. ∠A=∠B.AD∥BC,∴.∠A+∠B=180°.∴.∠A=∠B=90°..平行四边形 ABCD是矩形.3.C4.对角线相等的平行四边形是矩形5.证明：.AB∥ CD,AB=CD.四边形ABCD是平行四边形.OA=号AC.OD=2BD.:OA =OD,.AC=BD.又，□ABCD,.□ABCD是矩形.6.∠A=90°（答案不唯 一)7.证明：·AE⊥BC,CF⊥DA,.∠AEB=∠AEC=∠AFC=90°.： □ABCD,∴.AD∥BC.∴.∠AEB=∠EAF=90°=∠AFC..四边形AECF是矩 形.8.C9.D10.B11.证明：(1).在□ABCD中，AD=BC,AB=CD,AD -183