第三章　第3课时　专题强化：牛顿第二定律的综合应用-2025年物理大一轮复习讲义

第三章 运动和力的关系 第3课时　专题强化：牛顿第二定律的综合应用 学习目标 1.掌握动力学两类基本问题的求解方法。 2.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。 3.理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。 考点01　动力学两类基本问题 一、分析动力学两类基本问题的关键 (1)做好两类分析：物体的受力分析和物体的运动过程分析； (2)搭建两个桥梁：加速度是联系运动和力的桥梁；连接点的速度是联系各物理过程的桥梁。 二、动力学问题的解题思路 [典例1·对已知受力求运动情况的考查](2024·湖南省岳阳一中月考)西双版纳“断鼻家族”十几头亚洲象北上“远足”引发人们关注。为保障人民群众生命财产安全，同时有效保护亚洲象群，当地有关部门派出无人机不间断跟踪监测，采取多种措施引导象群逐步返回普洱或西双版纳原栖息地。现要让监测所用的无人机从地面竖直起飞，最终悬停在某一高度的空中，如图所示。已知无人机质量M＝1.8 kg，动力系统能提供的最大升力F＝28 N，上升过程中能达到的最大速度为v＝6 m/s，竖直飞行时所受空气阻力大小恒为f＝4 N；固定在无人机下方铁杆上的监测摄像头质量m＝0.2 kg，其所受空气阻力不计，g取10 m/s2。 (1)无人机以最大升力竖直起飞，求达到最大速度时所上升的高度h1； (2)无人机以最大升力竖直起飞时，求摄像头对铁杆的作用力大小； (3)无人机从地面竖直起飞，要求在t＝7 s内实现悬停，其能上升的最大高度H。 [拓展训练]如图所示，光滑斜面AB与一粗糙水平面BC连接，斜面倾角θ＝30°，质量m＝2 kg的物体置于水平面上的D点，DB间的距离d＝7 m，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，将一水平向左的恒力F＝8 N作用在该物体上，t＝2 s后撤去该力，不考虑物体经过B点时的速度损失．求撤去拉力F后，经过多长时间物体经过B点？(g取10 m/s2) [典例2·对已知运动情况求受力的考查](2023·辽宁丹东市模拟)一晴朗的冬日，某同学在冰雪游乐场乘坐滑雪圈从静止开始沿斜直雪道匀变速下滑，滑行60 m后进入水平雪道，继续滑行80 m后匀减速到零。已知该同学和滑雪圈的总质量为60 kg，整个滑行过程用时14 s，斜直雪道倾角为37°，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。 (1)求该同学和滑雪圈在斜直雪道上受到的平均阻力Ff的大小； (2)若水平雪道区域重新规划，使水平雪道距离缩短为60 m，之后再铺设10 m长的防滑毯，可使该同学和滑雪圈在防滑毯终点恰好安全停下，求防滑毯与滑雪圈之间的动摩擦因数。 [拓展训练](2023·四川金堂县淮口中学高三检测)如图所示，ABC是一雪道，AB段为长L＝80 m、倾角θ＝37°的斜坡，BC段水平，AB与BC平滑相连．一个质量m＝75 kg的滑雪运动员(含滑雪板)，从斜坡顶端以v0＝2.0 m/s的初速度匀加速滑下，经时间t＝5.0 s到达斜坡底端B点．滑雪板与雪道间的动摩擦因数在AB段和BC段均相同(运动员可视为质点)．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)运动员在斜坡上滑行时的加速度大小a； (2)滑雪板与雪道间的动摩擦因数μ； (3)运动员滑上水平雪道后，在t′＝2.0 s内滑行的距离x. 考点02　等时圆模型 模型特点 1．质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到圆环的最低点所用时间相等，如图甲所示； 2．质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示； 3．两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦从上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 [典例3·对等时圆模型的考查](多选)如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心．每根杆上都套着一个小滑环(未画出)，两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间．下列关系正确的是(　　) A．t1＝t2 B．t2>t3 C．t1<t2 D．t1＝t3 [拓展训练]如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内．现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ.现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　) A．tAB＝tCD＝tEF B．tAB>tCD>tEF C．tAB<tCD<tEF D．tAB＝tCD<tEF 考点03　动力学图像问题 常见的动力学图像 v－t图像、a－t图像、F－t图像、F－a图像等。 (1)v－t图像：根据图像的斜率判断加速度的大小和方向，再根据牛顿第二定律列方程求解。 (2)a－t图像：注意加速度的正负，正确分析每一段的运动情况，然后结合物体的受力情况应用牛顿第二定律列方程求解。 (3)F－t图像：结合物体受到的力，由牛顿第二定律求出加速度，分析每一段的运动情况。 (4)F－a图像：首先要根据具体的物理情景，对物体进行受力分析，然后根据牛顿第二定律推导出两个量间的函数关系式，根据函数关系式结合图像，明确图像的斜率、截距或面积的意义，从而由图像给出的信息求出未知量。 [典例4·对动力学v－t图像问题的考查](2023·广东茂名市一模)电动平衡车是一种新的短途代步工具。已知人和平衡车的总质量是60 kg，启动平衡车后，车由静止开始向前做直线运动，某时刻关闭动力，最后停下来，其v－t图像如图所示。假设平衡车受到的阻力是其重力的k倍，g＝10 m/s2，则(　　) A．k＝0.6 B．平衡车整个运动过程中的位移大小为195 m C．平衡车在整个运动过程中的平均速度大小为3 m/s D．平衡车在加速段的动力大小为72 N [拓展训练](多选)如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，一质量为m＝0.2 kg的小球，从弹簧上端某高度处自由下落，从它接触弹簧到弹簧压缩至最短的过程中(弹簧始终在弹性限度内)，其速度v和弹簧压缩量Δx之间的函数图像如图乙所示，其中A为曲线的最高点，小球和弹簧接触瞬间机械能损失不计，取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　) A．小球刚接触弹簧时速度最大 B．当Δx＝0.3 m时，小球处于超重状态 C．该弹簧的劲度系数为20.0 N/m D．从接触弹簧到压缩至最短的过程中，小球的加速度先减小后增大 [典例5·对动力学a－t图像问题的考查](2024·河南开封·三模)小明同学通过网络查到开封北站到郑州东站的线路距离为55km，所需时间为21分钟。假设高速动车组列车从开封北站到郑州东站做直线运动，其间经历了匀加速、匀速和匀减速三个阶段，且匀加速和匀减速阶段的加速度大小相等。为进一步获取数据，小明同学将质量为0.25kg的手机放在车厢的水平桌面上，利用手机软件测得列车启动时的加速度—时间图像如图，忽略开始时加速度的变化，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是(　　) A．列车启动过程中，手机所受摩擦力的大小为2.5N B．列车匀速行驶的时间约为15分钟 C．按照题中所给条件，列车运行中的最高时速可以达到300km/s D．列车加速时间约为9分30秒 [拓展训练](2024·北京海淀·模拟预测)如图1所示，一质量为2kg的物块受到水平拉力F作用，在粗糙水平面上作加速直线运动，其a－t图像如图2所示，t = 0时其速度大小为2m/s。物块与水平面间的动摩擦因数μ= 0.1，g = 10m/s2。下列说法错误的是(　　) A．在t = 2s时刻，物块的速度为5m/s B．在0~2s时间内，物块的位移大于7m C．在t = 1s时刻，物块的加速度为1.5m/s2 D．在t = 1s时刻，拉力F的大小为5N [典例6·对动力学F－t图像问题的考查](多选)如图(a)，物块和木板叠放在实验台上，物块用一不可伸长的细绳与固定在实验台上的力传感器相连，细绳水平。