暑假作业10 基本立体图形、直观图及几何体的表面积与体积-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第二册）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 基本立体图形、直观图及几何体的表面积与体积 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 一、单选题 1．下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义逐项判断即可. 【详解】根据简单组合体的概念知：选项A为简单组合体； 根据棱柱的概念可得选项B为棱柱； 根据棱台的定义知选项C为棱台； 根据棱锥的概念知选项D为棱锥. 故选：B 2．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由三角形面积公式求出的长，结合斜二测画法可得原图中的长. 【详解】画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，则即为原来的图形，如图②所示： 原图形中，于点， 则BD为原图形中边上的高，且， 在直观图③中作于点，则的面积， 在直角三角形中，， 所以， 故原图形中AC边上的高为． 故选：D． 3．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱柱的性质结合球的性质得，其外接球的球心为上下面外接圆圆心连线中点，利用勾股定理计算半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为，其外接球的圆心为点， 则，为等边三角形，故，即为其外接球的半径， 所以， 所以该正六棱柱的外接球的体积为. 故选：C. 4．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案. 【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米， 下圆台的高为厘米， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米. 故选：D 5．如图所示，在三棱台中，，则三棱锥与三棱锥的体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由棱台的结构特征可知，结合锥体的体积公式分析求解. 【详解】设三棱台的高为， 因为，可知， 所以. 故选：D. 二、多选题 6．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得； 【详解】解：依题意球的表面积为， 圆柱的侧面积为，所以AC选项正确． 圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 圆锥的表面积为， 圆柱的表面积为，所以D选项不正确． 故选：ABC 7．如图，在直三棱柱中，，，，且，P为的中点，则（    ）    A．三棱锥的体积为4 B．三棱锥的体积为 C．四棱锥的体积为8 D．三棱锥的表面积为 【答案】ACD 【分析】借助几何体的表面积和体积公式逐项计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，而三棱锥与三棱锥有共同的高， ∵P为的中点，∴，∴，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：由题可知，，，，∴， ∴是直角三角形，， ∴三棱锥的表面积为： ，故D正确． 故选：ACD. 8．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和12，且，则该圆台的（    ） A．高为 B．上底面积、侧面积和下底面积之比为16∶14∶1 C．表面积为 D．体积为 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得圆台的上、下底面半径和母线长、以及圆台的高，结合圆台的几何结构特征以及侧面积和体积公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，设圆台的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为， 则且，解得， 由圆台的母线长为，所以圆台的高为，所以A正确； 对于B中，圆台的上、下底面面积为， 其侧面积为， 所以上底面积、侧面积和下底面积之比为，所以B不正确； 对于C中，由B项得，圆台的表面积为，所以C正确； 对于D中，圆台的体积为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为 . 【答案】 【分析】先根据球的体积公式求半径，然后根据正方体的体对角线即为外接球的直径可得正方体的棱长，即可求得正方体体积. 【详解】记正方体棱长为a，外接球半径为R， 则，解得， 因为正方体的体对角线即为外接球的直径， 所以，解得， 所以，正方体的体积为. 故答案为： 10．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，，，，，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图①所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图②所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积. 【详解】将沿翻折到与共面时，得到平面四边形如图①所示， 设，即， 由题意得，， 在中，由余弦定理得 即 即， 解得或（舍去）， 所以， 将三棱锥补成长方体如图②所示， 该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径， 所以外接球的体积. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. (1)求圆锥的底面半径； (2)求该几何体的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意圆锥底面圆为棱柱底面正三角形的内切圆，利用等面积法列式求解即可； （2）分别求出正三棱柱的表面积，圆锥的底面面积和侧面积，即可求解表面积. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，则该底面圆为三棱柱的底面正三角形的内切圆， 利用等面积法得，解得， （2）因为正三棱柱的表面积为， 倒圆锥的底面圆面积为，倒圆锥的母线长为， 所以倒圆锥的侧面积为， 所以该几何体的表面积为. 12．如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点． (1)求该正三棱柱的体积； (2)求三棱锥的体积； (3)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由正三棱柱的体积公式求解即可； （2）由的体积等于，分别求出的体积代入即可得出答案. （3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， ， 所以 （3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值， 且最小值为． 1．如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 . 【答案】 【分析】根据斜二测画法，，表示其面积，求出答案. 【详解】设的边上的高为，由斜二测画法原理可得， 所以，又，所以. 故答案为：. 2．一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答. 【详解】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为， 令正的中心为，连接， 显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，， 即，， 而， 则， 在中，，解得，， 所以它的外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 3．正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为 . 【答案】或 【分析】设底面中心为，连接，，，由四棱锥的外接球的表面积为，可得外接球半径，利用球的截面性质求出的值，再根据体积公式求解即可. 【详解】设正四棱锥的底面中心为，外接球球心为，显然球心在直线上， 由四棱锥的外接球的表面积为，得球半径，由正方形面积为3，得 球心到面的距离为，正方形的外接圆半径， 于是，即，解得或， 所以或， 故答案为：或    4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 . 