暑假作业09 复数综合-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业09 复数综合 1. 数集的分类 其中正整数的符号为：或 2. 虚数单位 ，规定 3. 虚数单位的周期 4. 复数的代数形式 Z=，叫实部，叫虚部 5. 复数的分类 6. 复数相等 若 7. 共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；， 推广： 结论： 8. 复数的几何意义 复数复平面内的点 9. 复数的模 ， 则 ； 10. 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 一、单选题 1．复数的模长为（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位若复数，则的虚部是（    ） A．1 B． C．i D． 3．已知复数，则在复平面内表示复数的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 二、多选题 6．已知复数其中为虚数单位，复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C．复数的虚部为 D． 7．已知均为复数，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则 D．若，则是实数 8．已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．方程在复数范围内的解是 ． 10．若复数满足，则 ． 四、解答题 11．已知复数，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在直线上，求的值. 12．已知复数，，，它们所对应的点分别为、、，在复平面上构成一个正方形的三个顶点． (1)画出示意图，验证说明； (2)求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 1．（多选）已知复数，则（    ） A． B．复数对应的点在第二象限 C． D．复数的虚部是 2．已知，是方程的两根，则 ， . 3．（多选）已知，方程有一个虚根为为虚数单位，另一个虚根为，则（   ） A． B．该方程的实数根为1 C． D． 4．（多选）设为复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 5．已知复数的实部与虚部的和为． (1)若，且，求复数的虚部； (2)当取得最小值时，且在第四象限，求的取值范围． 1．（多选）已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则的最小值为1 2．已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 3．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 1．（2023·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 3．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 5．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 复数综合 1. 数集的分类 其中正整数的符号为：或 2. 虚数单位 ，规定 3. 虚数单位的周期 4. 复数的代数形式 Z=，叫实部，叫虚部 5. 复数的分类 6. 复数相等 若 7. 共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；， 推广： 结论： 8. 复数的几何意义 复数复平面内的点 9. 复数的模 ， 则 ； 10. 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 一、单选题 1．复数的模长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再计算其模即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2．已知为虚数单位若复数，则的虚部是（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】A 【分析】先化简复数，再利用复数的有关概念求解. 【详解】解：因为复数， 所以的虚部是1， 故选：A 3．已知复数，则在复平面内表示复数的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先化简复数，再根据复数的几何意义，即可判断选项. 【详解】，对应的点在第一象限. 故选：A 4．复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得解. 【详解】由已知复平面内表示复数的点位于四象限， 则，即， 即， 故选：B. 5．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】由关于直线对称求出，再根据复数模的定义计算即可． 【详解】因为，所以其对应点为， 关于直线对称的点为，则， 所以， 故选：C． 二、多选题 6．已知复数其中为虚数单位，复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C．复数的虚部为 D． 【答案】CD 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再一一判断即可. 【详解】因为， 所以， 所以，故A错误； ，故B错误； 复数的虚部为，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 7．已知均为复数，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则 D．若，则是实数 【答案】BD 【分析】对于选项A，举反例即可判断正误；对于选项B，令，则，进一步计算即可判断正误；对于选项C，举反例即可判断正误；对于选项D，令，则，进一步计算即可判断正误. 【详解】对于A：若，可得，而，故A错误； 对于B：由，令，则， 则为实数，故B正确； 对于C：设，则，， 满足，但，故C错误； 若，可令，则， 则为实数，故D正确. 故选：BD. 8．