17.2 勾股定理的逆定理-【名师学案】2023-2024学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

17.2勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理 知识储备+++++ 知识点二互逆命题与互逆定理 1.如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题 4.下列命题的逆命题成立的是 设和结论正好相反，这两个命题叫做 A.全等三角形的面积相等 命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个 B.如果a=b,那么a=b 叫做它的 ,原命题成立，但它的逆命 C.如果a是偶数，那么2a是偶数 题 成立，如果一个定理的逆命题经 D.两直线平行，同位角相等 过 是正确的，那么它也是一个定理，称这 5.下列定理中，没有逆定理的是 两个定理互为 2.勾股定理的逆定理为：如果三角形的三边长a, A,等腰三角形的两个底角相等 b,c满足 ,那么这个三角形 B.对顶角相等 是 C.三边对应相等的两个三角形全等 3.满足a2十=2的三个正整数，称为 D.直角三角形两个锐角的和等于90 6.命题“如果a十b=0,那么a,b互为相反数”的 ④基础练 逆命题是 知识点一 勾股定理的逆定理 这个逆命题是 命题（填“真”或“假”）， 1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长 知识点三勾股数 的是 ( 7.下列各组数中，为勾股数的是 A.0.3,0.4,0.5 B.8,9,10 A.3,4,5 B.2,3,4 C.1,2,3 D.11,60,61 C.3,√4,5 D.13,14,15 2.△ABC中，若AC2-BC=BA2,那么( 8.请写出以5为边长的两组勾股数 A.∠A=90 B.∠B=90 C.∠C=90° D.不能确定 B综合练 3.(教材P32例1变式)在△ABC中，∠A, 9.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形 ∠B,∠C的对边分别是a,b,c,试判断 的是 △ABC是否是直角三角形，若是，请指出哪 A.a:b:c=√3：√2：1 个角是直角。 B.∠B-∠C=∠A (1)a=3,b=22,c=√5： C.∠A:∠B:∠C=6:8:10 D.a2=(b+c)(b-c) 10.如图，半圆1和半圆Ⅱ的面 积之和等于半圆Ⅲ的面积， (2)a:b:c=5:12:13. 则这个△ABC为 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 助学助散优质高数 28 11.(1)五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24， 13.(教材P34习题T6变式)如图，在正方形 25,现将它们摆成两个直角三角形，其中 ABCD中，E,F分别是BC,CD边上的一点，且 正确的是 BE=2EC,FC=2DC,连接AE,AF,EF. 0 求证：△AEF是直角三角形. 24 15 20 15 15 25 D (2)【T11(1)变式】如图，在四边形ABCD中， AB=BC=DA=1,CD=√3，AC=√2， 则∠BAD= 中考新考法过程纠错 12.阅读下列解题过程：已知a,b,c为△ABC的 三边长，且满足a2c2-bc2=a-6,试判断 C索养练 △ABC的形状 14.张老师在一次“探究性学习”中设计了下表： 解：.a2c2-bc2=a-b, ① 2 3 4 5 ∴.c2(a2-b})=(a2+)(a2-b).② a 28-1 32-1 42-1 52-1 .c2=a2+b. ③ b 4 6 8 10 .△ABC为直角三角形. ④ 2+1 3+1 42+1 52+1 (1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？ (1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系， 请写出该步的代号： ,错误的原因 并用含n(n>1,且是自然数)的式子表 是 示a,b,c,则a= ,b= (2)写出正确的解题过程. C= (2)猜想以a,b,c为边长的三角形是否是直 角三角形，并证明你的猜想. 核心 几何直观 运算能力 素养 推理能力 抽象能力 29八年级数学·下册 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合运用 知识储备 知识点二勾股定理及其逆定理的综合应用 利用勾股定理的逆定理解决问题的关键是利 4.如图，在由小正方形组成的网 用三角形的边的关系，判断三角形是直角三角形， 格图中，点A,B,C都在网格线 再利用直角三角形的知识解答， 交点上，则∠ACB= 度 ④基础练 5.如图，在△ABC中，D是BC边上的点，AB= 13,AD=12,BD=5,AC=15 知识点一勾股定理逆定理的应用 (1)求证：△ABD是直角三角形： 1.已知△ABC的三边长分别为12,16,20，则 (2)求DC的长， △ABC的面积是 () A.48 B.60 C.80 D.96 2.