高一数学期末模拟卷01（新高考地区专用，测试范围：人教A版2019必修第二册全部）-学易金卷：2023-2024学年高中下学期期末模拟考试

2023-2024学年高一数学期末模拟卷 全解全析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义解出，利用复数的几何意义求解． 【详解】复数为纯虚数，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第一象限． 故选：A． 2．对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据事件之间的关系与运算对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确； 对于选项C，由题意知C正确； 对于选项D，由于＝D＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件； 而为必然事件，所以，故D不正确． 故选：D. 3．已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义、数量的运算律，结合垂直关系的向量表示求解即得. 【详解】依题意，，由，得， 所以. 故选：C 4．若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 【答案】B 【分析】利用平均数、方差的定义，逐项计算判断作答. 【详解】依题意，，， 对于A，，A正确； 对于B，依题意，，所以数据的方差为： ，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由， 解得，D正确. 故选：B 5．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律求出、、，即可求出、、，再根据夹角公式计算可得. 【详解】由题意得，则有，解得， 又由，则有，解得， 同理可得， 所以， ， ， 所以. 故选：A 6．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为与为互斥事件，故， 所以 ，故，故. 故选：A 7．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 8．在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，作图，分别求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案. 【详解】因为球的半径为2，所以球不与侧而及侧面相交， 连接．由题得，．所以， 所以球与侧面交于点，，与侧面交于点，． 在正六边形中，易得，因为平面，平面． 所以，又，平面， 所以平面，即平面，且，又，． 所以球与侧面的交线为以为直径的半圆，同理可得球与侧面的交线为以为直径的半圆． 由题易得，则球与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆． 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为． 故选：D．    【点睛】关键点点睛：根据球的半径为2，判断球只与侧而及侧面，上底面及下底面相交. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D. 【详解】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 故选：BCD 10．如图，已知直三棱柱的所有棱长均为3，分别在棱，上，且分别为的中点，则（    ） A．平面 B．若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为 C．若，过三点的平面截三棱柱所得截面的面积为 D．过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条 【答案】BC 【分析】根据线面平行的定义判断A；求出点P关于平面和的对称点的距离判断B；计算截面面积判断C；找出与过点A且与直线和BC所成的角都为的直线条数判断D. 【详解】直三棱柱的所有棱长均为3， 对于A，由，得， 显然构成一个平面，连接DF，EG，和， 正方形中，，设，显然≌， 则，即为的中点，于是，即为DF的中点， 同理设，则为EG的中点，因此是中位线， 由为中线，得P为中点，因为平面FGED， 因此平面FGED，即平面PFG与平面FGED为同一个平面，则DE在平面PFG内，A错误； 对于B，显然平面与平面所成锐二面角大小为， 计算可得点H到平面和的距离，由选项A知，是的中点， 则点P到平面和的距离，令点P关于平面和的对称点分别为，， 则当M，N分别取直线与平面和的交点时，的周长最短， 由，得， 所以周长的最小值为，B正确； 对于C，由选项A知，D，E在过P，F，G三点的平面内，截面为四边形FGED， ，则截面面积为，C正确； 对于D，显然，过点A作BC的平行线，则， 与成的所有直线构成以A为顶点的两个对顶圆锥（为轴）， 同理与成的所有直线构成以A为顶点两个对顶圆锥（为轴）， 而与所成角，因此圆锥面上公共直线共有两条， 所以过点A且与直线和BC所成的角都为的直线有2条，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 【答案】 【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率估计即可. 【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这50名学生成绩的分位数为分． 故答案为： 13．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案为：. 14．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则 ，四边形的面积为 ． 【答案】 2 【分析】根据题意作出平面即平面，取中点，利用和可求得的值；通过线面平行的性质得到，，推理得到，故可间接法求得四边形的面积. 【详解】 如图，过点作的平行线分别交的延长线于点， 易知分别为的中点．连接，分别交于点，则平面即平面． 取的中点，因是正方形，则连接，则， 易得，则，所以，所以． 连接，因为，平面平面，平面，所以， 所以，， 由图易得,由可得，由得,从而， 由可得为的中点. 由可得,,, 因, 故四边形的面积． 故答案为：2；. 【点睛】思路点睛：本题主要考查棱锥的截面位置和面积问题，属于难题. 解题思路在于正确理解题意，作出合理的截面，充分利用平行与垂直的判定、性质定理，借助于相似三角形和三角形之间的面积关系计算即得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意设，结合模长公式即可列式求解参数，进而得解； （2）对已知等式两边平方并化简可得，利用转换法可求的模，根据数量积的运算律可求得与的数量积，结合向量夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为，且，所以可设，， 所以，解得， 所以或．................................................6分 （2）因为，所以，所以， 又，所以，解得， 又，所以， 又， 设与的夹角为，所以， 即与的夹角的余弦值为．..............................................13分 16．（15分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85． (1)求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数； (2)从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少． 【答案】(1)，甲离子残留百分比的中位数为4； (2)0.105. 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中，即可求中位数； （2）先求出组、组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率，由相互独立事件的概率乘法公式求概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可得：且， 解得， 甲离子残留百分比的中位数为.．................................................7分 （2）组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为， 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7， ​​​​​​​所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为.．.........................................15分 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)靠近B的三等分点 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，结合垂直关系的转化，即可正面线面垂直； （2）根据（1）的结果，作出平面与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化，求得点到平面的距离，再根据比例关系，确定点的位置. 【详解】（1）取的中点，连结，则四边形是正方形，    则，，所以，且 所以,所以， 因为平面平面，平面平面，PA在面PAB内， 所以平面；................................................6分 （2）    在上取点，使，连结，在上取点，使， 在上取点，使，连结，则，且，则， 即，且， 则四边形是平行四边形，所以，且，即， 则，所以四点四点共面，连结， ，因为，所以点三点共线，...............................................10分 所以五点共面，即与平面交于点， 由（1）可知，平面，平面， 所以，且，，且平面， 所以平面，平面，所以， 且是等腰直角三角形，点为的中点， 所以，且，平面， 所以平面， , 所以， ，，， 所以，即， 因为，所以， 设点到平面的距离为，则， 即，所以， 因为点是的中点，所以点到平面的距离也是， 若点到平面的距离为，则, 所以存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分点.................................................15分 18．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)若，求的面积； (2)若，求BC． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求得，再结合求解即可 （2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可 【详解】（1）由可得，又故，故................................................6分 （2） 设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，................................................11分 利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故 ...............................................17分 19．（17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①实向量，，根据条件，即可得证； ②因为，由复数的三角不等式，分别计算即可得证； （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出和的值． 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为；................................................3分 （2）①设实向量，， 则，， 而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立；................................................9分 ②因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以．...............................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 2．对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 5．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 8．在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，已知直三棱柱的所有棱长均为3，分别在棱，上，且分别为的中点，则（    ） A．平面 B．若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为 C．若，过三点的平面截三棱柱所得截面的面积为 D．过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条 11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 13．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 14．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则 ，四边形的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求与的夹角的余弦值． 16．（15分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85． (1)求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数； (2)从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少． 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由. 18．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)若，求的面积； (2)若，求BC． 19．（17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2023-2024学年高一数学期末模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题 （ 每小题5分，共 15 分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 四 、解答题（共7 7 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2023-2024学年高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 2．对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 5．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 8．在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，已知直三棱柱的所有棱长均为3，分别在棱，上，且分别为的中点，则（    ） A．平面 B．若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为 C．若，过三点的平面截三棱柱所得截面的面积为 D．过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条 11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 13．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 14．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则 ，四边形的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求与的夹角的余弦值． 16．（15分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85． (1)求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数； (2)从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少． 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由. 18．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)若，求的面积； (2)若，求BC． 19．（17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学期末模拟卷 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C B A A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BCD 10．BC 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为，且，所以可设，， 所以，解得， 所以或．................................................6分 （2）因为，所以，所以， 又，所以，解得， 又，所以， 又， 设与的夹角为，所以， 即与的夹角的余弦值为．..............................................13分 16．（15分） 【详解】（1）由频率分布直方图可得：且， 解得， 甲离子残留百分比的中位数为.．................................................7分 （2）组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为， 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7， ​​​​​​​所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为.．...............................................15分 17．（15分） 【详解】（1）取的中点，连结，则四边形是正方形，    则，，所以，且 所以,所以， 因为平面平面，平面平面，PA在面PAB内， 所以平面；................................................6分 （2）    在上取点，使，连结，在上取点，使， 在上取点，使，连结，则，且，则， 即，且， 则四边形是平行四边形，所以，且，即， 则，所以四点四点共面，连结， ，因为，所以点三点共线，...............................................10分 所以五点共面，即与平面交于点， 由（1）可知，平面，平面， 所以，且，，且平面， 所以平面，平面，所以， 且是等腰直角三角形，点为的中点， 所以，且，平面， 所以平面， , 所以， ，，， 所以，即， 因为，所以， 设点到平面的距离为，则， 即，所以， 因为点是的中点，所以点到平面的距离也是， 若点到平面的距离为，则, 所以存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分点.................................................15分 18．（17分） 【详解】（1）由可得，又故，故................................................6分 （2） 设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，................................................11分 利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故 ...............................................17分 19．（17分） 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为；................................................3分 （2）①设实向量，， 则，， 而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立；................................................9分 ②因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以．...............................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 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