t＝0时，木板开始受到水平外力F的作用，在t＝4 s时撤去外力。细绳对物块的拉力f随时间t变化的关系如图(b)所示，木板的速度v与时间t的关系如图(c)所示。木板与实验台之间的摩擦可以忽略。重力加速度取10 m/s2。由题给数据可以得出(　　) A．木板的质量为1 kg B．2～4 s内，力F的大小为0.4 N C．0～2 s内，力F的大小保持不变 D．物块与木板之间的动摩擦因数为0.2 [拓展训练]如图甲所示，t＝0时，水平地面上质量m＝1 kg的物体在水平向左、大小恒为10 N的力FT的作用下由静止开始运动，同时施加一水平向右的拉力F，拉力F随时间变化的关系图像如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2.求： (1)第2 s末物体的速度； (2)0～2 s内物体的位移； (3)经过多长时间物体的速度为零． [典例7·对动力学F－a图像问题的考查](多选)(2023·全国甲卷·19)用水平拉力使质量分别为m甲、m乙的甲、乙两物体在水平桌面上由静止开始沿直线运动，两物体与桌面间的动摩擦因数分别为μ甲和μ乙。甲、乙两物体运动后，所受拉力F与其加速度a的关系图线如图所示。由图可知(　　) A．m甲<m乙 B．m甲>m乙 C．μ甲<μ乙 D．μ甲>μ乙 [拓展训练](多选)(2023·内蒙古呼和浩特市模拟)一个质量为m小物体，静止在水平地面上。当受到一个水平外力F作用时，物体会静止或做加速直线运动。随着水平外力大小变化，其加速度a也发生改变。如图是a和F的变化关系图像(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)，则(　　) A．物体质量为1 kg B．物体所受滑动摩擦力大小为2 N C．该图像斜率表示物体的质量 D．当F＝3 N时，物体的加速度大小为2 m/s2 考点04　动力学中的连接体问题 多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。 一、共速连接体 两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。 (1)绳的拉力(或物体间的弹力)相关类连接体 (2)叠加类连接体(一般与摩擦力相关) 二、关联速度连接体 轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等。下面三图中A、B两物体速度和加速度大小相等，方向不同。 [典例8·对共速连接体的考查]如图所示，水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接，两木块的材料相同，现用力F向右拉木块2，当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．若水平面是光滑的，则m2越大，绳的拉力越大 B．若木块和地面间的动摩擦因数为μ，则绳的拉力为＋μm1g C．绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关 D．绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关 [拓展训练](多选)如图所示，质量分别为mA、mB的A、B两物块紧靠在一起放在倾角为θ的固定斜面上，两物块与斜面间的动摩擦因数相同，用始终平行于斜面向上的恒力F推A，使它们沿斜面向上匀加速运动，为了增大A、B间的压力，可行的办法是(　　) A．增大推力F B．减小倾角θ C．减小B的质量 D．减小A的质量 [典例9·对关联速度连接体的考查](2023·福建龙岩市九校联考)如图所示的装置叫作阿特伍德机，是阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律。已知物体A、B的质量相等均为M，物体C的质量为m，轻绳与轻滑轮间的摩擦不计，绳子不可伸长，如果m＝M，重力加速度为g。求： (1)物体B运动过程中的加速度大小； (2)系统由静止释放后，运动过程中物体B、C间作用力的大小。 [拓展训练](2022·山东师范大学附中高三月考)如图所示，足够长的倾角θ＝37°的光滑斜面体固定在水平地面上，一根轻绳跨过定滑轮，一端与质量为m1＝1 kg的物块A连接，另一端与质量为m2＝3 kg的物块B连接，绳与斜面保持平行．开始时，用手按住A，使B悬于空中，释放后，在B落地之前，下列说法正确的是(所有摩擦均忽略不计，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)(　　) A．绳的拉力大小为30 N B．绳的拉力大小为6 N C．物块B的加速度大小为6 m/s2 D．如果将B物块换成一个竖直向下大小为30 N的力，对物块A的运动没有影响 考点05　动力学中的临界和极值问题 一、临界、极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点； (2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。 二、常见的临界条件 (1)两物体脱离的临界条件：FN＝0。 (2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。 (3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。 三、处理临界问题的三种方法 极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件 [典例10·对动力学中的临界问题的考查](2024·福建厦门市双十中学模拟)如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为1 kg的物体A、B(B物体与弹簧拴接)，弹簧的劲度系数为k＝50 N/m，初始时系统处于静止状态。现用一方向竖直向上的拉力F作用在物体A上，使物体A开始向上做加速度a＝4 m/s2的匀加速直线运动，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是(　　) A．外力F刚施加的瞬间，F的大小为4 N B．当弹簧压缩量减小到0.3 m时，A、B间弹力大小为1.2 N C．A、B分离时，A物体的位移大小为0.12 m D．B物体速度达到最大时，B物体的位移为0.22 m [拓展训练](多选)如图所示，质量mB＝2 kg的水平托盘B与一竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一质量mA＝1 kg的小物块A，整个装置静止．现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，g＝10 m/s2.以下结论正确的是(　　) A．变力F的最小值为2 N B．变力F的最小值为6 N C．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s D．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s [典例11·对动力学中的极值问题的考查]如图甲所示，一个质量m＝0.5 kg的小物块(可看成质点)，以v0＝2 m/s的初速度在平行斜面向上的拉力F＝6 N作用下沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝8 m，已知斜面倾角θ＝37°，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)物块加速度a的大小； (2)物块与斜面之间的动摩擦因数μ； (3)若拉力F的大小和方向可调节，如图乙所示，为保持原加速度不变，F的最小值是多少。 [拓展训练]如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑．如图乙，若让该小物块从木板的底端每次均以大小相同的初速度v0＝10 m/s沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g取10 m/s2. (1)求小物块与木板间的动摩擦因数； (2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值． 课时作业练 基础对点练 1.(2021·全国甲卷·14)如图，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P处，上部架在横杆上。横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ可变。