暑假作业07 正弦定理及其解三角形-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业07 正弦定理及其解三角形 1. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 2. 三角形中三个内角的关系 ，＝－ ，， 一、单选题 1．在中，，，，则角的值为（      ） A．或 B．或 C． D． 2．在中，其内角的对边分别是，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．设的内角的对边分别为若的周长为则（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．在中，角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 二、多选题 6．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则符合条件的有两个 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形 7．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若为钝角三角形，则 D．若，则是钝角三角形 8．记的内角的对边分别为，已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C．一定是钝角三角形 D．若，则的面积是 三、填空题 9．在△中，，则△的外接圆的半径为 . 10．在锐角中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围是 ． 四、解答题 11．记的内角的对边分别为，面积为，且． (1)求的外接圆的半径； (2)若，且边上的高，求角． 12．在中，角所对的边分别为，且． (1)求的大小； (2)若，，点在边上，且，求线段的长． 1．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则外接圆半径为 . 2．在中，角所对的边长分别为，若，则 . 3．我国著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．设分别为内角的对边，表示的面积，其公式为．若，，则的面积为 ． 4．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围为 D．若，则为等边三角形 5．在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若，则一定为钝角三角形 D．若的三角形有两解，则a的取值范围为 1．若的角所对边，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．在中，角所对的边分别是，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围． 1．（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（全国·高考真题）在中，，． (1)求的值． (2)设，求的面积． 3．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 4．（全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若,求. 5．（2023·全国·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 正弦定理及其解三角形 1. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 2. 三角形中三个内角的关系 ，＝－ ，， 一、单选题 1．在中，，，，则角的值为（      ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，即，解得， 又，所以，即，所以. 故选：D 2．在中，其内角的对边分别是，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】对于ABD：根据题意利用正弦定理分析求解，结合内角和性质分析取舍，即可判断解的个数；对于C：结合等边三角形的性质分析判断. 【详解】对于选项A：若，，，由正弦定理可得， 则，此时不存在，三角形无解；故A错误； 对于选项B：若，，，由正弦定理可得， 则， 可知或，而时，，应舍去， 所以，即三角形有且仅有一解；故B错误； 对于选项C：若，，，可知为等边三角形， 所以三角形仅有一解； 故C错误； 对于选项D：若 ，，，由正弦定理可得：， 则，所以或， 两种情况下，三角形都存在，即三角形有两解，故D错误. 故选：D. 3．设的内角的对边分别为若的周长为则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由及正弦定理得化简结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知, 由正弦定理得 即整理得 由余弦定理得 又所以 故选：A． 4．在中，若，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据题意，由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 化简可得， 即， 即，所以或， 即或者，所以三角形是等腰三角形或直角三角形. 故选：A 5．在中，角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】由正弦定理得 因为，所以，故， 如图所示， 则的面积为， 即， ． ． 当且仅当时取等号． 所以，的最小值为． 故选：D． 二、多选题 6．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则符合条件的有两个 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】ABD 【分析】对于A，使用正弦定理即可证明；对于B，使用余弦定理解出全部的即可证明有两解；对于C，给出一组反例即可否定；对于D，使用和差化积以及积化和差公式即可证明或. 【详解】对于A，由已知有，故，所以，故A正确； 对于B，我们只需要确定满足条件的的个数，由余弦定理知满足的方程是，即，而该方程有两个解，故B正确； 对于C，若，，，则，但不是等腰三角形，故C错误； 对于D，若，则有. 故，从而. 这表明或，即或，故D正确. 故选：ABD 7．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若为钝角三角形，则 D．若，则是钝角三角形 【答案】AB 【分析】利用正弦定理判断A、B，利用余弦定理判断C、D. 【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，因为，，，所以， 即，又，所以有两解， 所以有两解，故B正确； 对于C，因为为钝角三角形，当为钝角时，，则，故C错误； 对于D，因为，设，则，，显然， 由余弦定理， 又，所以为锐角，则是锐角三角形，故D错误. 故选：AB 8．记的内角的对边分别为，已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C．一定是钝角三角形 D．若，则的面积是 【答案】AC 【分析】由，可表示出三边，根据正弦定理以及余弦定理，结合三角形的面积公式，可得答案. 【详解】由已知可设， 则， ，，故A正确； 又， 又， 为钝角三角形，，故B不正确，C正确； 若，则， 又，，故D不正确． 故选：AC. 三、填空题 9．在△中，，则△的外接圆的半径为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求解，再用正弦定理求△的外接圆的半径即可. 【详解】由余弦定理可知， 所以， 则△的外接圆的半径为. 故答案为：. 10．在锐角中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边得，代入余弦定理转化为关于的一元二次不等式求解即可. 【详解】由条件及正弦定理可得， 因为，满足C为锐角． 