17.1 勾股定理-【名师学案】2023-2024学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

第十七章 勾股定理 17.1勾股定理 第1课时 勾股定理 知识储备 知识点二利用勾股定理进行计算 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边的 4.(1)已知直角三角形的两条直角边的长分别 长分别为a,b,斜边长为c,那么 为3和4，则斜边长为 () 如图，用符号语言表述为： A.3B.4 C.5 D.6 :在△ABC中，∠C=90°， (2)【T4(1)变式】如图，阴影部分是一个正方 形，则此正方形的面积为 ④基础练 A.8 15 知识点一勾股定理的认识与证明 B.16 17 1.下列说法正确的是 C.64 ( A.若a,b,c是△ABC的三边，则a2十b=c2 D.514 B.若a,b,c是Rt△ABC的三边，则a2+=2 5.(1)在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC C.若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A=90°， 4,则AB的长为 则a2+b2=c (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， D.若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠C=90°， AB=4,则BC的长为 则a2+b2=c2 6.在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对 2.如图是由边长均为1的正方 边长分别为a,b,c 形组成的网格，下面是勾股 (1)已知b=2,c=3,求a的值； 定理的探索与验证过程，请 (2)已知a：c=3:5,b=32,求a,c的值. 补充完整： ,S1= ,S2 .S1+S2=Ss. 即 2十 3.以a,b为直角边，以c为斜边作全等的直角 三角形△ACE和△BDE,把这两个直角三角 形拼成如图所示形状，使A,E,B三点在一条 直线上.求证：a2十b=c2. 易错点○因考虑问题不全面漏解 7.【训练角度：勾股定理与分类讨论思想】一个 直角三角形的两边长分别是6和8，则第三边 的长是 【点拨】当直角三角形的边不明确时，应分类讨论，即 ①6和8是直角边：②8是斜边，6是直角边. 19 八年级数学·下册 B综合练 出 两直角边长为a,b,斜边长为c)与1个小 8.(1)如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向 正方形不重叠、无缝隙地拼接成的大正 外作等腰直角三角形，若斜边AB=4,则 方形，请用这个图验证“勾股定理”： 图中阴影部分的面积为 () (2)若直角三角形中两直角边的和a十b=4, 斜边长c为3，求直角三角形的面积. A.4 B.8 C.10 D.12 (2)【T8(1)变式】如图，所有阴影部分四边形 都是正方形，所有三角形都是直角三角 形，若正方形A,B,D的面积依次为6， 10,24,则正方形C的面积为 () A.4 B.6 C.8 D.12 B 第8(2)题图 第8(3)题图 (3)【T8(1)拓展】如图，以Rt△ABC的三边 为直径分别向外作三个半圆，面积分别为 S1,S2,S3.若S1=18π，S3=50π，则S2= ( C索练 A.8π B.20π C.30π D.32π 11.(2023·宁夏)将一副直角三角板和一把宽 9.下面各图中，不能证明勾股定理的是 ( 度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60 和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将 此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点 落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分 B 别交直尺上沿于A,B两点，则AB的长是 10.【数学文化】我们从生活实际发现，当一个直 cm. 角三角形两直角边长确定时，斜边长也就确 定了.古代数学就已经发现，在直角三角形 中，若两直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+ b=c2.这就是著名的“勾股定理”（西方把它 称为“毕达哥拉斯定理”) 核心 几何直观 运算能力 (1)如图是4个完全一样的直角三角形（其 素养 推理能力 模型观念 助学助教优质高数20 第2课时 勾股定理的应用 知识储备 5.如图，为测到池塘两岸点 勾股定理应用的条件是 三角形中， A和点B间的距离，一个 应用勾股定理时，要分清哪条是直角边，哪条是 观测者在C点设桩，使 斜边 ∠ABC=90°，并测得AC长20m、BC长 ④基础练 16m,则A,B两点间的距离是 m. 知识点勾股定理的实际应用 6.八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理” 1.