将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的大小有关。若由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将(　　) A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2.农用无人机喷洒农药可以极大地提高农民的工作效率，为了防止无人机在作业中与障碍物发生碰撞，在某次测试中，无人机以标准起飞质量m＝44 kg起飞，以安全飞行速度v0＝8 m/s水平向着障碍物飞行，测距雷达发现s＝10.5 m处的障碍物后，无人机立即调整推力方向，做匀减速直线运动，结果无人机悬停在距离障碍物l＝2.5 m处，飞行过程中可将无人机看成质点，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，则无人机在匀减速直线运动过程中受到的推力的大小为(　　) A．88 N B．176 N C．88 N D．176 N 3.如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A.B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB长为R，AC长为2R.现沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A处由静止释放小球(可看为质点)，已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为t1，沿AC轨道运动到C点所用时间为t2，则t1与t2之比为(　　) A．1∶3 B．1∶2 C．1∶ D．1∶ 4.如图(a)，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v－t图线如图(b)所示．若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则不可求出(　　) A．斜面的倾角 B．物块的质量 C．物块与斜面间的动摩擦因数 D．物块沿斜面向上滑行的最大高度 5.(多选)如图甲所示，用一水平力F拉着一个静止在倾角为θ的光滑固定斜面上的物体，逐渐增大F，物体做变加速运动，其加速度a随外力F变化的图像如图乙所示，重力加速度为g＝10 m/s2，根据图乙中所提供的信息可以计算出(　　) A．物体的质量 B．斜面的倾角正弦值 C．加速度为6 m/s2时物体的速度 D．物体能静止在斜面上所施加的最小外力 6.如图所示，A、B两物体之间用水平轻质弹簧连接，用水平恒力F拉A，使A、B一起沿光滑水平面做匀加速直线运动，这时弹簧的长度为L1；若将A、B置于粗糙水平面上，用相同的水平恒力F拉A，使A、B一起做匀加速直线运动，此时弹簧的长度为L2.若A、B与粗糙水平面之间的动摩擦因数相同，则下列关系式正确的是(　　) A．L2＜L1 B．L2＞L1 C．L2＝L1 D．由于A、B的质量关系未知，故无法确定L1、L2的大小关系 7.(多选)如图甲所示，物块的质量m＝1 kg，初速度v0＝10 m/s，在一水平向左的恒力F作用下从O点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻F突然反向，大小不变，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示，g＝10 m/s2.下列说法中正确的是(　　) A．0～5 m内物块做匀减速运动 B．在t＝1 s时刻，恒力F反向 C．恒力F大小为10 N D．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3 8.(多选)如图所示，A、B两物块叠在一起静止在水平地面上，A物块的质量mA＝2 kg，B物块的质量mB＝3 kg，A与B接触面间的动摩擦因数μ1＝0.4，B与地面间的动摩擦因数μ2＝0.1，现对A或对B施加一水平外力F，使A、B相对静止一起沿水平地面运动，重力加速度g＝10 m/s2，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法正确的是(　　) A．若外力F作用到物块A上，则其最小值为8 N B．若外力F作用到物块A上，则其最大值为10 N C．若外力F作用到物块B上，则其最小值为13 N D．若外力F作用到物块B上，则其最大值为25 N 9.为了探究物体与斜面间的动摩擦因数，某同学进行了如下实验：取一质量为m的物体，使其在沿斜面方向的推力F作用下向上运动，如图甲所示，通过力传感器得到推力随时间变化的规律如图乙所示，通过频闪照相处理后得出速度随时间变化的规律如图丙所示，若已知斜面固定且倾角α＝30°，重力加速度g取10 m/s2.求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)撤去推力F后，物体沿斜面向上运动的最大距离(斜面足够长)． 10.如图所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的足够长的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝6 kg的物体P，Q为一质量为m2＝10 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止状态．现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求： (1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x0； (2)物体Q从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a； (3)力F的最大值与最小值． 能力提升练 11.(多选)如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现对A施加一水平拉力F，则(　　) A．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止 B．当F＝μmg时，A的加速度为μg C．当F>3μmg时，A相对B滑动 D．无论F为何值，B的加速度不会超过μg 12.(多选)如图甲所示，物块A、B静止叠放在水平地面上，B受到从零开始逐渐增大的水平拉力F的作用，A、B间的摩擦力Ff1、B与地面间的摩擦力Ff2随水平拉力F变化的情况如图乙所示。已知物块A的质量m＝3 kg，取g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是(　　) A．两物块间的动摩擦因数为0.2 B．当0＜F＜4 N时，A、B保持静止 C．当4 N＜F＜12 N时，A、B发生相对滑动 D．当F＞12 N时，A的加速度随F的增大而增大 尖子选拔练 13.如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑固定斜面上，有一质量为m的物体，受到沿斜面方向的力F作用，力F按图乙所示规律变化(图中纵坐标是F与mg的比值，力F沿斜面向上为正)．则物体运动的速度v随时间t变化的规律是下列选项图中的(物体的初速度为零，重力加速度g取10 m/s2)(　　) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 运动和力的关系 第3课时　专题强化：牛顿第二定律的综合应用 学习目标 1.掌握动力学两类基本问题的求解方法。 2.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。 3.理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。 考点01　动力学两类基本问题 一、分析动力学两类基本问题的关键 (1)做好两类分析：物体的受力分析和物体的运动过程分析； (2)搭建两个桥梁：加速度是联系运动和力的桥梁；连接点的速度是联系各物理过程的桥梁。 二、动力学问题的解题思路 [典例1·对已知受力求运动情况的考查](2024·湖南省岳阳一中月考)西双版纳“断鼻家族”十几头亚洲象北上“远足”引发人们关注。为保障人民群众生命财产安全，同时有效保护亚洲象群，当地有关部门派出无人机不间断跟踪监测，采取多种措施引导象群逐步返回普洱或西双版纳原栖息地。现要让监测所用的无人机从地面竖直起飞，最终悬停在某一高度的空中，如图所示。