一根电线杆高12m,为了安全起见，在电线 杆顶部及与电线杆底部水平距离5m处加一 根拉线.拉线工人发现所用线长为13.2m(不 计捆缚部分)，则电线杆与地面 (填 “垂直”或“不垂直”) 中考新考法真实问题情境 3.(教材P33例2变式)如图，某港口P位于东 6.如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4, 西方向的海岸线上.甲、乙轮船同时离开港 CD=12,AD=13,BC⊥AB,求四边形ABCD 口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小 的面积. 时分别航行12海里和16海里，1小时后两船 分别位于点A,B处，且相距20海里.如果知 道甲船沿北偏西40°方向航行，试判断乙船沿 哪个方向航行，并说明理由. 北 B综合练 7.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长 为1，A,B,C三点均在正方形格点上，则下列 结论错误的是 A.AB=2√5 B.∠BAC=90 C.S△ABc=10 D.点A到直线BC的距离是2 助学助教优质高数30 8.【训练角度：勾股定理的逆定理与垂线的性 C茶练副 质】已知△ABC,AB=5,BC=12,AC=13, 口中考新考法 点P是AC上的一个动点，则线段BP长的 真实问题情境一构建模型解决实际问题 最小值是 11.台风是一种自然灾害，它以台风 9.如图，在△ABC中，AB=3,AC=5,BC边上 中心为圆心在周围上千米的范围 的中线AD=2,延长AD到点E,使DE= 内形成极端气候，有极强的破坏 AD,连接CE. 力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由 (1)求证：△DEC≌△DAB: 点A向点B移动，已知点C为一海港，且点 (2)求证：CE⊥AE; C与直线AB上两点A,B的距离分别为 (3)BC的长是 300km和400km,且AB=500km,以台风 中心为圆心周围250km以内为受影响 区域 (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为20km/h,则台风影响 该海港持续的时间有多长？ 10.小明同学学习了“勾股定理”之后，为了测量 如图所示的风筝的高度CE,测得如下数据： ①测得BD=8m:(BD⊥CE) ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC=17 m: ③小明的身高为1.6m. (1)求风筝的高度CE: (2)若小明同学想让风筝沿CD方向下降 9m,则他应该往回收线多少米？ 核心 几何直观 运算能力 素养 推理能力 应用意识 31八羊级数学·下册0A2=(n-I)2+1=,S.=(n为正整数)：(2)0A。=(W)2+1=10,∴0A。 =0,3)s+8+++=()+()+()++(四) 1+2+3+…+9+10_55 4 4 教材变式专题利用勾股定理求平面内两点之间的距离 【例】(1)5(2)y-y2x1-x2√(-x2)+(y-y2)F(3)1-y3-y5 0,52-x4-x55,00,55,0 【针对训练】 1.622553.(-90)或(0，-) 17.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 知识储备 1.互逆逆命题不一定证明逆定理2.a+b=c2直角三角形3.勾 股数 A基础练 1.B2.B3.解：(1).a2+c2=(3)2+(5)2=8,b=(2√2)2=8，.a2+c2= b..△ABC是直角三角形，∠B=90°；(2)设a=5.x,b=12x,c=13x,,a2+b =(5.x)+(12x)2=169x2,c2=(13x)=169x2,∴.a2+b=2..△ABC是直角 三角形，∠C=90°.4.D5.B6.如果a,b互为相反数，那么a十b=0真 7.A8.①3,4,5；②5,12,139.C10.A11.(1)C(2)135°12.(1)③等 式两边同除以含字母的代数式(2)解：，ac2-bc2=a-b,.c2(a2-)= (a2+b)(a2一b).∴.c2=a2+,或a=b.∴.△ABC是直角三角形或等腰三角 形.13.证明：设FC=2a,则DC=9a,DF=7a..AB=BC=AD=CD=9a. BE=2CE,∴.BE=6a,EC=3a.在Rt△ECF中，EF=EC+FC=(3a)2+ (2a)2=13a2.在Rt△ADF中，AF=AD+DF=(9a)+(7a)2=130a.在Rt △ABE中，AE=AB2+BE=(9a)2+(6a)2=117a.,13a2+117a2=130a2,. EF十AE=AF..△AEF是直角三角形.14.(1)n2-12nn2十1解： (2)是直角三角形.证明如下：：a=n2-1,b=2,c=n+1,∴.a2+b=(n-1)2 +(2n)2=(n+1)2,c2=(n2+1)2.∴.a+b=c2..以a,b,c为边长的三角形是 直角三角形. 第2课时勾股定理及其逆定理的综合运用 A基础练 1.D2.不垂直3.