如图所示（示意图），如果梯子AB 之后，为了测得如图所示风筝的高度CE,他 的底端B到某高楼竖直墙面底端 们进行了如下操作： 的距离BC为5米，那么13米长 ①测得BD的长度为15m:(注：BD⊥CE) 的梯子AB的顶端A距地面的高 ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 度是 (）B 的长为25m: A.12米B.13米 C.14米 D.15米 ③牵线放风筝的小明身高1.6m. 2.(1)如图，一棵树被台风吹断，已知折断部位 求风筝的高度CE 离地面3m,树梢离树底部4m,则这棵树 原来高 () A.4m B.5 m C.6m D.8 m D (2)【T2(1)变式】有一棵9m高的大树，如果大 树距离地面4m处折断（未完全折断），则小 孩至少离开大树 m之外才是安全的. 7.如图，沿AC方向开山修路.为了加快施工进 度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的 第2(1)题图 第3题图 一点B取∠ABD=120°，BD=520m,∠D= 3.如图，有两棵树，一棵高12m,另一棵高6m, 30°.那么另一边开挖点E离D多远正好使 两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞 A,C,E三点在同一直线上(3取1.732，结果 到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行() 取整数)？ A.8 m B.10m C.12m D.14m B C 120 中考新考法真实问题情境 520m 4.如图，某公园的一块草坪 旁边有一条直角小路，公 园管理处为了方便群众， 沿AC修了一条近路.已 知AB=40米，BC=30米，则走这条近路AC 可以少走 米路 ( A.30 B.20 C.50 D.40 21 八年级数学·下册 B综合练 出 C素养练 8.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m、 11.【训练角度：勾股定理与分类讨论 长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯 思想】如图，在Rt△ABC中， 每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这 ∠ACB=90°，AB=5cm,AC= 个楼道至少儒要 3cm,动点P从点B出发沿射线BC以 1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts. m (1)求BC边的长； 13m (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值， D 2m 9.如图，有一秋千，当它静止时，踏板离地的垂 直高度DE=1m,将它往前推送6m(水平距 离BC=6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度 BF=4m,秋千的绳索始终拉得很直，求绳索 AD的长度. 中考新考法真实问题情境 10.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小 汽车在城市道路上行驶速度不得超过 70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路 上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车 速检测仪的正前方30m处，过了2s后，测 得小汽车与车速检测仪间距离为50m.这 辆小汽车超速了吗？ 81 (小汽伞 小汽车 车逃检测仪 核心 几何直观 模型观念 素养 运算能力 应用意识 助学助敏优质高数 22 模型构建专题 共高的双直角三角形 模型展示 【针对训练】 模型1： 模型2： 1.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,CD 是AB边上的高，则线段AD的长度为() B4 A号 B 基本方法： 基本方法： AB-BD=AC*-CD . AC-CD:=AB2-BD 号 2.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12 中考新考法补充解题过程 若点D在AC边上，且BD⊥AC,则BD的长 【例】如图，在△ABC中，AB=15,BC=14, 为 AC=13,求△ABC的面积. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题 思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程. 过点A作AD⊥BC于点D,如图所示.设BD= 第2题图 第3题图 x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理， 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点 利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→ D在边BC上，且AC=6,∠ADB=135°，则 利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的 BD的长是 面积。 