已知无人机质量M＝1.8 kg，动力系统能提供的最大升力F＝28 N，上升过程中能达到的最大速度为v＝6 m/s，竖直飞行时所受空气阻力大小恒为f＝4 N；固定在无人机下方铁杆上的监测摄像头质量m＝0.2 kg，其所受空气阻力不计，g取10 m/s2。 (1)无人机以最大升力竖直起飞，求达到最大速度时所上升的高度h1； (2)无人机以最大升力竖直起飞时，求摄像头对铁杆的作用力大小； (3)无人机从地面竖直起飞，要求在t＝7 s内实现悬停，其能上升的最大高度H。 答案　(1)9 m　(2)2.4 N　(3)31.5 m 解析　(1)无人机以最大升力竖直起飞，做匀加速直线运动，对整体运用牛顿第二定律，有 F－(M＋m)g－f＝(M＋m)a1 代入数据解得a1＝2 m/s2 达到最大速度时所上升的高度h1＝＝9 m。 (2)对摄像头，根据牛顿第二定律， 有FT－mg＝ma1，代入数据得FT＝2.4 N 由牛顿第三定律知，摄像头对铁杆的作用力大小FT′＝FT＝2.4 N。 (3)若要上升高度最大，则无人机开始以最大升力匀加速运动的时间t1＝＝3 s 无人机最后关闭动力系统后匀减速运动直到悬停，速度为零，则(M＋m)g＋f＝(M＋m)a2 代入数据解得a2＝12 m/s2 根据公式，依题意有t3＝，h3＝t3 代入数据解得t3＝0.5 s，h3＝1.5 m 无人机匀速运动时间t2＝t－t1－t3＝3.5 s 匀速运动的位移h2＝vt2＝21 m 所以能上升的最大高度H＝h1＋h2＋h3＝31.5 m。 [拓展训练]如图所示，光滑斜面AB与一粗糙水平面BC连接，斜面倾角θ＝30°，质量m＝2 kg的物体置于水平面上的D点，DB间的距离d＝7 m，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，将一水平向左的恒力F＝8 N作用在该物体上，t＝2 s后撤去该力，不考虑物体经过B点时的速度损失．求撤去拉力F后，经过多长时间物体经过B点？(g取10 m/s2) 答案　1 s和1.8 s 解析　撤去F前，由牛顿第二定律得F－μmg＝ma1， 解得a1＝2 m/s2， 由匀变速直线运动规律得x1＝a1t2＝4 m， v1＝a1t＝4 m/s， 撤去F后， 由牛顿第二定律得μmg＝ma2， 解得a2＝μg＝2 m/s2， d－x1＝v1t1－a2t12， 解得第一次到达B点的时间t1＝1 s，或t1′＝3 s(舍去)， 第一次到达B点时的速度v2＝v1－a2t1＝2 m/s， 之后物体滑上斜面，由牛顿第二定律得mgsin θ＝ma3， 解得a3＝gsin θ＝5 m/s2， 物体再经t2＝2＝0.8 s第二次到达B点， 故撤去拉力F后，经过1 s和1.8 s时间物体经过B点． [典例2·对已知运动情况求受力的考查](2023·辽宁丹东市模拟)一晴朗的冬日，某同学在冰雪游乐场乘坐滑雪圈从静止开始沿斜直雪道匀变速下滑，滑行60 m后进入水平雪道，继续滑行80 m后匀减速到零。已知该同学和滑雪圈的总质量为60 kg，整个滑行过程用时14 s，斜直雪道倾角为37°，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。 (1)求该同学和滑雪圈在斜直雪道上受到的平均阻力Ff的大小； (2)若水平雪道区域重新规划，使水平雪道距离缩短为60 m，之后再铺设10 m长的防滑毯，可使该同学和滑雪圈在防滑毯终点恰好安全停下，求防滑毯与滑雪圈之间的动摩擦因数。 答案　(1)160 N　(2)0.5 解析　(1)该同学和滑雪圈在斜直雪道上滑行时做初速度为0的匀加速直线运动，加速度大小为a1，位移大小为x1，时间为t1，末速度为vm；在水平雪道上滑行时，做末速度为0的匀减速直线运动，位移大小为x2，时间为t2分析运动过程可得x1＝t1， x2＝t2，t1＋t2＝14 s 解得斜直雪道末速度vm＝20 m/s 在斜直雪道的时间t1＝6 s， 在水平雪道用时t2＝8 s 在斜直雪道上的加速度大小为a1＝＝ m/s2 由牛顿第二定律得mgsin 37°－Ff＝ma1 解得该同学和滑雪圈在斜直雪道上受到的平均阻力为Ff＝160 N。 (2)设在水平雪道上滑行时，加速度为大小a2， 则a2＝＝2.5 m/s2 使水平雪道距离缩短为60 m，设该同学和滑雪圈滑出水平雪道的速度为v，则vm2－v2＝2a2x3 解得v＝10 m/s 设在防滑毯上的加速度大小为a3，则v2＝2a3x4 解得a3＝＝ m/s2＝5 m/s2 由牛顿第二定律可得μmg＝ma3，解得防滑毯与滑雪圈之间的动摩擦因数μ＝0.5。 [拓展训练](2023·四川金堂县淮口中学高三检测)如图所示，ABC是一雪道，AB段为长L＝80 m、倾角θ＝37°的斜坡，BC段水平，AB与BC平滑相连．一个质量m＝75 kg的滑雪运动员(含滑雪板)，从斜坡顶端以v0＝2.0 m/s的初速度匀加速滑下，经时间t＝5.0 s到达斜坡底端B点．滑雪板与雪道间的动摩擦因数在AB段和BC段均相同(运动员可视为质点)．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)运动员在斜坡上滑行时的加速度大小a； (2)滑雪板与雪道间的动摩擦因数μ； (3)运动员滑上水平雪道后，在t′＝2.0 s内滑行的距离x. 答案　(1)5.6 m/s2　(2)0.05　(3)59 m 解析　(1)根据L＝v0t＋at2， 代入数据解得a＝5.6 m/s2 (2)在斜坡上运动员受力如图甲所示，建立如图甲所示的直角坐标系，根据牛顿第二定律，x方向上有mgsin θ－Ff＝ma， y方向上有FN－mgcos θ＝0，Ff＝μFN， 联立解得μ＝0.05. (3)运动员滑到B点时的速度vB＝v0＋at＝30 m/s 在水平雪道上运动员受力如图乙所示，建立如图乙所示的直角坐标系，设运动员的加速度为a′， 根据牛顿第二定律，x方向上有－μFN′＝ma′， y方向上有FN′－mg＝0，又x＝vBt′＋a′t′2，联立解得x＝59 m. 考点02　等时圆模型 模型特点 1．质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到圆环的最低点所用时间相等，如图甲所示； 2．质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示； 3．两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦从上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 [典例3·对等时圆模型的考查](多选)如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心．每根杆上都套着一个小滑环(未画出)，两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间．下列关系正确的是(　　) A．t1＝t2 B．t2>t3 C．t1<t2 D．t1＝t3 答案　BCD 解析　设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da三细杆交于圆的最低点a，三杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d无初速度释放的小滑环到达a点的时间相等，即tca＝t1＝t3；而由c→a和由O→b滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相同，初速度均为零，但加速度aca>aOb，由x＝at2可知，t2>tca，故B、C、D正确． [拓展训练]如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内．现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ.现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　) A．tAB＝tCD＝tEF B．tAB>tCD>tEF C．tAB<tCD<tEF D．tAB＝tCD<tEF 答案　B 解析　如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，B项正确． 考点03　动力学图像问题 常见的动力学图像 v－t图像、a－t图像、F－t图像、F－a图像等。 (1)v－t图像：根据图像的斜率判断加速度的大小和方向，再根据牛顿第二定律列方程求解。 (2)a－t图像：注意加速度的正负，正确分析每一段的运动情况，然后结合物体的受力情况应用牛顿第二定律列方程求解。 (3)F－t图像：结合物体受到的力，由牛顿第二定律求出加速度，分析每一段的运动情况。 (4)F－a图像：首先要根据具体的物理情景，对物体进行受力分析，然后根据牛顿第二定律推导出两个量间的函数关系式，根据函数关系式结合图像，明确图像的斜率、截距或面积的意义，从而由图像给出的信息求出未知量。 [典例4·对动力学v－t图像问题的考查](2023·广东茂名市一模)电动平衡车是一种新的短途代步工具。已知人和平衡车的总质量是60 kg，启动平衡车后，车由静止开始向前做直线运动，某时刻关闭动力，最后停下来，其v－t图像如图所示。假设平衡车受到的阻力是其重力的k倍，g＝10 m/s2，则(　　) A．k＝0.6 B．平衡车整个运动过程中的位移大小为195 m C．平衡车在整个运动过程中的平均速度大小为3 m/s D．平衡车在加速段的动力大小为72 N 答案　B 解析　关闭动力后，平衡车做匀减速运动，加速度大小为a，结合题图可得a＝＝kg，a＝ m/s2＝0.6 m/s2,解得k＝0.06，A错误；v－t图线与横轴围成的面积表示位移，为x＝(25＋40)×6× m＝195 m,整个运动过程中的平均速度大小为＝＝ m/s＝4.875 m/s，B正确，C错误；平衡车在加速段时有F－kmg＝ma′，a′＝ m/s2,代入数值解得F＝108 N，D错误。 [拓展训练](多选)如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，一质量为m＝0.2 kg的小球，从弹簧上端某高度处自由下落，从它接触弹簧到弹簧压缩至最短的过程中(弹簧始终在弹性限度内)，其速度v和弹簧压缩量Δx之间的函数图像如图乙所示，其中A为曲线的最高点，小球和弹簧接触瞬间机械能损失不计，取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　) A．小球刚接触弹簧时速度最大 B．当Δx＝0.3 m时，小球处于超重状态 C．该弹簧的劲度系数为20.0 N/m D．从接触弹簧到压缩至最短的过程中，小球的加速度先减小后增大 答案　BCD 解析　由小球的速度图像知，开始小球的速度增大，说明小球的重力大于弹簧对它的弹力，当Δx1＝0.1 m时，小球的速度最大，说明当Δx1＝0.1 m时，小球的重力等于弹簧对它的弹力，所以可得kΔx1＝mg，解得k＝20.0 N/m，A错误，C正确；弹簧的压缩量为Δx2＝0.3 m时，弹簧弹力为F＝20.0 N/m×0.3 m＝6 N>mg，故此时小球的加速度向上，小球处于超重状态，B正确；对小球进行受力分析可知，其合力由mg逐渐减小至零，然后反向增加，故小球的加速度先减小后增大，D正确． [典例5·对动力学a－t图像问题的考查](2024·河南开封·三模)小明同学通过网络查到开封北站到郑州东站的线路距离为55km，所需时间为21分钟。假设高速动车组列车从开封北站到郑州东站做直线运动，其间经历了匀加速、匀速和匀减速三个阶段，且匀加速和匀减速阶段的加速度大小相等。为进一步获取数据，小明同学将质量为0.25kg的手机放在车厢的水平桌面上，利用手机软件测得列车启动时的加速度—时间图像如图，忽略开始时加速度的变化，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是(　　) A．列车启动过程中，手机所受摩擦力的大小为2.5N B．列车匀速行驶的时间约为15分钟 C．按照题中所给条件，列车运行中的最高时速可以达到300km/s D．列车加速时间约为9分30秒 答案　D 解析　A．由图可知列车启动做匀加速运动的加速度为a = 0.14m/s2,对手机根据牛顿第二定律,A错误；BCD．设列车最高速度为v，匀加速和匀减速的时间均为t1，匀速的时间为t2，则,,,联立解得，，,BC错误，D正确。故选D。 [拓展训练](2024·北京海淀·模拟预测)如图1所示，一质量为2kg的物块受到水平拉力F作用，在粗糙水平面上作加速直线运动，其a－t图像如图2所示，t = 0时其速度大小为2m/s。物块与水平面间的动摩擦因数μ= 0.1，g = 10m/s2。下列说法错误的是(　　) A．在t = 2s时刻，物块的速度为5m/s B．在0~2s时间内，物块的位移大于7m C．在t = 1s时刻，物块的加速度为1.5m/s2 D．在t = 1s时刻，拉力F的大小为5N 答案　B 解析　A．在时刻，物块的速度为,故A正确，不符合题意；B．在0~2s时间内，物块的v-t图像如下 如果是匀加速直线运动，位移为,实际做加速度增大的加速运动，图形面积表示位移，可知物块的位移小于7m，故B错误，符合题意；C．由图可知 在时刻，物块的加速度为,故C正确，不符合题意；D．根据牛顿第二定律可得在时刻，拉力F的大小为,故D正确，不符合题意。故选B。 [典例6·对动力学F－t图像问题的考查](多选)如图(a)，物块和木板叠放在实验台上，物块用一不可伸长的细绳与固定在实验台上的力传感器相连，细绳水平。t＝0时，木板开始受到水平外力F的作用，在t＝4 s时撤去外力。细绳对物块的拉力f随时间t变化的关系如图(b)所示，木板的速度v与时间t的关系如图(c)所示。木板与实验台之间的摩擦可以忽略。重力加速度取10 m/s2。由题给数据可以得出(　　) A．木板的质量为1 kg B．2～4 s内，力F的大小为0.4 N C．0～2 s内，力F的大小保持不变 D．物块与木板之间的动摩擦因数为0.2 答案　AB 解析　由题图(c)可知木板在0～2 s内处于静止状态，再结合题图(b)中细绳对物块的拉力f在0～2 s内逐渐增大，可知物块受到木板的摩擦力逐渐增大，故可以判断木板受到的水平外力F也逐渐增大，选项C错误；由题图(c)可知木板在2～4 s内做匀加速运动，其加速度大小为a1＝ m/s2＝0.2 m/s2，对木板进行受力分析，由牛顿第二定律可得F－Ff＝ma1，在4～5 s内做匀减速运动，其加速度大小为a2＝ m/s2＝0.2 m/s2，由牛顿第二定律得Ff＝ma2，另外由于物块静止不动，同时结合题图(b)可知物块与木板之间的滑动摩擦力Ff＝0.2 N，解得m＝1 kg、F＝0.4 N，选项A、B正确；由于不知道物块的质量，所以不能求出物块与木板之间的动摩擦因数，选项D错误。 [拓展训练]如图甲所示，t＝0时，水平地面上质量m＝1 kg的物体在水平向左、大小恒为10 N的力FT的作用下由静止开始运动，同时施加一水平向右的拉力F，拉力F随时间变化的关系图像如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2.求： (1)第2 s末物体的速度； (2)0～2 s内物体的位移； (3)经过多长时间物体的速度为零． 答案　(1)v1＝a1t1＝6 m/s，方向水平向左；(2)6 m，方向水平向左；(3)8 s 解析　(1)由牛顿第二定律得FT－F－μmg＝ma1，解得0～2 s内的加速度：a1＝3 m/s2，方向水平向左，由速度公式得第2 s末物体的速度：v1＝a1t1＝6 m/s，方向水平向左； (2)由位移公式得0～2 s内物体的位移：x＝a1t12＝6 m，方向水平向左； (3)2 s后合力方向向右，物体向左做匀减速运动，由牛顿第二定律得F′＋μmg－FT＝ma2，解得a2＝1 m/s2，方向水平向右， 由速度公式得0＝v1－a2t2，解得t2＝6 s. 速度为零之后，FT－F＝10 N－6 N＝4 N＜μmg＝5 N，物体静止，不再运动． t＝t1＋t2＝8 s. [典例7·对动力学F－a图像问题的考查](多选)(2023·全国甲卷·19)用水平拉力使质量分别为m甲、m乙的甲、乙两物体在水平桌面上由静止开始沿直线运动，两物体与桌面间的动摩擦因数分别为μ甲和μ乙。甲、乙两物体运动后，所受拉力F与其加速度a的关系图线如图所示。由图可知(　　) A．m甲<m乙 B．m甲>m乙 C．μ甲<μ乙 D．μ甲>μ乙 答案　BC 解析　根据牛顿第二定律有F－μmg＝ma，整理得F＝ma＋μmg，可知F－a图像的斜率为m，纵轴截距为μmg，则由题图可看出m甲>m乙，μ甲m甲g＝μ乙m乙g，则μ甲<μ乙。故选B、C。 [拓展训练](多选)(2023·内蒙古呼和浩特市模拟)一个质量为m小物体，静止在水平地面上。当受到一个水平外力F作用时，物体会静止或做加速直线运动。随着水平外力大小变化，其加速度a也发生改变。如图是a和F的变化关系图像(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)，则(　　) A．物体质量为1 kg B．物体所受滑动摩擦力大小为2 N C．该图像斜率表示物体的质量 D．当F＝3 N时，物体的加速度大小为2 m/s2 答案　AD 解析　由牛顿第二定律F－μmg＝ma， 可得a＝－μg，故图像的斜率表示，是物体质量的倒数，C错误；由图像得＝ kg－1＝1 kg－1，故物体质量为1 kg，A正确；由图像知，当F≤1 N时，物体的加速度为零，说明物体保持静止状态；当F>1 N时，物体开始做加速运动，故物体所受滑动摩擦力大小为1 N，B错误；由图像可知，当F＝3 N时，物体的加速度大小为2 m/s2，故D正确。 