第一章　第6课时　专题强化：追及相遇问题-2025年物理大一轮复习讲义

第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究 第6课时　专题强化：追及相遇问题 目标要求　 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。 2.会在图像中分析追及相遇问题。 3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。 1．模型特点 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。 2．分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 3．常见追及情景 (1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 (2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值。 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上。 4．解答追及相遇问题的三种方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图． 能否追上的判断方法(临界条件法) 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上． (2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇． ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇． 当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值． (3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系． [典例1·对匀变速追匀速的考查](2024·广东·质检)某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求： (1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小； (2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小； (3)追上之前两车的最大距离。 [拓展训练](2023·山东·开学考试)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则： (1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ (2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ [典例2·对匀变速追匀变速的考查](2023·湖南长沙市南雅中学检测)现有A、B两列火车在同一轨道上同向匀速行驶，A车在前，其速度 vA＝10 m/s，B车速度vB＝40 m/s。因大雾能见度低，B车在距A车d＝900 m时才发现前方有A车，此时B车立即刹车，但B车要减速2 000 m才能够停止。 (1)B车刹车后减速运动的加速度多大？ (2)B车刹车t1＝20 s后，两车距离多少？ (3)B车刹车t2＝30 s后，A车开始匀加速，则至少以多大加速度aA加速前进才能避免事故？ [拓展训练](多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是(　　) A. B．v0Δt C.(＋) D.(－) [典例3·对图像中的追及相遇问题的考查](2024·山东德州市月考)物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为v0＝30 m/s，A车在前、B车在后，两车相距100 m，其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　) A．t＝3 s时两车间距离为25 m B．3～9 s内，A车的加速度大于B车的加速度 C．两车最近距离为10 m D．0～9 s内两车相遇一次 [拓展训练](2023·四川南充市模拟)某车型在红绿灯停启、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等方面都能无干预自动驾驶．某次试乘时，甲、乙两车同时并排出发，沿着同一平直路面行驶，它们的速度v随时间t变化的图像如图所示．则下列说法中正确的是(　　) A．t1～t2时间内，甲、乙两车的加速度不可能相同 B．t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离始终增大 C．t1～t2时间内，甲、乙两车相遇两次 D．t1～t2时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度 课时作业练 基础对点练 1.(2023·山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间(x－t)或速度－时间(v－t)图像，t1时刻两车恰好到达同一地点．关于两车在t1～t2时间内的运动，下列说法正确的是(　　) A．若是x－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大 B．若是x－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小 C．若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小 D．若是v－t图像，则两车间的距离不断增大 2.(2024·常州·期中)甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置，此时甲的速度为5 m/s，乙的速度为10 m/s，甲车的加速度大小恒为1.2 m/s2.以此时作为计时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知(　　) A．乙车做加速度先增大后减小的变加速运动 B．在前4 s的时间内，甲车的位移为29.6 m C．在t＝4 s时，甲车追上乙车 D．在t＝10 s时，乙车又回到起始位置 3.一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是(　　) A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故 B．在t＝3 s时发生追尾事故 C．在t＝5 s时发生追尾事故 D．若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10 m 4.