4.如图，已知某学校A与直线公路BD相距 3000米，且与该公路上一个车站D相距 5000米，现要在公路边建一个超市C,使之与 学校A及车站D的距离相等，那么该超市C 1) 与车站D的距离是多少米？ 23 八年级数学·下册 数学思想专题 与勾股定理有关的数学思想 类型一方程思想 .CD⊥AB,.∠CDA= 思想概述 ,CD=√3，AD=1, 直角三角形中求线段的长时，若题目中线段之间 的关系比较复杂，往往需设未知数，利用勾股定理列 ∴.AC= 方程求解.通过列方程解决几何问题能清晰、简洁地 AB=2AC,∴.AB= 表示出几何图形中的数量关系。 ..BD= -1= 1.(中考·凉山州)如图，在△ABC中，∠ACB= ∴.BC=√BD+CD=V +(3)2 90°，AC=8,BC=6,将△ADE沿DE翻折， 使点A与点B重合，则CE的长为 () A号 B.2 25 D.4 图I 图2 ②当CD在△ABC的外部时，如图2， 同理得AC= ,AB= ............................C ..BD= 第1题图 第2题图 2.(中考·遂宁)如图，在长方形ABCD中， ∴.BC=√CD+BD严=V(√3)2+ AB=5,AD=3,点E为BC上一点，把 △CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上 综上所述，BC的长为 的点F处，则CE的长是 ( 【针对训练】 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C= A.1 B号 C.2 D.3 90°，∠B=45°，DC=1,AD=2,点E是BC边 类型二分类讨论思想 上的一个动点，若要使△ABE为等腰三角 思想积述 形，则CE的长为 某些数学问题在求解时会有多种情况，需要对各 种情况分类讨论，逐类求解，这就是分类讨论思想.本 章涉及的分类讨论思想主要体现在：(1)在直角三角 形中，当只给出两边的长度，未县体说明哪一边是斜 边时，需要分类讨论：(2)当三角形的形状不确定时， 第3题图 第4题图 需要分类讨论：(3)确定最短路程，当几何体的平面展 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 开图不唯一时，需要分类讨论。 10cm,BC=6cm,若动点P从点C开始，按 【例】（中考·襄阳）已知CD是△ABC的边AB上 CA→B→C的路径运动，且速度为每秒 的高，若CD=3,AD=1,AB=2AC,求BC的长. 1cm,设出发的时间为ts. 【方法指导】由于△ABC的形状不确定，应分美讨论： (1)AC的长是 ①AB边上的高在△ABC的内部：②AB边上的高在 (2)当△BCP为直角三角形时，t满足的条件 △ABC的外部.画出图形，利用勾般定理解答 是 解：①当CD在△ABC的内部时，如图1， 助学助教优质高数24 第3课时 利用勾股定理作图或计算 知识储备 实数与数轴上的点是 的，每一 个无理数都可以用数轴上的 表示出 来，利用勾股定理可以在数轴上表示无理数。 B B 第4题图 第5题图 A基础练 出出 5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 知识点一勾股定理与数轴、坐标系 1,则网格上的三角形ABC中，边长为无理数 1.方方学了在数轴上表示无理数的方法后，进 的边有 () 行了练习：如图，首先画数轴，原点为O,在数 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 轴上找到表示数2的点A,然后过点A作 6.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长 AB⊥OA,使AB=1:再以O为圆心，OB的 都是1，每个小格的顶点叫做格点。 长为半径作弧，交数轴正半轴于点P,那么点 (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5 P表示的数是 () 的正方形： A.2.2 B.5 C.1+√2 D.√6 (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使 三角形的三边长分别为2，W5,√13 -1 01 第1题图 第2题图 2.如图，在平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3), 图 图2 以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的 负半轴于点C,则点C的坐标为 3.在数轴上作出表示√I0的点（保留作图痕迹， 知识点三勾股定理与图形的计算 不写作法). 7.(教材P27练习T2变式)如图，等腰三角形 ABC的顶角平分线AD交BC于点D,AB 5,AD=4,则△ABC的面积为 知识点二勾股定理与网格作图 4.如图，网格中每个小正方形的边长均为1， 第7题图 第8题图 点A,B为网格线的交点，则线段AB的长为 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 () ∠CAB,DE⊥AB于点E.若DE=15cm, A.3 B.5 C.7 D.12 BE=8cm,则BC的长为 cm. 25 入年级数学·下册 易错点 因考虑问题不全面而漏解 9.