考点04　动力学中的连接体问题 多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。 一、共速连接体 两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。 (1)绳的拉力(或物体间的弹力)相关类连接体 (2)叠加类连接体(一般与摩擦力相关) 二、关联速度连接体 轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等。下面三图中A、B两物体速度和加速度大小相等，方向不同。 [典例8·对共速连接体的考查]如图所示，水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接，两木块的材料相同，现用力F向右拉木块2，当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．若水平面是光滑的，则m2越大，绳的拉力越大 B．若木块和地面间的动摩擦因数为μ，则绳的拉力为＋μm1g C．绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关 D．绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关 答案　C 解析　若设木块和地面间的动摩擦因数为μ，以两木块整体为研究对象，根据牛顿第二定律有F－μ(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，得a＝，以木块1为研究对象，根据牛顿第二定律有FT－μm1g＝m1a，得a＝，系统加速度与木块1加速度相同，联立解得FT＝F，可知绳子拉力大小与动摩擦因数μ无关，与两木块质量大小有关，无论水平面是光滑的还是粗糙的，绳的拉力大小均为FT＝F，且m2越大，绳的拉力越小，故选C。 [拓展训练](多选)如图所示，质量分别为mA、mB的A、B两物块紧靠在一起放在倾角为θ的固定斜面上，两物块与斜面间的动摩擦因数相同，用始终平行于斜面向上的恒力F推A，使它们沿斜面向上匀加速运动，为了增大A、B间的压力，可行的办法是(　　) A．增大推力F B．减小倾角θ C．减小B的质量 D．减小A的质量 答案　AD 解析　设物块与斜面间的动摩擦因数为μ，对A、B整体受力分析，有F－(mA＋mB)gsin θ－μ(mA＋mB)gcos θ＝(mA＋mB)a，对B受力分析，有FAB－mBgsin θ－μmBgcos θ＝mBa，由以上两式可得FAB＝F＝，为了增大A、B间的压力，即FAB增大，应增大推力F或减小A的质量，增大B的质量．故A、D正确，B、C错误． [典例9·对关联速度连接体的考查](2023·福建龙岩市九校联考)如图所示的装置叫作阿特伍德机，是阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律。已知物体A、B的质量相等均为M，物体C的质量为m，轻绳与轻滑轮间的摩擦不计，绳子不可伸长，如果m＝M，重力加速度为g。求： (1)物体B运动过程中的加速度大小； (2)系统由静止释放后，运动过程中物体B、C间作用力的大小。 答案　(1)g　(2)mg或Mg 解析　(1)设物体B运动过程中的加速度大小为a，绳子的张力为FT，对物体A，FT－Mg＝Ma 对B、C整体，(M＋m)g－FT＝(M＋m)a 解得a＝g 因为m＝M，所以a＝g (2)设B、C间的拉力为F， 对物体C，mg－F＝ma 解得F＝mg－ma＝mg＝Mg 所以C、B间的作用力为mg或Mg。 [拓展训练](2022·山东师范大学附中高三月考)如图所示，足够长的倾角θ＝37°的光滑斜面体固定在水平地面上，一根轻绳跨过定滑轮，一端与质量为m1＝1 kg的物块A连接，另一端与质量为m2＝3 kg的物块B连接，绳与斜面保持平行．开始时，用手按住A，使B悬于空中，释放后，在B落地之前，下列说法正确的是(所有摩擦均忽略不计，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)(　　) A．绳的拉力大小为30 N B．绳的拉力大小为6 N C．物块B的加速度大小为6 m/s2 D．如果将B物块换成一个竖直向下大小为30 N的力，对物块A的运动没有影响 答案　C 解析　对B隔离分析，由牛顿第二定律得m2g－FT＝m2a，对A、B整体分析，由牛顿第二定律得m2g－m1gsin θ＝(m1＋m2)a，联立解得a＝6 m/s2，FT＝12 N，故A、B错误，C正确；如果将B物块换成一个竖直向下大小为30 N的力，对A由牛顿第二定律得F－m1gsin θ＝m1a′，解得a′＝24 m/s2，前后加速度不一样，对物块A的运动有影响，故D错误． 考点05　动力学中的临界和极值问题 一、临界、极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点； (2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。 二、常见的临界条件 (1)两物体脱离的临界条件：FN＝0。 (2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。 (3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。 三、处理临界问题的三种方法 极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件 [典例10·对动力学中的临界问题的考查](2024·福建厦门市双十中学模拟)如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为1 kg的物体A、B(B物体与弹簧拴接)，弹簧的劲度系数为k＝50 N/m，初始时系统处于静止状态。现用一方向竖直向上的拉力F作用在物体A上，使物体A开始向上做加速度a＝4 m/s2的匀加速直线运动，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是(　　) A．外力F刚施加的瞬间，F的大小为4 N B．当弹簧压缩量减小到0.3 m时，A、B间弹力大小为1.2 N C．A、B分离时，A物体的位移大小为0.12 m D．B物体速度达到最大时，B物体的位移为0.22 m 答案　C 解析　施加外力前，系统处于静止状态，对整体受力分析，由平衡条件得2mg＝kx0，代入数据解得x0＝0.4 m，外力施加的瞬间，物体A加速度为4 m/s2，对整体，由牛顿第二定律得F－2mg＋kx0＝2ma，代入数据解得F＝8 N，故A错误；当弹簧压缩量减小到0.3 m时，设A、B间弹力大小为FAB，对A受力分析，由牛顿第二定律得F′＋FAB－mg＝ma，对A、B组成的系统受力分析，由牛顿第二定律得F′＋kx1－2mg＝2ma，代入数据联立解得FAB＝1 N，故B错误；设A、B分离时，弹簧的形变量为x2，对B受力分析，由牛顿第二定律得kx2－mg＝ma，代入数据解得x2＝0.28 m，所以A物体的位移大小为x0－x2＝0.4 m－0.28 m＝0.12 m，故C正确；当B物体的合力为零时速度达到最大，由C可知A、B分离时有向上的加速度，所以速度最大时A、B已经分离，当合力为零时，对B受力分析，由平衡条件得kx3＝mg，代入数据解得x3＝0.2 m，故B物体的位移大小为x0－x3＝0.2 m，故D错误。 [拓展训练](多选)如图所示，质量mB＝2 kg的水平托盘B与一竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一质量mA＝1 kg的小物块A，整个装置静止．现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，g＝10 m/s2.以下结论正确的是(　　) A．变力F的最小值为2 N B．变力F的最小值为6 N C．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s D．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s 答案　BC 解析　A、B整体受力产生加速度，则有F＋FNAB－(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a，F＝(mA＋mB)a＋(mA＋mB)g－FNAB，当FNAB最大时，F最小，即刚开始施力时，FNAB最大，等于重力，则Fmin＝(mA＋mB)a＝6 N，B正确，A错误；刚开始，弹簧的压缩量为x1＝＝0.05 m；A、B分离时，其间恰好无作用力，对托盘B，由牛顿第二定律可知kx2－mBg＝mBa，得x2＝0.04 m．