(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，它们的v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　) A．在t＝1 s时，甲车在乙车后 B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 5.(多选)如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速 54 km/h。当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图乙所示，0～5 s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是(　　) A．A车运动的加速度大小为1 m/s2 B．t＝3.5 s时，两车的速度相同 C．A车追上B车的最短时间为7.2 s D．两车相遇两次 6.汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，刹车后40 s停下来．现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即刹车，则： (1)求汽车刹车时的加速度大小； (2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 7.(2023·江西赣州市高三模拟)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道．如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响． (1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞． (2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车． 8.甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动，甲的初速度为6 m/s，由于摩擦做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2；乙做初速度为零，加速度为1 m/s2的匀加速直线运动．求： (1)甲物体能运动多远？ (2)乙经多长时间追上甲？ (3)乙追上甲之前两物体的最大距离是多少？ 9.货车A正在该公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有64 m. (1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间； (2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度a2至少多大才能避免事故发生．(这段公路很窄，无法靠边让道) 10.(2022·安徽·阶段)一辆值勤的警车停在公路边，当交警发现从他旁边以v1＝36 km/h的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定立即前去追赶，经过t0＝5.5 s后警车发动起来，并以a＝2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度不能超过vm＝90 km/h.问： (1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ (2)警车发动后最快要多长时间才能追上货车？ 能力提升练 11.如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒．在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0 m处向乙发出起跑口令．已知接力区的长度为L＝20 m. (1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离； (2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？ (3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？ 12.(2023·湖南·模拟)甲、乙两辆汽车同时同地出发，沿同方向做直线运动，两车速度的平方v2随位移x的变化关系图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时，甲车的位移为8 m B．汽车甲的加速度大小为4 m/s2 C．汽车甲、乙在t＝4 s时相遇 D．汽车甲、乙在x＝6 m处的速度大小为3 m/s 尖子选拔练 13.(2024·黑龙江哈尔滨市第三中学检测)如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形。图中A车车长 LA＝4 m，B车车长 LB＝6 m，两车车头相距L＝26 m时，B车正以vB＝10 m/s的速度匀速行驶，A车正以vA＝15 m/s的速度借道超车，此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C正好迎面驶来，其速度为vC＝8 m/s，C车车头和B车车头之间相距d＝94 m，现在A车司机有两个选择，一是放弃超车，驶回与B相同的车道，而后减速行驶；二是加速超车，在B与C相遇之前超过B车，不考虑变道过程的时间和速度的变化。 (1)若A车选择放弃超车，回到B车所在车道，则A车至少应该以多大的加速度匀减速刹车，才能避免与B车相撞； (2)若A车选择加速超车，求A车能够安全超车的加速度至少多大； (3)若A车选择超车，但因某种原因并未加速，C车司机在图示位置做出反应(不计反应时间)，则C车减速的加速度至少多大才能保证A车安全超车。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究 第6课时　专题强化：追及相遇问题 目标要求　 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。 2.会在图像中分析追及相遇问题。 3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。 1．模型特点 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。 2．分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 3．常见追及情景 (1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 (2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值。 