【答案】21 【分析】由已知条件求出正六棱台体积，即可得到答案 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 故， 故答案为：21 5．如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥. (1)求棱台的体积； (2)求棱台的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得； （2）求出棱台各个面的面积后相加即可得. 【详解】（1）过点作底面于点，交平面于点， 由正四棱锥及棱台的性质可知，为底面的中心， 则， 即棱台的高， ， （2）连接，则，则， 作于点，则， 故 . 1．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】画出平面图,计算出第二个球最高点到圆柱底的最大距离，得到规律即可求解. 【详解】如图，将第一个球靠近该圆柱右侧放置，球上的点到该圆柱底面的最大距离为2，将第二个球也靠近圆柱侧面放置， 过点作垂直于该圆柱的母线，垂足为A,过点作垂直于圆柱底面， 垂足为B,设， 则球上的点到该圆柱底面的最大距离为， 同理可得球上的点到该圆柱底面的最大距离为， 由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱底面的最大距离加， 因为，故最多能装下小球个数为11. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查球的切接问题，关键是得到第二个球最高点到圆柱底的最大距离进而得到规律. 2．（多选）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（    ） A．该阳马的体积为 B．该阳马的表面积为 C．该阳马外接球的半径为 D．该阳马内切球的半径为 【答案】BD 【分析】根据相等的两条棱，求出四棱锥的高，可得其体积和表面积AB；求出外接球球心位置即得外接球半径C；利用体积法求出内切圆半径判断D. 【详解】 如图，不妨底面，，两两互相垂直， 平面平面，又， 因此，由对称性：，解得， 所以A错误； 该阳马的表面积B正确； 都是以为斜边的直角三角形， 则都在以为直径的球上，C错误； 设该阳马内切球的半径为，则，即， 解得D正确. 故选：BD 3．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（    ） A．该半正多面体的体积为 B．该半正多面体过，，三点的截面面积为 C．该半正多面体外接球的表面积为 D．该半正多面体的表面积为 【答案】D 【分析】先将该半正多面体补形为正方体，利用正方体与棱锥的体积公式判断A，利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置，从而判断BC，利用正三角形与正方体的面积公式判断D. 【详解】A：如图，因为， 所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的， 所以该半正多面体的体积为：，故A错误； B：根据该半正多面体的对称性可知，过三点的截面为正六边形， 又，所以正六边形面积为，故B错误； C：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心， 即正六边形的中心，故半径为， 所以该半正多面体外接球的表面积为，故C错误； D：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为， 所以其表面积为，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键有二，一是将该半正多面体补形为正方体，二是充分利用该半正多面体的对称性，从而得解. 1．（2023·全国·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 2．（2023·全国·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 【答案】 【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解. 【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 3．（2023·全国·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B 4．（2023·全国·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小. 【详解】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为. 综上，. 故答案为： 5．（2023·全国·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业10 基本立体图形、直观图及几何体的表面积与体积 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 一、单选题 1．下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（   ） A． B． C． D． 3．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在三棱台中，，则三棱锥与三棱锥的体积比为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 7．如图，在直三棱柱中，，，，且，P为的中点，则（    ）    A．三棱锥的体积为4 B．三棱锥的体积为 C．四棱锥的体积为8 D．三棱锥的表面积为 8．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和12，且，则该圆台的（    ） A．高为 B．上底面积、侧面积和下底面积之比为16∶14∶1 C．表面积为 D．体积为 三、填空题 9．已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为 . 10．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，，，，，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 . 四、解答题 11．如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. (1)求圆锥的底面半径； (2)求该几何体的表面积. 12．如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点． (1)求该正三棱柱的体积； (2)求三棱锥的体积； (3)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值． 1．如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 . 2．一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 3．正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为 . 4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 . 5．如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥. (1)求棱台的体积； (2)求棱台的表面积. 1．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（多选）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（    ） A．该阳马的体积为 B．该阳马的表面积为 C．该阳马外接球的半径为 D．该阳马内切球的半径为 3．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（    ） A．该半正多面体的体积为 B．该半正多面体过，，三点的截面面积为 C．该半正多面体外接球的表面积为 D．该半正多面体的表面积为 1．（2023·全国·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 2．（2023·全国·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 3．（2023·全国·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 5．（2023·全国·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$