在△ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12, 则BC的长是 ( A.4 B.14 C.4或14 D.以上都不对 【点拨】由于△ABC的形状不确定，故高AD可能在 △ABC的内部，也可能在△ABC的外部，先画出图 形再利用勾股定理解答 ⑧综合练 出 C素养练 出 10.(教材P27练习T1变式)如图，数轴上A点 13.仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解 表示的数是一2，B点表示的数是1，过点B 答问题. 作BC⊥AB,且BC=2,以点A为圆心，AC 的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示 的数为 () A.13 B.√13+2 C.√13-2 D.-13+2 OA8=(WI)2+1=2,S,= 2 0A=(√2)2+1=3，S,= 2: -3-2-101D2 D 第10题图 第11题图 0M=5+1=4= 11.【训练角度：勾股定理与三角形的三边关系 定理】为了比较√10与√5+1的大小，可以构 (1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上 造如图所示的图形进行推算，其中∠C= 述变化规律； 90°，BC=3,点D在BC上，且BD=AC=1. (2)推算出OAo的长； 通过计算可得√10 √5+1（填“>” (3)求S+S号+S号+…+S的值. “<”或“=”). 12.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12cm, BC=24cm,将该长方形沿对角线BD折叠. (1)判断△BED的形状，并说明理由； (2)求BE的长： (3)求阴影部分的面积. 核心 几何直观 运算能力 素养 推理能力 抽象能力 助学助教优质高数26 教材变式专题 利用勾股定理求平面内两点之间的距离 教材P26练习T2变式与拓展 解题技巧 得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，求 平面内有两点P(x1,),P2(). 出C点的坐标. (1)如图，当P,P2纵坐标相同时，PP2=x1一x2|: 【方法指导】(1)根据因①痛定出BC与AC的长，利用 当P,P2横坐标相同时，PP2=y1一： 勾股定理求出AB的长即可： (2)在图②中，由点A,B的坐标表示出AC,BC的长， 利用勾般定理表示出AB的长即可： (3)分别设C(0,y)或(x,0),由题意得到AC=BC,根 (2)如图，PC=x2一x1,P,C=|y一y|,由勾股定 据点A,B的坐标，利用题中的方法列出方程，求出方 理，得P,P:=√(x2一x1)十(y一y) 程的解得到y,x的值，即可痛定出点C的坐标， 解：(3)①设点C的坐标为(0，y),A(2,1), B(4,3),根据题意，得AC=BC, 即AC=BC, .22+（ )2=42+( 中考新考法补充解题过程 解得y= ,则点C的坐标为( 【例】如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以 ②设点C的坐标为(x,0),A(2,1),B(4,3), 看到，要求AB或DE的长度，可以转化为求 根据题意，得AC=BC,即AC2=BC. Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长. .( )2+12=( )2+32 例如：从坐标系中发现：D(一7,5)，E(4,一3)， 解得x= ,则点C的坐标为( 所以DF=|5-(-3)1=8,EF=|4-(-7)|= 综上所述，点C的坐标是( )或( 11,所以由勾股定理可得：DE=√DF+EF= 【针对训练】 V82+112=√185. 1.(2023·河南期末)在平面直角坐标系中，点 A(2,4√2)到原点O的距离是 A{5 2.如图，在平面直角坐标系中，A(4,4),B(1, 5=,-,1-5- -…-……- …… 0),C(0,1),则B,C两点间的距离是 Y.c A,C两点间的距离是 ；A,B两点间的 44 距离是 图① 图2 A(4.4) (1)在图①中，请用上面的方法求线段AB的 长：AB= (2)在图②中，设A(,y),B(2,2),试用， 0B(1.0) 2M2表示：AC= BC= AB= 3.已知A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C, (3)试用(2)中得出的结论解决如下题目：已知 使△ABC是以AB为直角边的直角三角形，则 A(2,1),B(4,3),C为坐标轴上的点，且使 点C的坐标为 27 八年级数学·下册律：√+n”(n为正整数，≥2)，证明：√a+n n(m-1)+n +n1=m-1 n n √n-=”√n-i 2.解：1)原式=5,1+5，B+7,5+…十 2 2 2 2正=×5-1+5-5++1-)=专×(-1+)=5： 2 1 √2+1 (2)0a=2-i2-1)2+ =2+1,∴a-1=2..a2-2a十1=2. a2-2a=1..3a2-6a=3.∴.3a2-6a+1=4.②023.(1)21(2)12- 4解：(3)√8-4√3=√(6-√2)2=6-√2. 