暑假作业09 成对数据的统计分析（线性回归模型与独立性检验）-【暑假分层作业】2024年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

完成时间： 月 日 天气： 作业09 成对数据的统计分析（线性回归模型与独立性检验） 1．两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程 方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数． 3．回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心． (3)相关系数 当r>0时，表明两个变量正相关； 当r<0时，表明两个变量负相关． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 4．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量． (3)独立性检验 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． 当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联； 当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联； 当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联； 当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联． 一、单选题 1．根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（    ） A．2.6 B．2.3 C．1.8 D．1.5 2．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表： -2 -1 1 2 3 24 36 40 48 56 且回归方程为，则当时，的预测值为（    ） A．59.5 B．60.5 C．61.5 D．62.5 3．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（    ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 4．给定两个随机变量和的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则表中值为（    ） 1 2 3 4 5 2 4 7 8 A．3 B．4 C．5 D．6 5．假设有两个分类变量和的列联表如下：注：的观测值.对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是（ ）     总计 a 10 a+10 c 30 总计 A． B． C． D． 二、多选题 6．两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，，，，则下列说法正确的是（    ） A．若相关系数，则两个变量负相关 B．相关系数r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 C．决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D．决定系数越小，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 7．某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病真否有关，调查了400人，得到如图所示的列联表，其中，则（    ） 患疾病 不患疾病 合计 过量饮酒 不过量饮酒 合计 400 参考公式与临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．任意一人不患疾病的概率为0.9 B．任意一人不过量饮酒的概率为 C．任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为 D．依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关 8．已知之间的回归直线方程为，且变量的数据如表所示，则下列说法正确的是（    ） 6 8 10 12 6 3 2 A．变量之间呈负相关关系 B．的值等于5 C．变量之间的相关系数 D．该回归直线必过点 三、填空题 9．以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 ， ． 10．为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关．已知被调查的男、女学生的总人数为，则 ． 附：．临界值表： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 四、解答题 11．甲、乙两个车间生产同一种产品，为了解这两个车间的产品质量情况，随机抽查了两个车间生产的80件产品，得到下面列联表： 非特等品件数 特等品件数 甲车间 32 8 乙车间 35 5 (1)根据上表，分别估计这两个车间生产的产品的特等品率； (2)依据小概率值的独立性检验，能否推断两个车间生产的产品特等品率有差异?并对（1）的结果作出解释. 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 12．浙江省教育厅等五部门印发《浙江省山区26县和海岛县“县中崛起”行动计划》，从招生管理、县中对口帮扶、教科研指导等九方面提升共同富裕背景下教育公共服务的质量和水平.某校为增强实力，大力招揽名师、建设校园设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 招生人数/千人 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； (2)求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：． 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 1．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 2．（多选）某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到经验回归方程为. 则（    ） A． B．y与x的样本相关系数 C．表中维修费用的第60百分位数为6 D．该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 3．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 附： P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 4．光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 (1)试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ (2)①数学组的章老师打算从这10个同学中，按照这次测试数学的等第是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3个人，并仔细考查这3个人的答题情况．设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为，求的分布列及数学期望； ②如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取． 若，则，． ． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 5．乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 56 女 24 总计 100 (1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？ (2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 1．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 2．