1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【考点1：平面的法向量及其求法】 【考点2： 利用向量方法证明线线平行】 【考点3：利用向量方法证明线面平行】 【考点4：利用向量方法证明面面平行】 【考点5：利用向量方法证明线线垂直】 【考点6：利用向量方法证明线面垂直】 【考点7：利用向量方法证明面面垂直】 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【考点1：平面的法向量及其求法】 【典例1】四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量． 【变式1-1】在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（     ）    A． B． C． D． 【变式1-3】多选题已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【考点2： 利用向量方法证明线线平行 】 【典例2】如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【变式2-1】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【变式2-2】如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点3：利用向量方法证明线面平行】 【典例3】如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【变式3-1】如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 【变式3-2】如图，在正方体中，，分别是，的中点．求证：平面；    【变式3-3】如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面； 【考点4：利用向量方法证明面面平行】 【典例4】如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB． 【变式4】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【考点5：利用向量方法证明线线垂直】 【典例5】在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 【变式5-1】如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.    (1)求证：； (2)求线段的长. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由． 【变式5-3】如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：. 【考点6：利用向量方法证明线面垂直】 【典例6】如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，．证明：平面．    【变式6-1】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，底面分别为的中点．求证：平面．    【变式6-2】．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD. 【变式6-3】如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 【考点7：利用向量方法证明面面垂直】 【典例7】如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    证明：平面平面. 【变式7-1】在三棱台中，平面 为的中点．证明：平面平面．    【变式7-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE； 【变式7-3】如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 一、单选题 1．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线 平面，则（    ） A． B．2 C． D． 2．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 3．直线m，n的方向向量分别为，平面的法向量为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　） A． B． C． D． 5．直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 6．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 7．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝ . 9．已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则 . 10．已知点为坐标原点，点，平面的一个法向量为，若，则 . 11．已知，平面的法向量，若，则 ． 三、解答题 12．在棱长为1的正方体中，分别是，的中点. (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 13．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 14．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 15．如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．过点作，垂足为点，求证：平面； 16．在空间直角坐标系中，，，，． (1)求； (2)判断点，，，是否共面，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【考点1：平面的法向量及其求法】 【考点2： 利用向量方法证明线线平行】 【考点3：利用向量方法证明线面平行】 【考点4：利用向量方法证明面面平行】 【考点5：利用向量方法证明线线垂直】 【考点6：利用向量方法证明线面垂直】 【考点7：利用向量方法证明面面垂直】 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【考点1：平面的法向量及其求法】 【典例1】四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量． 【答案】答案见解析 【分析】根据空间直角坐标系的性质，利用线面垂直的性质建立合适的坐标系，再根平面法向量的性质求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以 又，，所以， 所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，    则， 所以是平面的一个法向量． 因为， 设平面的一个法向量， 则      ，取，得， 所以是平面的一个法向量． 【变式1-1】在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【详解】由已知， 设平面的一个法向量为， 取，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 【变式1-2】已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面ABE的法向量为，然后由，可求出其法向量. 【详解】由题意可得，，， 所以， 设平面ABE的法向量为， 由，得到，取，则， 所以平面ABE的一个法向量为， 所以是平面ABE的法向量.    故选：C. 【变式1-3】多选题已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 利用空间向量的坐标分别判断与四个选项中的向量是否平行即可得解. 【详解】因为平面与平面平行，所以平面的法向量与平面的法向量平行， 对于选项A: 若，则此时，满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项A正确； 对于选项B: 若，则此时无解，不满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项B错误； 对于选项C: 若，则此时，满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项C正确； 对于选项D: 若，则此时无解，不满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项D错误. 故选：AC. 【考点2： 利用向量方法证明线线平行 】 【典例2】如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【答案】证明见解析 【分析】 利用空间直角坐标系，由正四棱柱的各棱长分别表示出向量与，根据向量共线定理即可证明. 