已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC. 【详解】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C，由及已知得，设， ，解得， 则，C正确； 对于D，取，，而，D错误. 故选：BC 三、填空题 9．方程在复数范围内的解是 ． 【答案】 【分析】利用配方法和复数的运算性质结合虚数单位，求解即可. 【详解】由，得， 所以，即， 则解集为. .故答案为：. 10．若复数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的运算法则，求得，所以，结合复数模的运算法则，即可求解. 【详解】由复数，可得，所以，可得. 故答案为：. 四、解答题 11．已知复数，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的概念得出，解方程即可求解. （2）将在复平面内对应的点代入直线方程即可求解. 【详解】（1）复数，实部为，虚部为， 若为纯虚数，则，解得. （2）因为在复平面内对应的点为， 由题意可得：，解得. 12．已知复数，，，它们所对应的点分别为、、，在复平面上构成一个正方形的三个顶点． (1)画出示意图，验证说明； (2)求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 【答案】(1)图见解析，验证说明见解析 (2) 【分析】（1）首先确定点的坐标，再画出图形，计算出，即可说明； （2）法一：根据正方形的对称性计算可得；法二：设设正方形的第四个顶点对应的坐标是，则其对应的复数为，， 根据计算可得. 【详解】（1）因为复数，，，它们所对应的点分别为、、， 则、、， 所以，， 所以，即， 所以． （2）法一：设正方形的第四个顶点对应的坐标是，则其对应的复数为，， 因为点与点关于原点对称，所以原点为正方形的中心， 则点与点也关于原点对称， 所以，故对应的复数为． 法二：设正方形的第四个顶点对应的坐标是，则其对应的复数为，， 又，． 因为，所以，解得， 所以，故对应的复数为． 1．（多选）已知复数，则（    ） A． B．复数对应的点在第二象限 C． D．复数的虚部是 【答案】AC 【分析】先由复数的运算化简已知复数，再由模长的运算可得A正确；由复数的几何意义判断B错误；由共轭复数和复数的运算可得C正确；由复数的概念可得D错误. 【详解】 ， A：，故A正确； B：复数对应的点为，在第一象限，故B错误； C：，所以，故C正确； D：复数的虚部是1，故D错误； 故选：AC. 2．已知，是方程的两根，则 ， . 【答案】 【分析】首先求出方程的两根，，再根据复数代数形式的乘方及复数的模计算可得. 【详解】因为，是方程的两根，又， 即或， 不妨令， 所以； 又，所以. 故答案为：； 3．（多选）已知，方程有一个虚根为为虚数单位，另一个虚根为，则（   ） A． B．该方程的实数根为1 C． D． 【答案】AB 【分析】利用方程根的意义，借助复数运算及复数为0的充要条件求出，再逐项计算判断即可. 【详解】由是方程的根，得， 整理得，而，因此，解得， 对于A，，A正确； 对于BC，方程，变形为， 显然此方程还有一个实根1，另一个虚根，B正确，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 4．（多选）设为复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用特殊值判断A，根据复数的模得到，即可判断B，根据复数的模及复数代数形式的乘法运算判断C，设，根据复数模的几何意义判断D. 【详解】对于A：设，，则，，满足， 但是，，虚数不能比较大小，故A错误； 对于B：因为，所以，则，所以，故B正确； 对于C：设， 则，，，， 若，则， 又，， 所以，故C正确； 对于D：设，由，所以， 点在以为圆心，半径的圆形区域内（包括边界）， 因为， 所以，表示圆形区域的点到定点的距离， 因为，所以， 即， 即的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 5．已知复数的实部与虚部的和为． (1)若，且，求复数的虚部； (2)当取得最小值时，且在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简复数，得到，根据，求得，得到，求得，即可求解； （2）由（1）知，函数，得到，化简得到，结合在第四象限，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，复数， 所以复数的实部为，虚部为，则 因为，可得，又因为，解得， 所以，可得，所以复数的虚部为. （2）解：由（1）知，函数， 则当时，取得最小值，此时， 则 ， 由在第四象限，可得，解得或 所以的取值范围为． 1．（多选）已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则的最小值为1 【答案】ACD 【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，设，则，故A正确； 对于B，令，满足，故B错误； 对于C，设，，则 ，所以，故C正确； 对于D，设，则， 即，表示以为圆心，半径为1的圆， 表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD 2．已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果. 【详解】设， 则， 由题意可得： 可得关于的方程的根为， 故， 整理得， 即， 令，可得， 且2022为偶数，所以. 故选：B. 3．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 1．（2023·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 2．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 3．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 4．（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 5．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 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