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上。 4．解答追及相遇问题的三种方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图． 能否追上的判断方法(临界条件法) 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上． (2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇． ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇． 当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值． (3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系． [典例1·对匀变速追匀速的考查](2024·广东·质检)某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求： (1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小； (2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小； (3)追上之前两车的最大距离。 答案　(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m 解析　(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为 v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。 (2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得 v0t2＋200 m＝a1t22，解得t2＝20 s 此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s (3)方法一　物理分析法 当两车速度相等时，两车相距最远 由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间 t3＝＝ s＝5 s，追上之前两车最远相距 Δs＝v0t3＋200 m－a1t32 ＝(10×5＋200－×2×52) m＝225 m。 方法二　二次函数法 Δs＝v0t＋200－a1t2＝10t＋200－t2 当t＝＝ s＝5 s时，Δs有极值，相距最远，将t＝5 s代入解得Δsmax＝225 m。 方法三　图像法 从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0＝a1t＝10 m/s，得t＝5 s时相距最远，Δsmax＝v0t－t＋200 m＝225 m。 [拓展训练](2023·山东·开学考试)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则： (1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ (2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ 答案　(1)5 m/s2　(2)1 m/s2 解析　(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s， 初始距离d＝14 m 在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10 m 从汽车刹车开始计时， 自行车的位移为：x自＝v自t 汽车的位移为：x汽＝v汽t－at2 假设汽车能追上自行车，此时有： x汽＝x自＋d′ 代入数据整理得：at2－10t＋10＝0 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解， 则：Δ＝102－20a≤0， 解得：a≥5 m/s2. 汽车的加速度大小至少为5 m/s2. (2)设自行车加速度为a′，同理可得： x汽′＝x自′＋d′ x自′＝v自t＋t2 整理得：(a′＋2)t2－10t＋10＝0 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解， 则：Δ′＝102－20a′－80≤0 解得：a′≥1 m/s2. 自行车的加速度大小至少为1 m/s2. [典例2·对匀变速追匀变速的考查](2023·湖南长沙市南雅中学检测)现有A、B两列火车在同一轨道上同向匀速行驶，A车在前，其速度 vA＝10 m/s，B车速度vB＝40 m/s。因大雾能见度低，B车在距A车d＝900 m时才发现前方有A车，此时B车立即刹车，但B车要减速2 000 m才能够停止。 (1)B车刹车后减速运动的加速度多大？ (2)B车刹车t1＝20 s后，两车距离多少？ (3)B车刹车t2＝30 s后，A车开始匀加速，则至少以多大加速度aA加速前进才能避免事故？ 答案　(1)0.4 m/s2　(2)380 m　(3)0.5 m/s2 解析　(1)设B车减速运动的加速度大小为a2， 则有0－vB2＝－2a2x1 解得a2＝＝ m/s2＝0.4 m/s2 (2)设B车从刹车到停止的时间为t′，则t′＝＝ s＝100 s B车刹车t1＝20 s运动的位移为 x1＝vBt1－a2t12＝720 m B车刹车t1＝20 s，A车运动的位移大小 x2＝vAt1＝10×20 m＝200 m B车刹车t1＝20 s后，两车的距离Δx＝d＋x2－x1＝900 m＋200 m－720 m＝380 m (3)B车刹车t2＝30 s后，B车运动的速度 vB′＝vB－a2t2＝40 m/s－0.4×30 m/s＝28 m/s B车运动的位移x3＝vBt2－a2t22＝1 020 m A车运动的位移x4＝vAt2＝300 m A、B两车的距离为d′＝d＋x4－x3＝180 m 为保证两车恰好不相撞，则B车追上A车时两车速度恰好相等 设B车减速t秒时两车的速度相同，有 vB′－a2t＝vA＋aAt，xA＝vAt＋aAt2 xB＝vB′t－a2t2，xB－xA＝d′ 解得aA＝＝0.5 m/s2. [拓展训练](多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是(　　) A. B．v0Δt C.(＋) D.