精品解析：青海省西宁市第十四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年度第二学期高一期中考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2. 如图，四边形为平行四边形，，为线段BE的中点，若以，为基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算计算即可求解. 【详解】∵为的中点，∴， ∴， ∵，∴， 则． 故选：C. 3. 已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】求出梯形的面积，再利用斜二测画法直观图与原图形面积关系求解即得. 【详解】梯形中，，而， 则梯形的高， 因此梯形的面积， 而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的， 所以原图形OABC的面积为. 故选：D 4. 化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米． 故选：D． 5. 已知平面向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】， ， ， ，． 故选：B 6. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 7. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则， 所以， 又， 则， 所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故选：C. 8. 在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ，其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A 二、多选题：4小题，每题5分，部分对2分，错选或多选0分，共20分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为45° D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A；利用向量模的坐标求法可判断B；利用向量数量积的坐标运算可判断C；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，， 则，故A正确； ，故B错误； ， 又，所以与的夹角为45°，故C正确； 由，，，故D错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 10. 如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 直线和平行，和相交 B. 直线和平行，和相交 C. 直线和相交，和异面 D. 直线和异面，和异面 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平行线的传递性可判断出直线和平行，利用三角形全等可证得和相交，由异面直线的定义可判断出和异面，即可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 因为、分别为、的中点，则，同理可证， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则，所以，， 延长交直线于点， 因为，则， 又因为，，所以，，所以，， 延长交的延长线于点，同理可证， 因为，所以，，即点、重合， 所以，、相交， 由异面直线的定义结合图形可知，、异面，故B对，ACD均错. 故选：ACD. 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 若为虚数单位，为正整数，则 C. 复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则 D. 若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数、复数运算、纯虚数、复数对应象限、充要条件等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A选项，互为共轭复数，则，即为实数，A选项正确. B选项，，B选项错误. C选项，为纯虚数，所以，C正确. D选项，在第四象限，所以，所以D选项正确. 故选：ACD 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】根据大边对大角，结合角A即可判断A；利用正弦定理边化角，在由二倍角公式化简可得或，可判断B；由为锐角三角形可得，然后由正弦函数的单调性和诱导公式可判断C；由正弦定理可得三边比值，然后由余弦定理求解即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 又，所以，不满足内角和定理， 所以满足条件的三角形不存在，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，即， 因为且，所以或， 即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，若为锐角三角形，则， 所以，所以，即，C正确； 对于D，若，则， 设，则， 因为，所以，即为钝角，D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积等于，则正方体的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先球的体积求出球的半径，再根据正方体的对角线为外接球的直径求出正方体的边长，进而求出正方体的表面积. 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为， 因为球的体积等于，所以， 所以，所以正方体的体对角线为， 所以，所以， 所以正方体的表面积为. 故答案为：. 14. 若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合投影向量的公式，即可求解． 【详解】，为单位向量，且， 则，即，解得， 在方向上的投影向量为：． 故答案为：． 15. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 16. 锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是1，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求出和的关系，求出的范围，求出的范围，根据的面积是1得到，化为：再化简即可求解. 【详解】， 由正弦定理可得：，  即， 化为：， 是锐角三角形，， 解得， ，解得 ，， ，的面积是1， ，化为： 故答案为： 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17题10分，18题至22题各12分，共70分． 17. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可； （2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值. 【小问1详解】 根据题意，， 又. 【小问2详解】 根据题意， ，即，，解得. 18. 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点. 求证：（1）四边形是梯形； （2）∠DNM＝∠D1A1C1. 【答案】 （1）连接， 因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以，， 又因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，且， 所以且， 所以四边形是梯形. （2）由（1）知，又根据正方体的性质可知，，且与的方向相同， 所以根据等角定理可得. 【解析】 【分析】（1）根据直线的平行性的传递性可得且，根据梯形的定义可得结论成立； （2）根据等角定理可证结论成立. 【详解】略 【点睛】本题考查了平行直线的传递性，考查了等角定理，属于基础题. 19. 在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题. 在中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且___________. （1）求角B的大小； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）若选①，则由正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求出角B的大小，若选②，则，由正弦定理统一成角的形式，化简可求出角B的大小，若选③，则，化简后可求出角B的大小， （2）由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，从而可求出周长的最大值 【小问1详解】 若选①，因为， 所以， 所以由正弦定理得， 化简整理得， 所以， 因为， 所以， 若选②，由，得， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为， 所以， 若选③，由，得 ， 所以， 所以， 因为， 所以， 【小问2详解】 因为， 所以由余弦定理得 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为6 20. 如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体． （1）求此旋转体的体积． （2）求此旋转体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，由此能求出旋转体的体积； （2）先求出圆柱的侧面积、底面积，再求出圆锥的侧面积、底面积和旋转体上底面的面积，由此能求出结果. 【小问1详解】 旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥， ， 所以小圆锥的半径， 圆柱的体积 圆锥的体积 旋转体的体积； 【小问2详解】 圆柱的侧面积 圆锥的侧面积 圆柱的底面积， 圆锥的底面积 旋转体上底面的面积 旋转体的表面积. 21. 如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意得，结合即可得解； （2）由，求解即可. 【小问1详解】 在直角三角形中，． ∴，， ， ∵，∴． 【小问2详解】 令，得或（舍）. ∴存在实数，使得． 22. 已知锐角三角形的内角的对边分别为且． （1）求角的大小； （2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将等式中的边化为角，根据和角公式以及同角三角函数的商式公式，可得答案； （2）法1：根据锐角三角形内角的性质，可得角的取值范围，利用正弦定理，用角表示边，将三角形的面积整理为三角函数，可得答案；法2：利用内切圆的性质得到内切圆半径关于角的表达式，利用三角恒等变换，结合锐角三角形内角的性质得到解的范围，从而得解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得， ，， 又，得，所以，即， 由，解得. 【小问2详解】 法1： 由题意可知，设，， ，又，， 在中，由正弦定理可得：． 即：，， ， ，， ， 所以三角形面积的取值范围为． 法2： 设内切圆半径为，由题知，D为内切圆的圆心，由面积公式，得 ，所以①， 在中，由正弦定理可得：． 即：，所以，， 代入①式，结合积化和差，和差化积公式，得 ， 由为锐角三角形，得，解得， 所以 ， ，， ， 所以三角形面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期高一期中考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则 A. B. C. D. 2. 如图，四边形为平行四边形，，为线段BE的中点，若以，为基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 10 4. 化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 已知平面向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：4小题，每题5分，部分对2分，错选或多选0分，共20分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为45° D. 10. 如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 直线和平行，和相交 B. 直线和平行，和相交 C. 直线和相交，和异面 D. 直线和异面，和异面 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 若为虚数单位，为正整数，则 C. 复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则 D. 若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积等于，则正方体的表面积为______． 14. 若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量为______． 15. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 16. 锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是1，则的取值范围是__________． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17题10分，18题至22题各12分，共70分． 17. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 18. 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点. 求证：（1）四边形是梯形； （2）∠DNM＝∠D1A1C1. 19. 在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题. 在中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且___________. （1）求角B的大小； （2）若，求周长的最大值. 20. 如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体． （1）求此旋转体的体积． （2）求此旋转体的表面积． 21. 如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22. 已知锐角三角形的内角的对边分别为且． （1）求角的大小； （2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $