1.3 空间向量及其运算的坐标表示（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【考点1：空间向量的坐标表示 】 【考点2： 空间向量的坐标运算 】 【考点3：空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）】 【考点4：空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）】 【考点5：空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））】 【考点6：空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）】 【考点7：空间向量的夹角问题（坐标形式）】 【考点8：空间向量的投影向量（坐标形式）】 【考点9：空间向量的平行关系（坐标形式）】 【考点10：空间向量的垂直关系（坐标形式）】 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 【考点1：空间向量的坐标表示】 【典例1】（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.   【变式1-1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【变式1-2】多选题（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】多选题（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【考点2： 空间向量的坐标运算】 【典例2】（23-24高二上·北京顺义·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ． 【考点3：空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）】 【典例3】（22-23高二·全国·课后作业）已知，求. 【变式3-1】（23-24高二上·北京·期中）已知点， ，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·河北·阶段练习）若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 【变式3-3】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知，则 . 【考点4：空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）】 【典例4】（21-22高三下·上海奉贤·阶段练习）棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是 . 【变式4-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23高二上·浙江湖州·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高二下·江苏·课后作业）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为 . 【考点5：空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））】 【典例5】（22-23高二上·北京·期中）已知空间向量，则 ． 【变式5-1】（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ． 【变式5-2】（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知向量，则（    ） A．5 B．12 C．13 D．17 【变式5-3】（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ） A． B． C．8 D．12 【考点6：空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）】 【典例6】（23-24高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 【变式6-1】（21-22高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（22-23高二下·四川达州·期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【考点7：空间向量的夹角问题（坐标形式）】 【典例7】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式7-2】（23-24高二上·浙江台州·期末）若空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【考点8：空间向量的投影向量（坐标形式）】 【典例8】（23-24高二下·湖南张家界·开学考试）已知空间三点，则在上的投影向量坐标为 . 【变式8-1】（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知，则向量在上的投影向量的坐标是 . 【变式8-2】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知向量，则在上的投影为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【考点9：空间向量的平行关系（坐标形式）】 【典例9】（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二下·福建·期中）已知且，则（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【变式9-2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-3】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．4 D．2 【考点10：空间向量的垂直关系（坐标形式）】 【典例10】（23-24高二下·湖南张家界·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A． B．5 C．4 D． 【变式10-1】（23-24高二下·陕西·开学考试）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D．3 【变式10-2】（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高二上·四川成都·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知空间向量，，若，则实数（    ） A．0 B．2 C． D． 4．（23-24高二下·福建·期中）已知，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 6．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）与向量平行的一个向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 8．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）设是实数，已知点在同一直线上，则的值为（    ） A．10 B．-10 C．-15 D．20 9．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 11．（23-24高二下·云南大理·期中）已知向量，，且，则 ． 12．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 . 13．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 三、解答题 14．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 15．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 16．（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 17．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）（1）已知向量，求； （2）求与向量共线，且满足的向量的坐标； （3）已知若，且与垂直，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【考点1：空间向量的坐标表示 】 【考点2： 空间向量的坐标运算 】 【考点3：空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）】 【考点4：空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）】 【考点5：空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））】 【考点6：空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）】 【考点7：空间向量的夹角问题（坐标形式）】 【考点8：空间向量的投影向量（坐标形式）】 【考点9：空间向量的平行关系（坐标形式）】 【考点10：空间向量的垂直关系（坐标形式）】 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 【考点1：空间向量的坐标表示】 【典例1】（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【答案】答案见解析 【分析】根据空间坐标系分别写出对应点的坐标，再利用向量的坐标运算法则即可得出结果. 【详解】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 【变式1-1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算. 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 【变式1-2】多选题（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出向量坐标，逐项判断可得答案. 【详解】在空间直角坐标系中，，，， ，， 对于A，因为，，所以，故A不正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D不正确. 故选：BC. 【变式1-3】多选题（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D点坐标，即得答案. 【详解】由题意得. 设的坐标为， 若四边形为平行四边形，则，则， 此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，，此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，此时的坐标为， 故选：ABC 【考点2： 空间向量的坐标运算】 【典例2】（23-24高二上·北京顺义·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设，则， 故，解得， 所以点坐标为 故选：C 【变式2-1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加减运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解. 【详解】由题意空间向量，， 则. 故选：A. 【变式2-3】（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 【考点3：空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）】 【典例3】（22-23高二·全国·课后作业）已知，求. 【答案】，，，， 【分析】 利用空间向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解. 【详解】 由题意， ， ， ， ， . 【变式3-1】（23-24高二上·北京·期中）已知点， ，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，表示出、，即可得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，又， 因为，所以， 所以，解得，即. 故选：A 【变式3-2】（23-24高二上·河北·阶段练习）若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 【答案】C 【分析】 利用向量数量积的坐标公式即可求值. 【详解】由，， 得，， 所以． 故选：C． 【变式3-3】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知，则 . 【答案】 【分析】 根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】 由题意得，， 则. 故答案为： 【考点4：空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）】 【典例4】（21-22高三下·上海奉贤·阶段练习）棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，进而求得的取值范围. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，， ，设（且只在正方体的条棱上运动）， 则， ， 由于，所以. 当时，取最小值；当时，取最大值. 故答案为：    【变式4-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得且与不反向，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为、，且与夹角为钝角， 则且与不反向， 若，则，解得， 若与反向，设，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故选：D 【变式4-2】（22-23高二上·浙江湖州·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的坐标运算，利用函数最值求解. 【详解】 如图，设， , ， 因为 所以当时，有最小值， 当或时，都取得最大值， 故选:D. 【变式4-3】（22-23高二下·江苏·课后作业）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据空间向量与的夹角是锐角可得且与不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】因为与的夹角是锐角，所以， 即，解得， 若与的夹角为，则存在，使， 即，所以，解得. 故t的取值范围是. 故答案为：. 【考点5：空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））】 【典例5】（22-23高二上·北京·期中）已知空间向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量加法求出坐标，再根据空间向量模的计算公式即可求解. 【详解】已知空间向量， 则， 则． 故答案为：． 【变式5-1】（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可. 【详解】由， 有． 故答案为： 【变式5-2】（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知向量，则（    ） A．5 B．12 C．13 D．17 【答案】C 【分析】利用空间向量模长公式求出答案. 【详解】因为向量，则. 故选：C. 【变式5-3】（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】由于， 则， 于是. 故选：B 【考点6：空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）】 【典例6】（23-24高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据题意，求得，根据其几何意义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 且，其中点可以看作球心在原点，半径为的球上的点 所以表示球上的点到点距离， 最大值为球心到点的距离再加球的半径， 即. 故选：D 【变式6-1】（21-22高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．取的中点为H，连接，.证明出点P只能在线段上运动．设（）表示出，求出模长，利用二次函数求出PC长度的取值范围. 【详解】以D为原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，，.    取的中点为H，连接，. 在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以. 又面，面， 所以面. 同理可证：面. 又，所以平面平面． 因为平面，所以点P只能在线段上运动．易知，设（），，则，， ， ． 当时，取得最小值；当时，取得最大值36． 故PC长度的取值范围为． 故选：C 【点睛】立体几何求最值的方法有两类： （1）几何法：利用几何图形求最值； （2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 【变式6-2】（22-23高二下·四川达州·期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面平行求出的关系，再借助二次函数求出向量模的最小值作答. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则 ， ，于是， 即有，向量是平面的一个法向量， ，则，而， 于是，因为平面，则， 即，化简得，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 【考点7：空间向量的夹角问题（坐标形式）】 【典例7】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C. 【变式7-1】（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量夹角公式的坐标运算，即可求解. 【详解】因为，可得. 故选：D. 【变式7-2】（23-24高二上·浙江台州·期末）若空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由题意，得. 故选:C. 【考点8：空间向量的投影向量（坐标形式）】 【典例8】（23-24高二下·湖南张家界·开学考试）已知空间三点，则在上的投影向量坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】由三点， 可得，则， 则在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 【变式8-1】（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知，则向量在上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【分析】 根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】，， 所以向量在上的投影向量的坐标是： . 【变式8-2】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知向量，则在上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出向量，夹角的余弦值，再由投影定义即可求得结果. 【详解】易知， 所以在上的投影为. 故选：C 【变式8-3】（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，代入相关值可求解出结果. 【详解】因为向量， 所以向量在向量上的投影向量， 故选：A. 【考点9：空间向量的平行关系（坐标形式）】 【典例9】（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案. 【详解】，， 因为，所以，解得. 故选：A. 【变式9-1】（23-24高二下·福建·期中）已知且，则（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以存在实数，使得，又, 所以，所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式9-2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算，向量共线的坐标表示列式计算得解. 【详解】由，得，又，且， 则，所以. 故选：B 【变式9-3】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解. 【详解】由，知，使得， 即，所以， 解得，所以. 故选：B 【考点10：空间向量的垂直关系（坐标形式）】 【典例10】（23-24高二下·湖南张家界·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】借助向量垂直的性质及数量积的坐标运算即可得. 【详解】由，故，即有，解得. 故选：B. 【变式10-1】（23-24高二下·陕西·开学考试）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由空间向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量， 若，则，即， 解得：. 故选：D. 【变式10-2】（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 【变式10-3】（23-24高二上·四川成都·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：C. 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据三点共线得向量共线，然后根据向量共线的坐标形式列式计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，又向量， 所以，所以，所以. 故选：A 2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为所以所以． 故选：D. 3．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知空间向量，，若，则实数（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量平行的性质求解即可. 【详解】由，可设，则， 所以， 故选：D 4．（23-24高二下·福建·期中）已知，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助投影向量的定义计算即可得. 【详解】. 故选：B. 5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示列出式子直接得出答案. 【详解】，，且， ， 解得：， 故选：B. 6．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）与向量平行的一个向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共线定理判定即可. 【详解】对于A，若向量与向量共线， 则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以向量与向量共线，故A不符； 对于B，若向量与向量共线， 则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以向量与向量共线，故B不符； 对于C，因为， 所以向量与向量共线，故C符合； 对于D，若向量与向量共线， 则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以向量与向量共线，故D不符. 故选：C. 7．（10-11高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 8．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）设是实数，已知点在同一直线上，则的值为（    ） A．10 B．-10 C．-15 D．20 【答案】B 【分析】三点在同一条直线上，即向量与共线，利用向量共线定理即可得出． 【详解】，是实数，若点在同一直线上， 则向量与共线． ,1,，,1,， ，，， ． 故选：B. 9．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】由向量，，得，而， 向量在向量上的投影向量. 故选：C 二、填空题 10．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】由空间向量的模长公式可直接求得答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 11．（23-24高二下·云南大理·期中）已知向量，，且，则 ． 【答案】 【分析】利用两非零向量垂直的充要条件是两向量数量积为0，再利用数量积的坐标运算就可解得结果. 【详解】由可得， 又因为，， 所以， 解得. 故答案为： 12．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 . 【答案】 【分析】首先求出、的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 所以. 故答案为： 13．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 三、解答题 14．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由向量的坐标表示共线和模长计算求出即可； （2）由向量垂直的坐标表示求出参数即可； （3）由点在平面上，设，解方程组求出即可. 【详解】（1），设， 因为，而，所以； 故或 （2），，， 由与互相垂直得：， 解得. （3）点在平面上，， ， ， 解得：. 15．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解. 【详解】（1）; （2）, 则； （3），则 16．（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由空间向量坐标运算计算可得； （2）根据题意先求出，在利用，计算可得. 【详解】（1）， 则， 故. （2）点E在直线AB上，， 则可设， ∵， ∴，即，解得， 故点E的坐标为． 17．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）（1）已知向量，求； （2）求与向量共线，且满足的向量的坐标； （3）已知若，且与垂直，求． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【分析】（1）先根据已知条件求出的坐标，然后可求出其模； （2）由已知设，再由可求出的值，从而可求出向量的坐标； （3）根据题意列出关于的方程组，解方程组求出，从而可求出向量． 【详解】（1），则 故． （2）因为向量与共线，故可设． 由，得，故， 所以． （3）因为，且与垂直， 所以， 化简得，解得． 故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$