物块A在这一过程的位移为Δx＝x1－x2＝0.01 m，由运动学公式可知v2＝2aΔx，代入数据得v＝0.2 m/s，C正确，D错误． [典例11·对动力学中的极值问题的考查]如图甲所示，一个质量m＝0.5 kg的小物块(可看成质点)，以v0＝2 m/s的初速度在平行斜面向上的拉力F＝6 N作用下沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝8 m，已知斜面倾角θ＝37°，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)物块加速度a的大小； (2)物块与斜面之间的动摩擦因数μ； (3)若拉力F的大小和方向可调节，如图乙所示，为保持原加速度不变，F的最小值是多少。 答案　(1)2 m/s2　(2)0.5　(3) N 解析　(1)根据L＝v0t＋at2， 代入数据解得a＝2 m/s2。 (2)根据牛顿第二定律有F－mgsin θ－μmgcos θ＝ma，代入数据解得μ＝0.5。 (3)设F与斜面夹角为α， 平行斜面方向有Fcos α－mgsin θ－μFN＝ma 垂直斜面方向有FN＋Fsin α＝mgcos θ 联立解得F＝ ＝ 当sin(φ＋α)＝1时，F有最小值Fmin， 代入数据解得Fmin＝ N。 [拓展训练]如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑．如图乙，若让该小物块从木板的底端每次均以大小相同的初速度v0＝10 m/s沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g取10 m/s2. (1)求小物块与木板间的动摩擦因数； (2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值． 答案　(1)　(2)θ＝60°　 m 解析　(1)当θ＝30°时，小物块恰好能沿着木板匀速下滑，则mgsin θ＝Ff，Ff＝μmgcos θ 联立解得：μ＝. (2)当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，物块的加速度为a，则－mgsin θ－μmgcos θ＝ma， 由0－v02＝2ax得x＝， 令cos α＝，sin α＝， 即tan α＝μ＝， 故α＝30°， 又因x＝ 当α＋θ＝90°时x最小，即θ＝60°， 所以x最小值为xmin＝ ＝＝ m. 课时作业练 基础对点练 1.(2021·全国甲卷·14)如图，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P处，上部架在横杆上。横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ可变。将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的大小有关。若由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将(　　) A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 答案　D 解析　设PQ的水平距离为L，由运动学公式可知＝gsin θ·t2，可得t2＝，可知θ＝45°时，t 有最小值，故当θ从由30°逐渐增大至60°时，物块的下滑时间t先减小后增大，故选D。 2.农用无人机喷洒农药可以极大地提高农民的工作效率，为了防止无人机在作业中与障碍物发生碰撞，在某次测试中，无人机以标准起飞质量m＝44 kg起飞，以安全飞行速度v0＝8 m/s水平向着障碍物飞行，测距雷达发现s＝10.5 m处的障碍物后，无人机立即调整推力方向，做匀减速直线运动，结果无人机悬停在距离障碍物l＝2.5 m处，飞行过程中可将无人机看成质点，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，则无人机在匀减速直线运动过程中受到的推力的大小为(　　) A．88 N B．176 N C．88 N D．176 N 答案　A 解析　无人机做匀变速直线运动，有0－v02＝2a(s－l)，解得无人机的加速度a＝－4 m/s2，对无人机进行受力分析，无人机受重力和推力，则推力大小为F＝＝88 N，故选A。 3.如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A.B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB长为R，AC长为2R.现沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A处由静止释放小球(可看为质点)，已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为t1，沿AC轨道运动到C点所用时间为t2，则t1与t2之比为(　　) A．1∶3 B．1∶2 C．1∶ D．1∶ 答案　D 解析　如题图所示，设小圆中任意一条过A点的弦长为s，与竖直方向的夹角为θ，则s＝2Rcos θ，小球下滑的加速度a＝gcos θ，根据s＝at2得t＝2，可知下滑时间与θ无关，因此从A点沿不同弦下滑的时间相等，故小球沿AB下滑所用的时间等于小球在高度为2R的位置做自由落体运动所用的时间，即2R＝gt12，同理，小球沿AC下滑所用的时间等于小球在高度为4R的位置做自由落体运动所用的时间，即4R＝gt22，联立解得＝，选项D正确． 4.如图(a)，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v－t图线如图(b)所示．若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则不可求出(　　) A．斜面的倾角 B．物块的质量 C．物块与斜面间的动摩擦因数 D．物块沿斜面向上滑行的最大高度 答案　B 解析　由题图可知，物块上滑的加速度大小a1＝，下滑的加速度大小a2＝，根据牛顿第二定律，物块上滑时有mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1，下滑时有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，则可求得斜面倾角及动摩擦因数，故A、C不符合题意；由于m均消去，无法求得物块的质量，故B符合题意；物块上滑的最大距离x＝，则最大高度h＝x·sin θ，故D不符合题意． 5.(多选)如图甲所示，用一水平力F拉着一个静止在倾角为θ的光滑固定斜面上的物体，逐渐增大F，物体做变加速运动，其加速度a随外力F变化的图像如图乙所示，重力加速度为g＝10 m/s2，根据图乙中所提供的信息可以计算出(　　) A．物体的质量 B．斜面的倾角正弦值 C．加速度为6 m/s2时物体的速度 D．物体能静止在斜面上所施加的最小外力 答案　ABD 解析　对物体，由牛顿第二定律可得Fcos θ－mgsin θ＝ma，上式可改写为a＝F－gsin θ，故a－F图像的斜率为k＝＝0.4 kg－1，截距为b＝－gsin θ＝－6 m/s2，解得物体质量为m＝2 kg，sin θ＝0.6，故A、B正确；由于外力F为变力，物体做非匀变速运动，故利用高中物理知识无法求出加速度为6 m/s2时物体的速度，C错误；物体能静止在斜面上所施加的最小外力为Fmin＝mgsin θ＝12 N，故D正确． 6.如图所示，A、B两物体之间用水平轻质弹簧连接，用水平恒力F拉A，使A、B一起沿光滑水平面做匀加速直线运动，这时弹簧的长度为L1；若将A、B置于粗糙水平面上，用相同的水平恒力F拉A，使A、B一起做匀加速直线运动，此时弹簧的长度为L2.若A、B与粗糙水平面之间的动摩擦因数相同，则下列关系式正确的是(　　) A．L2＜L1 B．L2＞L1 C．L2＝L1 D．由于A、B的质量关系未知，故无法确定L1、L2的大小关系 答案　C 解析　A、B在粗糙水平面上运动时，对A、B整体，根据牛顿第二定律有：a＝－μg；对物体B，根据牛顿第二定律得：kx－μmBg＝mBa，解得：x＝，即弹簧的伸长量与动摩擦因数无关，所以L2＝L1，选项C正确． 7.