(－) 答案　AD 解析　前车减速到零所需时间为：t1＝，减速通过的位移为：x1＝，后车在Δt时间内通过的位移为x′＝v0Δt，后车减速到零经历的时间为：t2＝，减速通过的位移为：x2＝，由于两车同时停下且没有发生碰撞，故t1－Δt＝t2，x′＋x2＝x1＋s0，联立解得，在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是：s0＝或(－)，故A、D正确，B、C错误． [典例3·对图像中的追及相遇问题的考查](2024·山东德州市月考)物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为v0＝30 m/s，A车在前、B车在后，两车相距100 m，其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　) A．t＝3 s时两车间距离为25 m B．3～9 s内，A车的加速度大于B车的加速度 C．两车最近距离为10 m D．0～9 s内两车相遇一次 答案　C 解析　在0～3 s内A车做匀减速运动，A车减速到零所需时间tA＝＝3 s，故在t＝3 s时A车减速到零，A车前进的位移为xA＝tA＝45 m，B车前进的位移为xB＝v0tA＝90 m，t＝3 s时两车间距离为Δx＝d＋xA－xB＝55 m，故A错误；由题图可知在3～9 s内A车的加速度为aA2＝5 m/s2，在v－t图像中，图像的斜率表示加速度，则aB＝＝－5 m/s2，故A、B两车的加速度大小相等，故B错误；t＝3 s后，A车开始由静止做匀加速运动，B车开始做匀减速运动，3～9 s的过程中，设经历时间t两者速度相同，则v共＝aA2t＝v0＋aBt，解得t＝3 s，v共＝15 m/s，A车在t＝3 s内前进的位移为x1＝t＝22.5 m，B车前进的位移为x2＝t＝67.5 m，故此时两车相距的最小距离为Δxmin＝Δx＋x1－x2＝10 m，此后A车的速度大于B车的速度，两者间的距离开始增大，故不可能相遇，故C正确，D错误。 [拓展训练](2023·四川南充市模拟)某车型在红绿灯停启、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等方面都能无干预自动驾驶．某次试乘时，甲、乙两车同时并排出发，沿着同一平直路面行驶，它们的速度v随时间t变化的图像如图所示．则下列说法中正确的是(　　) A．t1～t2时间内，甲、乙两车的加速度不可能相同 B．t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离始终增大 C．t1～t2时间内，甲、乙两车相遇两次 D．t1～t2时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度 答案　D 解析　由于v－t图像的斜率表示加速度，则由题图可看出，图线甲的斜率先减小后反向增大，存在某一时刻图线甲的斜率与图线乙的斜率相同，故在t1～t2时间内，存在甲、乙两车加速度相同的时刻，A错误；由题图可看出在0 ～ t1时间内，乙的速度一直大于甲的速度，又根据题知甲、乙两车同时从同一位置出发，则二者距离先增大，且在t1时刻乙在甲前面，t1后甲的速度大于乙的速度，则二者越来越近，最后相遇，但甲的速度依然大于乙的速度，则二者的距离再增大，到t2时甲在乙前面，故在t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离先减小后增大，甲、乙两车相遇一次，B、C错误；根据平均速度的计算公式有＝，由于v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则在t1～t2时间内，x甲 > x乙，则甲车的平均速度大于乙车的平均速度，D正确． 课时作业练 基础对点练 1.(2023·山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间(x－t)或速度－时间(v－t)图像，t1时刻两车恰好到达同一地点．关于两车在t1～t2时间内的运动，下列说法正确的是(　　) A．若是x－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大 B．若是x－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小 C．若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小 D．若是v－t图像，则两车间的距离不断增大 答案　D 解析　若是x－t图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错误；若是v－t图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t1～t2时间内，两车间的距离不断增大，故C错误，D正确． 2.(2024·常州·期中)甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置，此时甲的速度为5 m/s，乙的速度为10 m/s，甲车的加速度大小恒为1.2 m/s2.以此时作为计时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知(　　) A．乙车做加速度先增大后减小的变加速运动 B．在前4 s的时间内，甲车的位移为29.6 m C．在t＝4 s时，甲车追上乙车 D．在t＝10 s时，乙车又回到起始位置 答案　B 解析　v－t图像的斜率表示物体的加速度，由题图可知，乙车的加速度先减小后增大，最后再减小，故A错误；在前4 s的时间内，甲车的位移为x＝v0t＋at2＝5×4 m＋×1.2×16 m＝29.6 m，故B正确；在t＝4 s时，两车的速度相同，但经过的位移不同，故两车没有相遇，故C错误；在0～10 s内，乙车速度一直为正，乙车一直沿正方向运动，故乙车没有回到起始位置，故D错误． 3.一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是(　　) A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故 B．在t＝3 s时发生追尾事故 C．在t＝5 s时发生追尾事故 D．若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10 m 答案　B 解析　根据速度—时间图线与坐标轴所围“面积”表示位移，由题图知，t＝3 s时大卡车的位移为：xb＝vbt＝10×3 m＝30 m．小汽车的位移为：xa＝×(30＋20)×1 m＋×(20＋15)× 2 m＝60 m，则：xa－xb＝30 m，所以在t＝3 s时发生追尾事故，故B正确，A、C错误；若紧急刹车时两车相距40 m，由v－t图线可知在t＝5 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移：Δx＝×(20＋10)×1 m＋×10×4 m＝35 m<40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距Δs＝x0－Δx＝5 m，故D错误． 