解：乙船沿北偏东50°方向航行，理由如下：由题意可知，AP =12,BP=16,AB=20,∠APN=40°，，AP2+BP2=122+16=400,AB2= 400,.AP2+BP=AB.∴.△APB是直角三角形，且∠APB=90°.∴∠BPN= 90°-∠APN=90°-40°=50°.∴.乙船沿北偏东50°方向航行.4.455.(1)证 明：AB=13,AD=12,BD=5,.AB=AD+BD..△ABD是直角三角形； (2)解：由(1)知∠ADB=90°，∴.△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，DC= √AC-AD=9.6.解：BC⊥AB,∴.△ABC为直角三角形..AC= WAB+BC=√/32+4=5.，AC+CD=52+122=169,AD=132=169,. AC+CD=AD.∠ACD=90,Sasm=Sx+Sw=2AB:BC+号 ACCD=合3X4+5×12)=36.7.C8.智9证明：1：AD是△ABC 的中线，∴.BD=CD.又·AD=DE,∠ADB=∠EDC,∴.△DEC2△DAB;(2) .△DEC≌△DAB,∴.EC=AB=3.又：AE=2AD=4,AC=5,.AE+CE= AC.∴.∠AEC=90°，即CE⊥AE.(3)2√1310.解：(1)在Rt△CDB中，由 勾股定理得CD=√BC-BD=15(m)..CE=CD+DE=15+1.6=16.6 (m).答：风筝的高度CE为l6.6m;(2)设风筝下降到点M处，即CM=9m, DM=6m.∴.BM=√Df+BD=√82+6=10(m).∴.BC-BM=7(m).答： 他应该往回收线7m.11.解：(1)海港C受台风影响.理由如 下：如图，过点C作CD⊥AB于点D.,'AC=300km,BC=400 km,AB=500km,∴.AC+BC=AB..△ABC是直角三角 形.且∠ACB=90.:S=AC·BC=号AB.CDCD 179 _AC·BC_300×400-=240(km).:240<250,.海港C受台风影响：(2)如 AB 500 图，当EC=250km,FC=250km时，正好影响海港C.,CD⊥EF,∴.EF=2DE. 在Rt△CED中，由勾股定理，得ED=√EC-CD=√/2502-240=70(km), ∴.EF=140km.∴.140÷20=7(h).即台风影响该海港持续的时间为7h. 模型构建专题利用勾股定理解决最短路径问题 【例】线段12号9AB91515 【针对训练】 1.B2.C3.B4.305.20 方法技巧专题构图法求三角形的面积 任务1：3.5 解：任务2：如图2，△KMN的三边KM,MN,KN的长分别为W5,2√2，√17，. 5w=2X4-2×2X1-号×2X2-2×1X4=8-1-2-2=3: 任务3：备用图，PQ-2E,PR=5,QR=3,:S=号×3X2=3=5m ∴.改造后的六边形花圃QRDEFG的面积为3×2+PQ+PR=6+8+5=19. 2 备H剡 第十七章核心素养专练 1.x2+62=(10-x)22.解：由题意得BC=AC-CE=17-7=10(m).. ∠BFC=90°，CF=8m,∴，BF=√/BC-CF=√I0-8=6(m).在Rt△ACF 中，AC=17m,CF=8m,∴.AF=√AC-CF=√/172-8=15(m).∴.AB=AF 一BF=15-6=9(m).答：小船移动的距离AB的长是9m.3.254,解：过点 P作PC⊥AB于点C,则∠ACP=∠BCP=90°.：甲货船从A港口沿东北方向 出发，.∠PAC=45°..∠APC=90°-∠PAC=45°=∠PAC.又AC+PC =AP,.2AC=102.解得AC=PC=5√2（海里）.·乙货船从B港口沿北偏西 60°方向出发，.∠PBC=30°.∴.PB=2PC=10√2（海里）.∴.BC=√PB-PC =W(10√2)2-(5√2)2=5√6（海里）.∴.AB=AC+BC=(5√2+5√6)海里.答： A港口与B港口相距(5√2十5J6)海里. 第十七章考点整合与素养提升 1L.92.证明：由题意可知Sw-（a+6(a+6)=d+ab+.又： Samm=Sa十5ar+Saem70+a6十6=号4b+76+7c.化简 1 整理，得a2+b=c2.3.D4.D5.46.1007.58. 解：(1)√/10(2)如图，正方形OPQM即为所求；(3)如 图，补充的数轴及点F,E即为所求.9.C10.D11.48 12.150°13.5或√714.√13或√3715.(1)证明：， SE指=(b-a)2=8-2a6叶d2,S指=c2-4×号ab 2 c2-2ab,∴.b-2ab+a2=c2-2ab.∴.+a=c2;(2)解：由题意，得OB=OH= 3,AB十BC=24÷4=6.设BC=AH=x,则AB=6-x,.AO=x+3.在Rt △AOB中，AB2=AO+BO,∴.(6-x)=32+(3十x)2,解得x=1.∴AO=4. 该图形的面积=4×号×3×4=24.(3)6 第十八章平行四边形 18.1平行四边形 18.1.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的边、角性质 知识储备 1.平行口□ABCD2.相等相等3.距离 -180