2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料､采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进､具有新技术､新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的100位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据： 单位：人 性别 购车种类 合计 新能源汽车 传统燃油汽车 男 20 女 50 合计 30 100 (1)补全上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关； (2)已知该车企的A型号新能源汽车有红､白､黑､蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一辆A型号新能源汽车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数为，求的分布列与数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 3．已知某水果种植基地苹果的种植面积（单位：公顷）与其产量（单位：吨）呈线性相关关系，小王准备承包一块苹果种植地，为了解市场行情，在该基地调查了5家果农，统计得到了苹果种植面积与其产量的数据如表所示： 种植面积/公顷 1 2 3 4 5 产量/吨 20 38 64 78 100 (1)求关于的线性回归方程； (2)若苹果的销量等于产量，且所种苹果的总利润（单位：千元）满足，苹果种植面积，请根据（1）的结果预测要使得单位面积的苹果利润最大，小王应该种植多少公顷的苹果？ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 1．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 2．（2022·全国·高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 3．（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 对照组 试验组 （ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 4．（2022·全国·高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数． 5．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 成对数据的统计分析（线性回归模型与独立性检验） 1．两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程 方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数． 3．回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心． (3)相关系数 当r>0时，表明两个变量正相关； 当r<0时，表明两个变量负相关． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 4．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量． (3)独立性检验 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． 当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联； 当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联； 当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联； 当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联． 一、单选题 1．根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（    ） A．2.6 B．2.3 C．1.8 D．1.5 【答案】A 【分析】根据回归直线过样本中心点可求. 【详解】将代入回归直线方程， 可得． 故选：A. 2．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表： -2 -1 1 2 3 24 36 40 48 56 且回归方程为，则当时，的预测值为（    ） A．59.5 B．60.5 C．61.5 D．62.5 【答案】A 【分析】计算，由回归直线经过样本中心点，列方程求出，再预报时的预测值. 【详解】，， 因为回归直线经过点， 所以 所以， 故当时的预测值为. 故选：A. 3．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（    ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】A 【分析】根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断. 【详解】依题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 篮球迷 30 15 45 非篮球迷 45 10 55 合计 75 25 100 所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关， 又，所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关. 故选：A 4．给定两个随机变量和的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则表中值为（    ） 1 2 3 4 5 2 4 7 8 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求变量的平均值，结合回归方程的性质可得. 【详解】由已知，， 因为点在回归直线上， 所以，所以， 故选：B. 5．假设有两个分类变量和的列联表如下：注：的观测值.对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是（ ）     总计 a 10 a+10 c 30 总计 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当一定时，相差越大，与相差越大，的观测值就越大，得出分类变量和有关系的可能性越大. 【详解】根据独立性检验的方法和列联表可得，当与相差越大，则分类变量和有关系的可能性越大， 即相差越大，与相差越大． 由各选项可得A满足条件， 故选：A． 二、多选题 6．两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，，，，则下列说法正确的是（    ） A．若相关系数，则两个变量负相关 B．相关系数r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 C．决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D．决定系数越小，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 【答案】AC 【分析】根据相关系数的概念可判定AB，根据决定系数的概念可判定CD. 【详解】对于A：因为r的符号反映相关关系的正负性，故A正确； 对于B：根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故B错误； 对于C：决定系数越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确，D错误． 故选：AC． 7．某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病真否有关，调查了400人，得到如图所示的列联表，其中，则（    ） 患疾病 不患疾病 合计 过量饮酒 不过量饮酒 合计 400 参考公式与临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．任意一人不患疾病的概率为0.9 B．任意一人不过量饮酒的概率为 C．任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为 D．依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关 【答案】ACD 【分析】先求出，利用古典概型概率公式求解判断AB，利用条件概率概念求解判断C，求出的观测值，即可判断D. 【详解】由已知得，又，所以. 任意一人不患疾病的概率为，所以A正确； 任意一人不过量饮酒的概率为，所以B错误； 任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为，所以C正确； 对于D，列联表如下： 患疾病 不患疾病 合计 过量饮酒 30 120 150 不过量饮酒 10 240 250 合计 40 360 400 则的观测值，由于， 依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关，所以D正确. 