因为A为锐角，由余弦定理可得， 所以，即， 所以，解得， 又，所以． 由B为锐角可得，即， 所以，又，解得． 综上，即的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 11．记的内角的对边分别为，面积为，且． (1)求的外接圆的半径； (2)若，且边上的高，求角． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由三角形面积公式结合正弦定理即可得解； （2）由三角形面积公式得结合已知得，进一步由正弦定理以及三角形内角和即可求解. 【详解】（1）在中，， 解得， 由正弦定理得的外接圆的半径． （2）由（1）知，即 又，所以， 所以，所以，所以. 12．在中，角所对的边分别为，且． (1)求的大小； (2)若，，点在边上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，即可求解； （2）根据平面向量的线性运算可得，结合向量数量积的运算律和定义计算即可求解. 【详解】（1），由正弦定理得， ， 又， 所以， 得，又， 所以，即， 得，又，所以， 故； （2）由，得，即， 所以， 所以，即. 1．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则外接圆半径为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理结合两角和正弦公式化简求解，再由得，最后由正弦定理求得外接圆半径即可. 【详解】由及正弦定理得， 即，即，由，则，所以， 因为，所以，所以， 所以由正弦定理得，的外接圆半径为. 故答案为： 2．在中，角所对的边长分别为，若，则 . 【答案】/ 【分析】将条件中的正切化为正弦和余弦，整理得到，再使用正弦定理和余弦定理即可， 【详解】因为， 所以 ，即， 结合正弦定理，知， 故， 从而，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，一开始将关于正切的条件转化为较为容易研究的正弦和余弦，再使用正弦定理和余弦定理即可. 3．我国著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．设分别为内角的对边，表示的面积，其公式为．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理，可得，再化简已知条件，结合面积公式求解. 【详解】因为，根据正弦定理，得，即， 又因为，即， 所以. 故答案为： 4．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围为 D．若，则为等边三角形 【答案】ABD 【分析】根据余弦定理化简判断A，根据正弦定理结合合比性质判断B，利用正弦定理及数量积定义得，然后利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的性质求解范围判断C，根据向量线性关系及数量积的几何意义易知的角平分线与垂直且，即可判断D. 【详解】对于A，在中，，由余弦定理得，正确， 对于B，由正弦定理，可得，， 所以，正确； 对于C，由选项B知，，则 ， 又，所以，所以， 所以，错误； 对于D，表示方向的单位向量；表示方向的单位向量， 根据平面向量加法的几何意义可知与的角平分线共线， 由可知的角平分线与垂直，所以是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用数量积的定义及正弦定理、综合运用两角和差正弦公式及二倍角公式化简，再利用正弦函数的性质求解范围即可. 5．在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若，则一定为钝角三角形 D．若的三角形有两解，则a的取值范围为 【答案】ABD 【分析】本题A选项根据三角形的边角关系结合正弦定理即可解决；B选项根据锐角三角形中任意两个角的和大于，再由诱导公式即可解决；C选项根据三角形内角和定理、诱导公式化简并结合已知条件讨论确定符号，从而确定角的情况；D选项已知两边和其中一边的对角，根据有两解画图分析列出不等式即可得出a的取值范围. 【详解】A选项：根据大角对大边，，根据正弦定理可得，其中R为三角形外接圆半径，于是，A正确； B选项：若为钝角三角形，则，所以，则，B正确； C选项：因为， 所以，所以， 因为，所以中有0个或2个为负数， 又因为中最多一个为钝角，所以， 即都是锐角，所以为锐角三角形，C错误． D选项：因为三角形有两解，所以，即 所以a的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 1．若的角所对边，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首项由诱导公式二倍角公式得，进一步结合正弦定理以及两角和正弦公式有，在这里进一步有，注意到，假设，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，即， ，即， 从而，即， 所以， 显然，这意味着不能都同时等于0， 否则与三角形内角和矛盾， 从而有， 注意到， 要求的最大值，我们不妨设， 从而，等号成立当且仅当，此时满足题意； 综上所述，的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是得到并假设，由此即可顺利得解. 2．在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，从而，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得. 【详解】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 则， 所以，解得，则， 所以 ， 所以的取值范围是． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用正弦定理将边化角，得到、，最后将转化为关于的三角函数. 3．在中，角所对的边分别是，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合辅助角公式进行求解； （2）对待求表达式使用正弦定理边角互化，得到，然后消去一个变量，使得原式是关于的三角函数表达式，结合二倍角公式，二次函数的知识点求解. 【详解】（1），由正弦定理得， ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）由（1）知，根据正弦定理， 则 ， 令， 因为，所以，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 1．（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 2．（全国·高考真题）在中，，． (1)求的值． (2)设，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系可求得，由，利用两角和差正弦公式可求得结果； （2）利用正弦定理可求得，由三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1），，，，，， . （2）由正弦定理得：； . 3．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 4．（全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若,求. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得 由（Ⅰ）知, 所以 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以. （Ⅱ）因为 所以 由（I）知, 所以 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 5．（2023·全国·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 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