第十六章核心素养与跨学科融合专练 1叶-2=a+1V22.17-6(2)v+1-后3-254 解：x2=(2-√3)2=7-4√3，原式=(7+4√3)(7-4√3)+(2+√3)(2-√3)+√3 =49-48+1+5=2十√3.5.(1)22(2)4解：这个玩具产生的动能会伤 害到楼下的行人.理由：这个玩具产生的动能=10×0.1×80=80(J)>65J,∴.这 个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人. 第十六章考点整合与素养提升 1.D2.D3.x>34.15.(1)x≥4(2)x≥46.27.C8.A9.C10. D1.16(2)2a12.-213.5yE-25(答案不唯-)14.1)解：原式 2 =45-)÷5=3:(2)解：原式=9+5-+2=35-号 2(3) 解：原式=(W5)2-32-(3-2√5+1)=5-9-4+2√5=2√5-8.15.解：x +y=2-√5+2+√5=4，x-y=2-√5-(2+√5)=-2√5，x·y=(2+√5)(2- 5)=-1,.(1)x2y-xy2=xy(x-y)=-1×(-2√5)=2V5;(2)x2+xy+y =(x+y)2-xy=4-(-1)=16+1=17.16.28217.√518.x≥-5且x ≠019.--元20，号21.201822.723.解：(1)答案不唯-，如框出 来的是2,9,16.验证：√⑨-2×16=√81一32=√49=7；(2)证明：设框出的三 个数的中间那个数是x,则第一个数是x一7，第三个数是x十7.则 √x2-(x-7)(x+7)=√/x2-(x-49)=7. 第十七章勾股定理 17.1勾股定理 第1课时勾股定理 知识储备 a2+6=c2 AC+BC=AB A基础练 1.D2.4913 AC BC AB3.证明：易证∠CED=90.由图可得号(a +(a+6)=h+名+分b,整理得+2g+心-2aC,则。+2a6叶 2 b=2ab+c2,故a+b=c2.4.(1)C(2)C5.(1)4√2(2)2√36.解：(1) 如图.：在△ABC中，∠C=90°，b=2,c=3,∴.a=√-b= √32-2=√5；(2)设a=3x,则c=5.x,a2+b=c2,∴.(3x)2+32= (5.x),解得x=8(负值舍去).∴.3.x=24,5x=40,即a=24,c=40. 7.0或2,781B(2)C(3D9.C10.解：D由图可得，ec -学X4+(-a,2=2a6+-2ab+d.c=8十a:2):直角三角形中 两直角边的和a+b=4,斜边长c为3，.(a+b)2=16,c2=9..a2+2ab+b= 16+分9小0子直角三角形的面积为分0=君×子-子1.2行 7 -2) 第2课时勾股定理的应用 知识储备 直角 177 A基础练 1.A2.(1)D(2)33.B4.B5.126.解：在Rt△CDB中，由勾股定理， 得CD=√CB-BD=20(m)..CE=CD+DE=20+1.6=21.6(m).答：风筝 的高度CE为21.6m.7.解：，∠ABD=120°，∠D=30°，.∠AED=120° 0°专90°.在Rt△BDE中，BD=520m,∠D=30°，.BE，BD=260(m. DE=√BD-BE=260√3≈450(m).答：另一边开挖点E离D约450m时，正 好使A,C,E三点在同一直线上.8.6809.解：设秋千的绳索AD的长度为x m,则AC=(x-3)m,在Rt△ACB中，AC+BC=AB,∴.x2=6+(x-3)2,解 得x=7.5.答：绳索AD的长度是7.5m.10.解：由题意知AC=30m,∠ACB =90°，BA=50m,在Rt△ABC中，BC=√AB-AC=√502-302=40(m),∴. v=40÷2=20(m/s)=72(km/h).,72km/h>70km/h,∴.这辆小汽车超速了. 11.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB-AC=√5-3= √16=4(cm).(2)由题意，知BP=tcm,①当∠APB为直角时，如图1，点P与 点C重合，BP=BC=4cm,…t=4; C(P) 图1 图2 ②当∠BAP为直角时，如图2，BP=tcm,CP=(t-4)cm,AC=3cm,在Rt △ACP中，AP2=AC+CP2=3+(t-4)2.在Rt△BAP中，AB+AP2=BP, 即5+[3十1-4门=.解得-空.：当△ABP为直角三角形时1=4或草 模型构建专题共高的双直角三角形 【例】解：过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°.设BD=x,则CD =BC-BD=14-x.在Rt△ABD中，AD=AB2-BD,在Rt△ACD中，AD= AC-CD,.AB2-BD=AC-CD,即152-x=132-(14-x)2,解得x=9. AD-VAB-BD-V15-9-12.Sam=号8C·AD-×12X14= 84. 【针对训练】 1.D2.9.63.63-64.解：根据题意得AC=CD,∠ABD=90°.在直角三 角形ABD中，.AB=3000,AD=5000,∴.BD=√AD-AB=4000.设CD= AC=x,则BC=4000-x,在Rt△ABC中，AC=AB+BC,即x2=30002+(4 000一x),解得x=3125.答：该超市C与车站D的距离是3125米. 数学思想专题与勾股定理有关的数学思想 1.D2.D【例】90W√CD+AD2443323245527 2√3或2√73.1或2或3-√24.(1)8cm(2)0<t≤8或t=14.4 第3课时利用勾股定理作图或计算 知识储备 一一对应 一个点 A基础练 1.B2.(-1,0)3.解：如图，点A即为所求。 -101234 4.B5.D6.解：(1)满足条件的正方形ABCD 如图1所示；(2)满足条件的△ABC如图2所 示.7.128.329.C10.C11.<12. 解：(1)△BED为等腰三角形.理由如下：，四边 形ABCD为长方形，∴.∠A=∠C=∠C=90°， AB=CD=CD.又：∠AEB=∠CED, 图 图2 △AEB≌△CED(AAS).∴.BE=DE..△BED为等腰三角形；(2)设BE=DE =x,则AE=24-x.在Rt△ABE中，由勾股定理，得x2=122十(24-x),解得x =15.BE的长为15：3)Sg=号DE·AB=号X15X12=90.13.解：(D 178 0A2=(n-I)2+1=,S.=(n为正整数)：(2)0A。=(W)2+1=10,∴0A。 =0,3)s+8+++=()+()+()++(四) 1+2+3+…+9+10_55 4 4 教材变式专题利用勾股定理求平面内两点之间的距离 【例】(1)5(2)y-y2x1-x2√(-x2)+(y-y2)F(3)1-y3-y5 0,52-x4-x55,00,55,0 【针对训练】 1.622553.(-90)或(0，-) 17.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 知识储备 1.互逆逆命题不一定证明逆定理2.a+b=c2直角三角形3.勾 股数 A基础练 1.B2.B3.解：(1).a2+c2=(3)2+(5)2=8,b=(2√2)2=8，.a2+c2= b..△ABC是直角三角形，∠B=90°；(2)设a=5.x,b=12x,c=13x,,a2+b =(5.x)+(12x)2=169x2,c2=(13x)=169x2,∴.a2+b=2..△ABC是直角 三角形，∠C=90°.4.D5.B6.如果a,b互为相反数，那么a十b=0真 7.A8.①3,4,5；②5,12,139.C10.A11.(1)C(2)135°12.(1)③等 式两边同除以含字母的代数式(2)解：，ac2-bc2=a-b,.c2(a2-)= (a2+b)(a2一b).∴.c2=a2+,或a=b.∴.△ABC是直角三角形或等腰三角 形.13.证明：设FC=2a,则DC=9a,DF=7a..AB=BC=AD=CD=9a. BE=2CE,∴.BE=6a,EC=3a.在Rt△ECF中，EF=EC+FC=(3a)2+ (2a)2=13a2.在Rt△ADF中，AF=AD+DF=(9a)+(7a)2=130a.在Rt △ABE中，AE=AB2+BE=(9a)2+(6a)2=117a.,13a2+117a2=130a2,. EF十AE=AF..△AEF是直角三角形.14.(1)n2-12nn2十1解： (2)是直角三角形.证明如下：：a=n2-1,b=2,c=n+1,∴.a2+b=(n-1)2 +(2n)2=(n+1)2,c2=(n2+1)2.∴.a+b=c2..以a,b,c为边长的三角形是 直角三角形. 第2课时勾股定理及其逆定理的综合运用 A基础练 1.D2.不垂直3.解：乙船沿北偏东50°方向航行，理由如下：由题意可知，AP =12,BP=16,AB=20,∠APN=40°，，AP2+BP2=122+16=400,AB2= 400,.AP2+BP=AB.∴.△APB是直角三角形，且∠APB=90°.∴∠BPN= 90°-∠APN=90°-40°=50°.∴.乙船沿北偏东50°方向航行.4.455.(1)证 明：AB=13,AD=12,BD=5,.AB=AD+BD..△ABD是直角三角形； (2)解：由(1)知∠ADB=90°，∴.△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，DC= √AC-AD=9.6.解：BC⊥AB,∴.△ABC为直角三角形..AC= WAB+BC=√/32+4=5.：AC+CD=5+122=169,AD=13=169,. AC+CD=AD.∠ACD=90,Sasm=Sx+Sw=2AB:BC+号 ACCD=合3X4+5×12)=36.7.C8.智9证明：1：AD是△ABC 的中线，∴.BD=CD.又·AD=DE,∠ADB=∠EDC,∴.△DEC2△DAB;(2) .△DEC≌△DAB,∴.EC=AB=3.又：AE=2AD=4,AC=5,.AE+CE= AC.∴.∠AEC=90°，即CE⊥AE.(3)2√1310.解：(1)在Rt△CDB中，由 勾股定理得CD=√BC-BD=15(m)..CE=CD+DE=15+1.6=16.6 (m).答：风筝的高度CE为l6.6m;(2)设风筝下降到点M处，即CM=9m, DM=6m.∴.BM=√Df+BD=√82+6=10(m).∴.BC-BM=7(m).答： 他应该往回收线7m.11.解：(1)海港C受台风影响.理由如 下：如图，过点C作CD⊥AB于点D.,'AC=300km,BC=400 km,AB=500km,∴.AC+BC=AB..△ABC是直角三角 形.且∠ACB=90.:S=AC·BC=号AB.CDCD 179