故选：ACD 8．已知之间的回归直线方程为，且变量的数据如表所示，则下列说法正确的是（    ） 6 8 10 12 6 3 2 A．变量之间呈负相关关系 B．的值等于5 C．变量之间的相关系数 D．该回归直线必过点 【答案】ABD 【分析】对于A，由正负可进行判断，根据回归方程过样本中心点可判断BD，根据相关系数公式计算即可判断C. 【详解】因为，所以，变量之间呈负相关关系，故A对； 由题意，， 所以样本中心为，代入回归方程得，样本中心为，故B、D对； 由题相关系数， 故C错. 故选：ABD. 三、填空题 9．以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 ， ． 【答案】 3 【分析】利用对数的运算法则结合回归方程求解即可. 【详解】因为，所以＝， 令，则， 又因为，所以，则． 故答案为：. 10．为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关．已知被调查的男、女学生的总人数为，则 ． 附：．临界值表： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】5或6/6或5 【分析】由题意，写出列联表，根据独立性检验的公式，结合题意列出不等式，可得答案. 【详解】设男、女学生的总人数为，则，并把列联表的数据补充完整： 喜欢 不喜欢 合计 男生 0.8n 0.2n n 女生 0.6n 0.4n n 合计 1.4n 0.6n 2n 所以， 又因为有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关， 所以， 又，所以， 所以或， 故答案为：5或6. 四、解答题 11．甲、乙两个车间生产同一种产品，为了解这两个车间的产品质量情况，随机抽查了两个车间生产的80件产品，得到下面列联表： 非特等品件数 特等品件数 甲车间 32 8 乙车间 35 5 (1)根据上表，分别估计这两个车间生产的产品的特等品率； (2)依据小概率值的独立性检验，能否推断两个车间生产的产品特等品率有差异?并对（1）的结果作出解释. 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)甲车间的特等品率约为，乙车间的特等品率约为， (2)认为两车间生产的产品特等品率没有差异 【分析】（1）由频数和总数可计算得到频率； （2）计算可得，由此可得结论. 【详解】（1）根据表中数据，甲车间共抽查40件产品，其中特等品8件， 乙车间共抽查40件产品，其中特等品5件， 由此估计甲车间的特等品率约为， 乙车间的特等品率约为， （2）列联表 非特等品件数 特等品件数 合计 甲车间 32 8 40 乙车间 35 5 40 合计 67 13 80 零假设为：两车间生产的产品特等品率没有差异 根据表中数据， 依据小概率值的独立性检验，没有充分的证明推断不成立， 因此可以认为成立，即认为两车间生产的产品特等品率没有差异. 依据（1）的结果两车间生产的产品特等品率是有差异的， 这个差异很有可能是由样本的随机性导致的， 因此，只根据频率的差异得出两车间生产的产品特等品率有差异的结论是不可靠的， 用的独立性检验得到的结果更理性，更全面，理论依据也更充分. 12．浙江省教育厅等五部门印发《浙江省山区26县和海岛县“县中崛起”行动计划》，从招生管理、县中对口帮扶、教科研指导等九方面提升共同富裕背景下教育公共服务的质量和水平.某校为增强实力，大力招揽名师、建设校园设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 招生人数/千人 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； (2)求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：． 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【答案】(1)证明见解析 (2)，预测当年份序号为7时该校的招生人数为4.5千人 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可下结论； （2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解. 【详解】（1）由，， ， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． （2）， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为4.5千人 1．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 【答案】BCD 【分析】根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D. 【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误； 对B：，则其第80百分位数是，故B正确； 对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确； 对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设， 则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确. 故选：BCD. 2．（多选）某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到经验回归方程为. 则（    ） A． B．y与x的样本相关系数 C．表中维修费用的第60百分位数为6 D．该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 【答案】ABC 【分析】对A，计算出样本中心，代入方程计算出，对B，根据相关系数的概念可判断，对C，根据百分位数的定义求解，对D，根据回归分析概念判断. 【详解】根据题意可得，，， 所以样本中心点为， 对于A，将样本中心点代入回归方程，可得，故A正确； 对于B，由表中数据可得随着增大而增大，与正相关，所以相关系数，故B正确； 对于C，维修费用从小到大依次为，第60百分位数为，故C正确； 对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为 10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误. 故选：ABC. 3．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 附： P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 【答案】C 【分析】根据题中条件计算可判断选项A、B；根据列联表计算出的值，即可判断选项C,D. 【详解】由题意知，成绩优秀的学生数是， 成绩非优秀的学生数是75，所以， 选项A、B错误； 根据列联表中的数据， 得到 因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”. 故C正确，D错误， 故选：C. 4．光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 (1)试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ (2)①数学组的章老师打算从这10个同学中，按照这次测试数学的等第是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3个人，并仔细考查这3个人的答题情况．设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为，求的分布列及数学期望； ②如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取． 若，则，． ． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】(1)答案见解析 (2)①分布列见解析，；② 【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析； （2）①根据题意结合超几何分布求分布列和期望；②根据题意求平均数和方差，结合正态分布求，进而利用对立事件分析求解. 【详解】（1）由题意可得：列联表为 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 零假设：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关， 可得， 依据小概率值的独立性检验，可以推断成立， 即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关. （2）由题意可知：抽取的5人中数学等第优秀的有3人，非优秀的有2人， 则的可能取值为1，2，3，可得： ， 所以的分布列为 1 2 3 的期望； 由题意可得：物理成绩的平均分为（分）； 方差， 结合题意可知：，即，则， 可得， 记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A， 可得， 所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为. 5．乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 56 女 24 总计 100 (1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？ (2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关； (2)分布列见解析， 【分析】（1）由的公式可求值，根据表格可判断有关； （2）由分层抽样确定男女生人数，根据X的取值分别求得概率，列分布列求期望即可. 【详解】（1）依题意可得列联表如下： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 16 56 女 20 24 44 总计 60 40 100 零假设为：是否为“乒乓球爱好者”与性别无关联， 则，   我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关. （2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生.   则X的可能取值为0、1、2、3， 所以，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以. 1．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的m取值范围得最小值. 【详解】根据题意，写出列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 3m 3m 6m 女 4m 2m 6m 合计 7m 5m 12m 则． 因为有的把握认为喜欢短视频和性别相关联， 所以，解得，所以的最小值为20 故选：B 2．2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料､采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进､具有新技术､新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的100位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据： 单位：人 性别 购车种类 合计 新能源汽车 传统燃油汽车 男 20 女 50 合计 30 100 (1)补全上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关； (2)已知该车企的A型号新能源汽车有红､白､黑､蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一辆A型号新能源汽车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数为，求的分布列与数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关； (2)分布列见解析，. 【分析】 （1）完善列联表，计算的观测值，再与临界值比对即得. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【详解】（1）列联表如下（单位：人）： 性别 购车种类 合计 新能源汽车 传统燃油汽车 男 20 20 40 女 50 10 60 合计 70 30 100 设零假设：购车种类与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即购车种类与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）依题意，的可能取值为， ， 所以的分布列为 0 2 3 数学期望. 3．已知某水果种植基地苹果的种植面积（单位：公顷）与其产量（单位：吨）呈线性相关关系，小王准备承包一块苹果种植地，为了解市场行情，在该基地调查了5家果农，统计得到了苹果种植面积与其产量的数据如表所示： 种植面积/公顷 1 2 3 4 5 产量/吨 20 38 64 78 100 (1)求关于的线性回归方程； (2)若苹果的销量等于产量，且所种苹果的总利润（单位：千元）满足，苹果种植面积，请根据（1）的结果预测要使得单位面积的苹果利润最大，小王应该种植多少公顷的苹果？ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据题中数据和公式分析求解即可； （2）根据（1）的结果整理可得，结合二次函数分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， ， ， 则， 所以关于的线性回归方程为. （2）由题意可知：单位面积的苹果利润为， 因为， 可知当，即时，单位面积的苹果利润取到最大值181千元/公顷， 所以小王应该种植10公顷的苹果. 1．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】C 【分析】根据散点图的特点及经验回归方程可判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项. 【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误， 把代入可得，C选项正确； 由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误 故选：C 2．（2022·全国·高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为， (2)有 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论. 【详解】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次， 设A家公司长途客车准点事件为M， 则； B共有班次240次，准点班次有210次， 设B家公司长途客车准点事件为N， 则. A家公司长途客车准点的概率为； B家公司长途客车准点的概率为. （2）列联表 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 =， 根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 3．（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 对照组 试验组 （ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)（i）；列联表见解析，（ii）能 【分析】（1）直接根据均值定义求解； （2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表； （ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【详解】（1）试验组样本平均数为： （2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数， 由原数据可得第11位数据为，后续依次为， 故第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 4．（2022·全国·高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值； （3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值． 【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为， 平均一棵的材积量为 （2） 则 （3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得，解之得． 则该林区这种树木的总材积量估计为 5．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；(ii)； 【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求. 【详解】（1）由已知， 又，， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因为， 所以 所以， (ii) 由已知，， 又，， 所以 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$