(多选)如图甲所示，物块的质量m＝1 kg，初速度v0＝10 m/s，在一水平向左的恒力F作用下从O点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻F突然反向，大小不变，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示，g＝10 m/s2.下列说法中正确的是(　　) A．0～5 m内物块做匀减速运动 B．在t＝1 s时刻，恒力F反向 C．恒力F大小为10 N D．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3 答案　ABD 解析　0～5 m内，由v12－v02＝2a1x1，得v12＝2a1x1＋v02，由题图乙知，2a1＝－20 m/s2，则a1＝－10 m/s2，物块做匀减速运动，A正确；由题图乙知，物块的初速度v0＝10 m/s，恒力F在5 m处反向，在0～5 m内物块运动的时间t＝＝1 s，即在t＝1 s时刻，恒力F反向，B正确；5～13 m内，由v22＝2a2x2得物块的加速度a2＝＝ m/s2＝4 m/s2，由牛顿第二定律得－F－μmg＝ma1，F－μmg＝ma2，联立两式解得F＝7 N，μ＝0.3，D正确，C错误． 8.(多选)如图所示，A、B两物块叠在一起静止在水平地面上，A物块的质量mA＝2 kg，B物块的质量mB＝3 kg，A与B接触面间的动摩擦因数μ1＝0.4，B与地面间的动摩擦因数μ2＝0.1，现对A或对B施加一水平外力F，使A、B相对静止一起沿水平地面运动，重力加速度g＝10 m/s2，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法正确的是(　　) A．若外力F作用到物块A上，则其最小值为8 N B．若外力F作用到物块A上，则其最大值为10 N C．若外力F作用到物块B上，则其最小值为13 N D．若外力F作用到物块B上，则其最大值为25 N 答案　BD 解析　当外力F作用到A上时，A对B的摩擦力达到最大静摩擦力时，两者相对静止，F达到最大值，对B根据牛顿第二定律，有：μ1mAg－μ2(mA＋mB)g＝mBa1，代入数据解得a1＝1 m/s2，对整体：F1－μ2(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a1，代入数据，解得：F1＝10 N，故B正确；当外力F作用到B上时，A对B的摩擦力达到最大静摩擦力时，两者相对静止，F达到最大值，对A，根据牛顿第二定律，有μ1mAg＝mAa2，得a2＝μ1g＝4 m/s2，对A、B整体：F2－μ2(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a2，代入数据解得：F2＝25 N，故D正确；无论F作用于A还是B上，A、B刚开始相对地面滑动时，Fmin＝μ2(mA＋mB)g＝5 N，A、C错误． 9.为了探究物体与斜面间的动摩擦因数，某同学进行了如下实验：取一质量为m的物体，使其在沿斜面方向的推力F作用下向上运动，如图甲所示，通过力传感器得到推力随时间变化的规律如图乙所示，通过频闪照相处理后得出速度随时间变化的规律如图丙所示，若已知斜面固定且倾角α＝30°，重力加速度g取10 m/s2.求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)撤去推力F后，物体沿斜面向上运动的最大距离(斜面足够长)． 答案　(1)　(2)0.075 m 解析　(1)0～2 s时间内，有F1－mgsin α－μmgcos α＝ma1 由题图丙可知，a1＝＝0.5 m/s2 2 s后，有F2－mgsin α－μmgcos α＝ma2，a2＝0 代入数据解得m＝3 kg，μ＝.(1分) (2)撤去推力F后，有－μmgcos α－mgsin α＝ma3 解得a3＝－ m/s2 则s＝＝0.075 m． 10.如图所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的足够长的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝6 kg的物体P，Q为一质量为m2＝10 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止状态．现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求： (1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x0； (2)物体Q从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a； (3)力F的最大值与最小值． 答案　(1)0.16 m　(2) m/s2　(3) N　 N 解析　(1)设开始时弹簧的压缩量为x0， 对P、Q整体受力分析，平行斜面方向有 (m1＋m2)gsin θ＝kx0 解得x0＝0.16 m. (2)前0.2 s时间内F为变力，之后为恒力，则0.2 s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零且加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为x1， 对物体P，由牛顿第二定律得： kx1－m1gsin θ＝m1a 前0.2 s时间内两物体的位移： x0－x1＝at2 联立解得a＝ m/s2. (3)对两物体受力分析知，开始运动时F最小，分离时F最大，则Fmin＝(m1＋m2)a＝ N 对Q应用牛顿第二定律得 Fmax－m2gsin θ＝m2a 解得Fmax＝ N. 能力提升练 11.(多选)如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现对A施加一水平拉力F，则(　　) A．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止 B．当F＝μmg时，A的加速度为μg C．当F>3μmg时，A相对B滑动 D．无论F为何值，B的加速度不会超过μg 答案　BCD 解析　当0<F≤μmg时，A、B均静止；当μmg<F≤3μmg时，A、B相对静止，但两者相对地面一起向右做匀加速直线运动；当F>3μmg时，A相对B向右做加速运动，B相对地面也向右加速，选项A错误，选项C正确．当F＝μmg时，A、B相对静止，A与B共同的加速度a＝＝μg，选项B正确．A对B的最大摩擦力为2μmg，无论F为何值，物块B的加速度最大为a2＝＝μg，选项D正确． 12.(多选)如图甲所示，物块A、B静止叠放在水平地面上，B受到从零开始逐渐增大的水平拉力F的作用，A、B间的摩擦力Ff1、B与地面间的摩擦力Ff2随水平拉力F变化的情况如图乙所示。已知物块A的质量m＝3 kg，取g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是(　　) A．两物块间的动摩擦因数为0.2 B．当0＜F＜4 N时，A、B保持静止 C．当4 N＜F＜12 N时，A、B发生相对滑动 D．当F＞12 N时，A的加速度随F的增大而增大 答案　AB 解析　根据题图乙可知，发生相对滑动时，A、B间的滑动摩擦力为6 N，所以A、B之间的动摩擦因数μ＝＝0.2，选项A正确；当0＜F＜4 N时，根据题图乙可知，Ff2还未达到B与地面间的最大静摩擦力，此时A、B保持静止，选项B正确；当4 N＜F＜12 N时，根据题图乙可知，此时A、B间的摩擦力还未达到最大静摩擦力，所以没有发生相对滑动，选项C错误；当F＞12 N时，根据题图乙可知，此时A、B发生相对滑动，对A物块有a＝＝2 m/s2，加速度不变，选项D错误。 尖子选拔练 13.如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑固定斜面上，有一质量为m的物体，受到沿斜面方向的力F作用，力F按图乙所示规律变化(图中纵坐标是F与mg的比值，力F沿斜面向上为正)．则物体运动的速度v随时间t变化的规律是下列选项图中的(物体的初速度为零，重力加速度g取10 m/s2)(　　) 答案　C 解析　在0～1 s内，＝1，根据牛顿第二定律得a1＝＝g，方向沿斜面向上，物体沿斜面向上做匀加速直线运动，在1 s末的速度为5 m/s；在1～2 s内，拉力F为零，根据牛顿第二定律得a2＝＝g，方向沿斜面向下，物体沿斜面向上做匀减速直线运动，2 s末速度为零；在2～3 s内，＝－1，根据牛顿第二定律得a3＝＝g，方向沿斜面向下，物体沿斜面向下做匀加速直线运动，3 s末的速度大小为15 m/s，方向沿斜面向下，C正确． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$