【详解】 根据正四棱柱性质可知，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以， 可得，即向量与共线， 又不在同一条直线上， 所以. 【变式2-1】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    【变式2-2】如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在． 【分析】建立空间直角坐标系， （1）求出，利用可得，再求体积即可； （2）求出坐标，可得答案； （3）由，求出E点的竖坐标、点的竖坐标，设，由，得可得答案． 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则，， ， ， 此时； （2）， ， ； （3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为， 设，由，得，存在．    【考点3：利用向量方法证明线面平行】 【典例3】如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【详解】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以 平面. 【变式3-1】如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合，即可证得平面. 【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，， 又因为分别为和的中点，可得， 又由向量为平面的一个法向量，且, 由此可得，又因为直线平面，所以平面. 【变式3-2】如图，在正方体中，，分别是，的中点．求证：平面；    【答案】(1)证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为， 则，，，，， 所以，， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 又，即， 又平面，所以平面.    【变式3-3】如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】 根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量与平面法向量的垂直即可求证. 【详解】 因为底面，，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设为平面的法向量，则 ，即， 不妨设，可得 ， 又， 所以，即， 因为平面， 所以平面 ， 【考点4：利用向量方法证明面面平行】 【典例4】如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB． 【答案】证明见解析 【分析】 根据垂直关系分析可知，，建系，利用空间向量可得∥，根据题意结合线面、面面平行分析证明. 【详解】因为为正方形，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即， 又因为平面∥平面QBC，∥， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即，    如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，即，所以∥， 且平面，平面，所以∥平面， 又因为∥，平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面QAB． 【变式4】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 【考点5：利用向量方法证明线线垂直】 【典例5】在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得. （2）利用向量法来证得. 【详解】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， . （2）因为， ， . 【变式5-1】如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.    (1)求证：； (2)求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）利用空间向量的坐标运算证明异面直线的垂直关系； （2）利用空间向量的坐标运算求线段的长度. 【详解】（1）   因为直三棱柱中，平面, 平面,所以,且, 所以原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, 所以, 则，所以. （2）因为,所以,则. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】 （1）由线面垂直得线线垂直，再由底面上的，可得平面，从而证得线线垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法表示线面垂直，求得，得其长度． 【详解】（1）证明：∵在四棱锥中，面，面，面，∴，. 在直角梯形中，，. 又面面，,∴平面，又面，∴； （2）由题意及（1）得，存在一点，使得直线垂直平面. 在四棱锥中，，， 以为轴建立空间直角坐标系如图所示： 根据题意可得：， ∴. 根据点在线段上，∴. 设，则， 由得，得，∴， ∴. 【变式5-3】如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：. 【答案】证明见解析 【分析】连接交于，以所在直线为轴，经过且垂直于平面的直线为轴，交上底面于，连接，建立空间直角坐标系如图，然后利用空间向量证明即可 【详解】证明：由题意，该棱台是正四棱台. 连接交于，以所在直线为轴，经过且垂直于平面的直线为轴，交上底面于，连接，建立空间直角坐标系如图. 根据正四棱台的性质，过作底面的垂线，则垂足在上. 由题意得，为上底面正方形对角线长的一半， 显然，故，又， 则，故. 于是，， 则，所以. 【考点6：利用向量方法证明线面垂直】 【典例6】如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，．证明：平面．    【答案】证明见解析 【分析】 根据已知条件建系，求平面的一个法向量和坐标进而证明线面垂直即可. 【详解】由直三棱柱可知平面， 因为平面，所以，又因为， 所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 所以，即，所以平面． 【变式6-1】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，底面分别为的中点．求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】以为坐标原点，的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量数量积可得，可证得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】以为坐标原点，的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，其中，则， 所以．所以． 所以．又平面平面， 所以平面．    【变式6-2】．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD. 【答案】证明见解析 【分析】建系，利用空间向量证明线面垂直. 【详解】如图所示，取BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形， 所以AO⊥BC， 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC， 平面ABC，则， ，平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1， 取B1C1的中点O1，以O为坐标原点， 以分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则， 可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD， BA1∩BD＝B，平面， 所以AB1⊥平面A1BD. 【变式6-3】如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论. 【详解】由题意，以点为坐标原点，，,分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 故， ， 即， 又平面， 故平面. 【考点7：利用向量方法证明面面垂直】 【典例7】如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直. 