4.(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，它们的v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　) A．在t＝1 s时，甲车在乙车后 B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案　BD 解析　因v－t图像与坐标轴围成的面积等于位移，根据v－t图像可知在1～3 s内两车位移相等，可以判断在t＝1 s时，甲、乙车并排行驶，故A、C错误；在t＝0时，甲车在乙车前的Δx＝ m＝7.5 m处，故B正确；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离也就是从第1 s末到第3 s末两车运动的位移Δx′＝ m＝40 m，故D正确． 5.(多选)如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速 54 km/h。当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图乙所示，0～5 s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是(　　) A．A车运动的加速度大小为1 m/s2 B．t＝3.5 s时，两车的速度相同 C．A车追上B车的最短时间为7.2 s D．两车相遇两次 答案　BC 解析　由匀变速直线运动规律可知x＝v0t＋at2，由题图乙可知当t＝2 s时x＝10 m，当t＝ 5 s时x＝40 m，解得v0＝3 m/s，a＝2 m/s2，故A错误；由题图乙可知B车匀速运动的速度vB＝ m/s＝10 m/s，由匀变速直线运动规律可得vA＝v0＋at＝vB，解得t＝3.5 s，故B正确；A车加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s后做匀速运动，追上B车的时间最短，由vmax＝v0＋at0，可知A车的加速时间t0＝6 s，A车追上B车满足vBt＝v0t0＋at02＋vmax(t－t0)，解得t＝7.2 s，此后A车速度大于B车，不会再相遇，故C正确，D错误。 6.汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，刹车后40 s停下来．现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即刹车，则： (1)求汽车刹车时的加速度大小； (2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 答案　(1)0.5 m/s2　(2)不会相撞　4 m 解析　(1)汽车刹车时加速度大小a＝＝0.5 m/s2 (2)当汽车减速到与货车共速时t0＝＝28 s 汽车运动的位移x1＝＝364 m 此时间内货车运动的位移为x2＝vBt0＝168 m Δx＝x1－x2＝196 m＜200 m，所以两车不会相撞． 此时两车相距最近，最近距离Δs＝x0－Δx＝200 m－196 m＝4 m. 7.(2023·江西赣州市高三模拟)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道．如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响． (1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞． (2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车． 答案　(1) m/s2　(2)见解析 解析　(1)A车减速到与B车同速时，若恰未与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历的时间为t，则A车位移xA＝t① B车位移xB＝vBt② xA－xB＝s0③ 由①②③式联立解得t＝ s 则A车与B车不相碰，刹车时的最小加速度 amin＝＝ m/s2＝ m/s2. (2)设A车加速t′时间后车尾到达B车车头，则s0＋2L＝vAt′＋at′2－vBt′，解得t′＝2 s 在此时间内，A车向前运动了xA1＝vAt′＋at′2 计算可得xA1＝20 m>s＝16 m，说明在离并道对接口16 m的距离上以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超车． 8.甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动，甲的初速度为6 m/s，由于摩擦做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2；乙做初速度为零，加速度为1 m/s2的匀加速直线运动．求： (1)甲物体能运动多远？ (2)乙经多长时间追上甲？ (3)乙追上甲之前两物体的最大距离是多少？ 答案　(1)9 m　(2)4.2 s　(3)6 m 解析　(1)甲做匀减速直线运动直至停止， 由v甲2＝2a甲x甲，得x甲＝＝9 m. (2)甲的运动时间为：t＝＝3 s 此过程中乙的位移：x乙＝a乙t2＝×1 m/s2×(3 s)2＝4.5 m<9 m 说明甲停止后，过一段时间乙才追上甲 所以乙追上甲所用时间： t乙＝＝≈4.2 s. (3)当甲、乙的速度相等时，二者距离最大， 即a乙t′＝v甲－a甲t′，得：t′＝2 s 在这2 s内，甲的位移： x甲′＝v甲t′－a甲t′2＝8 m 乙的位移：x乙′＝a乙t′2＝2 m 二者间的最大距离：Δx＝x甲′－x乙′＝6 m. 9.货车A正在该公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有64 m. (1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间； (2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度a2至少多大才能避免事故发生．(这段公路很窄，无法靠边让道) 答案　(1)相撞　4 s　(2)1.125 m/s2 解析　(1)当两车速度相同时，所用时间为t0＝＝10 s，在此10 s内A车的位移为xA＝vAt0＝20×10 m＝200 m， B车的位移为xB＝at02＝×2×102 m＝100 m，此时A、B两车间的位移差为Δx＝xA－xB＝100 m＞64 m，所以两车必定相撞；设两车相撞的时间为t，则相撞时有vAt－at2＝64 m，代入数据解得t＝4 s(另一值不合题意舍去) 所以A车撞上B车的时间为4 s； (2)已知A车的加速度aA＝－2 m/s2，初速度vA＝20 m/s；B车的加速度为a2，设B车运动经过时间为t′时，两车相遇，则有vAt′＋aAt′2＝a2t′2＋L，代入数据有(1+)t′2－20t′＋64＝0，要避免相撞，则上式无实数解，根据数学关系知a2＞1.125 m/s2，所以B的加速度的最小值为1.125 m/s2. 10.(2022·安徽·阶段)一辆值勤的警车停在公路边，当交警发现从他旁边以v1＝36 km/h的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定立即前去追赶，经过t0＝5.5 s后警车发动起来，并以a＝2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度不能超过vm＝90 km/h.问： (1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ (2)警车发动后最快要多长时间才能追上货车？ 答案　(1)75 m　(2)12 s 解析　(1)货车的速度为v1＝36 km/h＝10 m/s 警车所不能超过的速度为v m＝90 km/h＝25 m/s 警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．则t1＝＝ s＝4 s x货＝(5.5＋4)×10 m＝95 m x警＝at12＝×2.5×42 m＝20 m 所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75 m (2)当警车刚达到最大速度时，运动时间 t2＝＝ s＝10 s x货′＝(5.5＋10)×10 m＝155 m x警′＝at22＝×2.5×102 m＝125 m 因为x货′＞x警′，故此时警车尚未追上货车，且此时两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30 m 警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追赶上货车，则Δt＝＝2 s， 所以警车发动后最快追上货车的时间为t＝t2＋Δt＝12 s. 能力提升练 11.如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒．在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0 m处向乙发出起跑口令．已知接力区的长度为L＝20 m. (1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离； (2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？ (3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？ 答案　(1)6 m　(2)16.7 m　(3)2 s 解析　(1)设乙加速到交接棒处时运动时间为t， 则在甲追及乙过程中有：s0＋at2＝vt 代入数据得：t1＝2 s，t2≈4.67 s(大于乙加速最长时间tm＝＝ s，故舍去) 此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x＝at12＝6 m (2)乙加速时间为：t乙＝＝ s 设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令 则在甲追及乙过程中有：s＋vt乙＝vt乙 代入数据得：s≈16.7 m (3)棒在(2)情形下以v＝10 m/s的速度运动， 所以有：t′＝＝2 s. 12.(2023·湖南·模拟)甲、乙两辆汽车同时同地出发，沿同方向做直线运动，两车速度的平方v2随位移x的变化关系图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时，甲车的位移为8 m B．汽车甲的加速度大小为4 m/s2 C．汽车甲、乙在t＝4 s时相遇 D．汽车甲、乙在x＝6 m处的速度大小为3 m/s 答案　A 解析　根据v2－v02＝2ax并根据题给图像可推知甲、乙两车的初速度大小分别为v0甲＝6 m/s，v0乙＝0，v2－x图像的斜率的绝对值表示汽车加速度大小的2倍，所以甲、乙两车的加速度大小分别为a甲＝2 m/s2，a乙＝1 m/s2，且甲做匀减速直线运动，乙做匀加速直线运动，故B错误；汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时二者速度相同，设共经历时间为t1，则a乙t1＝v0甲－a甲t1，解得t1＝2 s，此时甲车的位移为x甲＝v0甲t1－a甲t12＝8 m，故A正确；甲车总运动时间为t2＝＝3 s，甲停下时位移为9 m，而此时乙车的位移为x乙＝a乙t22＝ m<9 m，所以甲、乙两车相遇一定发生在甲车停下之后，设相遇时刻为t，则有a乙t2＝9 m，解得t＝3 s，故C错误；汽车甲、乙在x＝6 m处的速度大小为v＝＝＝2 m/s，故D错误． 尖子选拔练 13.(2024·黑龙江哈尔滨市第三中学检测)如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形。图中A车车长 LA＝4 m，B车车长 LB＝6 m，两车车头相距L＝26 m时，B车正以vB＝10 m/s的速度匀速行驶，A车正以vA＝15 m/s的速度借道超车，此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C正好迎面驶来，其速度为vC＝8 m/s，C车车头和B车车头之间相距d＝94 m，现在A车司机有两个选择，一是放弃超车，驶回与B相同的车道，而后减速行驶；二是加速超车，在B与C相遇之前超过B车，不考虑变道过程的时间和速度的变化。 (1)若A车选择放弃超车，回到B车所在车道，则A车至少应该以多大的加速度匀减速刹车，才能避免与B车相撞； (2)若A车选择加速超车，求A车能够安全超车的加速度至少多大； (3)若A车选择超车，但因某种原因并未加速，C车司机在图示位置做出反应(不计反应时间)，则C车减速的加速度至少多大才能保证A车安全超车。 答案　(1) m/s2　(2) m/s2　(3)1 m/s2 解析　(1)若A车选择放弃超车， 回到B车所在车道，当两车速度相同时，A恰好追上B，此时A加速度最小，根据运动学公式有vA－a1t1＝vB vAt1－a1t12＝vBt1＋L－LB 联立解得A车的最小加速度为a1＝ m/s2 (2)A车加速超车最长时间为 t2＝＝ s＝5 s A车安全超车，根据运动学公式有 vAt2＋a2t22＝vBt2＋L＋LA， 解得A车能够安全超车的加速度至少为 a2＝ m/s2 (3)C车做匀减速运动最长时间为 t3＝＝ s＝6 s A车安全超车，根据运动学公式有 vAt3＋vCt3－a3t32＝d＋L 解得C车减速的最小加速度为a3＝1 m/s2。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$