【详解】证明：取的中点，连接，    在正三棱柱中，不妨设; 以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则,， ； 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，即； 设平面的一个法向量为， 则，取，得，，即. 因为，所以平面平面； 【变式7-1】在三棱台中，平面 为的中点．证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量数量积坐标表示求出，即可证得，即平面，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 因为， 所以，所以． 又平面，所以平面，又平面， 所以平面平面．    【变式7-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE； 【答案】证明见解析 【分析】 由题意可得BO，CO，PO互相垂直，所以以O为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量证明即可. 【详解】证明：因为底面ABCD是菱形，所以， 因为平面ABCD，平面， 所以， 所以BO，CO，PO互相垂直， 所以以点O为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 由，，可知相关点坐标如下： ，，，，， 因为平面， 所以平面 所以平面PBD的一个法向量为， 因为，所以， 故平面PBD， 因为平面， 所以平面平面ACE. 【变式7-3】如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解，进而求解； （2）利用空间向量可得，进而得到，进而根据线面平行的判定定理即可证明； （3）利用空间向量可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）由题可知，底面，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 即两点间的距离为. （2）由（1）知，， 所以，即，即， 又平面平面， 所以平面. （3）由（2）知，，，， 所以，， 则，即， 又，且平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 一、单选题 1．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线 平面，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明，列式计算即得. 【详解】由直线 平面，得，则，所以. 故选：D 2．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】D 【分析】根据两个平面垂直，两个平面的法向量也垂直，求解即可. 【详解】因为，所以，所以，解得. 故选：D 3．直线m，n的方向向量分别为，平面的法向量为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意利用直线与直线，直线与平面的位置关系，计算向量的数量积，进行判断. 【详解】若，则与共线向量，故A错误； 若，则与共线向量，故B错误； 若，则，故C错误； 若，则，故D正确， 故选：D 4．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若点在平面内，则该点与构成的向量与的数量积为0，由此依次判断选项即可得到答案. 【详解】对于A，，则，故A不正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，则，故C不正确； 对于D，，则，故D不正确； 故选：B 5．直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 【答案】B 【分析】通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论. 【详解】由题意， 选项A，若共线，，A错误； 选项B，若垂直，则，B正确； 选项C，若共线，，C错误； 选项D，若共线，，D错误． 故选：B． 6．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A    【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 7．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面内任意一点，由题意，由此可得，对比选项即可得解. 【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为 所以，整理得， 而，，，， 所以对比选项可知只有在平面内. 故选：C. 二、填空题 8．已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝ . 【答案】 【分析】利用空间位置的向量关系即可求解. 【详解】平面的法向量为，依题意，，则， 因此，所以. 故答案为： 9．已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则 . 【答案】39 【分析】由可得：，利用空间向量共线的充要条件列方程组计算即得. 【详解】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：， 则，解得：，故. 故答案为：39. 10．已知点为坐标原点，点，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【分析】 根据法向量的定义即可求解. 【详解】 由题知， 因为，所以， 设，则， 所以，解得，，， 所以 故答案为：. 11．已知，平面的法向量，若，则 ． 【答案】 【分析】利用直线与平面垂直得到直线的方向向量与平面的法向量共线，从而利用空间向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为，所以与共线， 又，，则， 所以，. 故答案为：. 三、解答题 12．在棱长为1的正方体中，分别是，的中点. (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，根据空间位置的向量证明方法，即可证明结论； （2）根据空间向量家教的坐标表示，即可求得答案； （3）根据空间向量模长的坐标表示，即可求得答案. 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 因为，所以，即. （2）由（1）得，， ，， 所以. （3）由（1）知， 故. 13．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，为的四等分点（靠近）. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量，设出点的坐标，利用线面平行的向量表示求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是矩形，平面，则直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，令， 于是， 因此，即， 所以. （2）由（1）知，，假定存在点满足条件， 设，， 设平面的法向量为，则，令，得， 要平面，显然平面，则只需，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面，点为靠近点的线段的四等分点. 14．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面，    所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 15．如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．过点作，垂足为点，求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】先根据三棱柱的体积为32，求出，再由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可. 【详解】由直三棱柱，得平面，又， 可得三棱柱的体积，得． 因为三棱柱为直三棱柱，所以， 因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则．设，则， 故． 因为，所以， 所以，解得，即． 所以， 所以， . 所以． 又因为平面ACQ，平面ACQ，， 所以平面． 16．在空间直角坐标系中，，，，． (1)求； (2)判断点，，，是否共面，并说明理由． 【答案】(1) (2)不共面，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出和即可求出； （2）求出，设，列出方程组证明其无解即可. 【详解】（1）由题意知，， ∴； （2）∵，，， 设，则无解， 即不存在，使得，，共面， 故点，，，不共面． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$