1.2 空间向量基本定理（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 【考点1：空间向量基底的概念及辨析 】 【考点2： 用空间基底表示向量 】 【考点3：应用空间向量基本定理证明线线位置关系】 【考点4：应用空间向量基本定理求距离、夹角 】 知识点01：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【考点1：空间向量基底的概念及辨析 】 【典例1】（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】多选题（23-24高二上·四川·期中）在四棱台中，空间的一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】多选题（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】多选题（22-23高二上·北京朝阳·阶段练习）已知空间向量，，若，，可以构成空间向量的一个基底，则实数x的取值范围为 . 知识点02：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 【考点2： 用空间基底表示向量 】 【典例2】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【变式2-1】（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·江苏南京·期中）四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【考点3：应用空间向量基本定理证明线线位置关系】 【典例3】（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【变式3-1】（2024高二·全国·专题练习）如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 【变式3-2】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【变式3-3】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【考点4：应用空间向量基本定理求距离、夹角 】 【典例4】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【变式4-1】（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【变式4-2】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【变式4-3】（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．      (1)求； (2)求的长． 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南·阶段练习）平行六面体中，为的中点，设，，，用表示，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）如图，四棱柱的底面是正方形，，且，则（    ） A．4 B．0 C． D． 5．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若 ，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知向量若与、共面，则实数（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高一下·全国·随堂练习）如图，向量，，，则向量 四、解答题 11．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量； (2)求. 12．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 13．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在三棱台中，，，，设，以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量. 14．（20-21高二上·全国·单元测试）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长. 15．（23-24高二上·湖北黄冈·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．    (1)试用，，表示出向量； (2)求与所成的角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 空间向量基本定理 【考点1：空间向量基底的概念及辨析 】 【考点2： 用空间基底表示向量 】 【考点3：应用空间向量基本定理证明线线位置关系】 【考点4：应用空间向量基本定理求距离、夹角 】 知识点01：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【考点1：空间向量基底的概念及辨析 】 【典例1】（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用表达出三个向量，设，得到方程组，无解，得到不共面，能作为空间中的一组基底. 【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，， 设， 即， ，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.    故选：A 【变式1-1】多选题（23-24高二上·四川·期中）在四棱台中，空间的一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为四点共面，所以不可能是空间的一个基底，错误. 因为，所以不可能是空间的一个基底，C错误. 不共面、不共面，所以B，D均正确. 故选：BD    【变式1-2】多选题（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由可判断A；由可判断B；设，由共面定理可判断C；设，由共面定理可判断D. 【详解】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD 【变式1-3】多选题（22-23高二上·北京朝阳·阶段练习）已知空间向量，，若，，可以构成空间向量的一个基底，则实数x的取值范围为 . 【答案】 【分析】先假设，，共面，计算出x，再由，，可以构成空间向量基底的条件得到x的范围. 【详解】假设，，共面则有，， 则， 则，得， 要使，，可以构成空间向量的一个基底，则，，不共面，即， 故答案为：. 知识点02：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 【考点2： 用空间基底表示向量 】 【典例2】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【答案】(1)， (2)，，． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 【变式2-1】（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， . 故选：D 【变式2-2】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要表示出，只需要用给出的基底表示即可，结合图形及空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】. 故选：B 【变式2-3】（23-24高二下·江苏南京·期中）四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理，利用基底表示即可. 【详解】 . 故选：A 【考点3：应用空间向量基本定理证明线线位置关系】 【典例3】（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明详见解析 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案. （2）通过证明来证得结论成立. 【详解】（1）连接，则 （2）， 所以 ， 所以.    【变式3-1】（2024高二·全国·专题练习）如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量基本定理得到，，根据数量积运算法则求出，证明出垂直关系. 【详解】因为⊥，⊥，⊥， 所以， 因为分别是的中点， 所以． 因为分别是的中点， 所以 ， 故 所以⊥，得证． 【变式3-2】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析 【分析】（1）运用空间向量基本定理，用基底分别表示三个向量，，； （2）用基底表示的三个向量，，，分别计算、，证明了两组线线垂直、，证明结论即可. 【详解】（1）已知，，， 得：，， ． （2）证明：设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 【变式3-3】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论； （2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案. 【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. （2）由（1）知， 所以 . 所以. 【考点4：应用空间向量基本定理求距离、夹角 】 【典例4】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 【变式4-1】（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 设异面直线和夹角为， 则. 【变式4-2】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【答案】，BN的长为 【分析】根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果． 【详解】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 ， 由题意，可得|，，， 因此 所以，即的长为. 【变式4-3】（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．      (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量公式计算得到答案. （2）确定，，确定，计算得到答案. 【详解】（1） （2）， ， ， 则 ，故. 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南·阶段练习）平行六面体中，为的中点，设，，，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行六面体的结构特征，由空间向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】平行六面体中，    有 故选：A． 2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案. 【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则， ∴． 故选:B． 3．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】为的中点， ，， 故选:A. 4．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）如图，四棱柱的底面是正方形，，且，则（    ） A．4 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】首先分解向量，然后结合数量积的运算律即可求解. 【详解】由题意，， 所以 . 故选：D. 5．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若 ，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算，结合给定的基底求解即得. 【详解】在平行六面体中， . 故选：D 6．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解. 【详解】， ， . 故选：A 7．（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 8．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知向量若与、共面，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量共面定理构造方程组即可求得结果. 【详解】由共面定理可得存在非零实数满足， 可得，解得， 故选：C 二、多选题 9．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解. 【详解】对于A，因为，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意； 对于B，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意； 对于C，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意； 对于D，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意. 故选：BCD 三、填空题 10．（23-24高一下·全国·随堂练习）如图，向量，，，则向量 【答案】 【分析】根据向量的加减法求解即可. 【详解】依题意，得， 故答案为： 四、解答题 11．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形，利用向量的几何运算，即可求出结果； （2）根据条件，利用向量数量积的运算及定义，即可求出结果. 【详解】（1）如图，.    （2）因为，，， 所以 , 又， ， 所以. 12．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，延长，交于，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底表示向量的式子； （2）根据题意，、、两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段的长． 【详解】（1）连接，延长，交于， 由为的重心，得是边上的中线，且， 结合，得， 因为，所以，整理得， 因此，； （2）因为底面，，底面是边长为的正方形， 所以，，， 可得 ， 所以，即线段的长为． 13．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在三棱台中，，，，设，以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量. 【答案】直线AE的一个方向向量为，直线AD的一个方向向量是 【分析】利用空间向量基本定理得到，，得到答案. 【详解】 ， 所以直线AE的一个方向向量为； 所以直线AD的一个方向向量是. 14．（20-21高二上·全国·单元测试）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长. 【答案】， 【分析】根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果. 【详解】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 ， 由题意，可得|，，， 因此 所以，即的长为. 15．（23-24高二上·湖北黄冈·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．    (1)试用，，表示出向量； (2)求与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用，，表示向量的式子； （2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可． 【详解】（1）因为，则， 因为ABCD是边长为1的正方形，则， 且，可得， 又因为，，，所以. （2）由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°， 则 ， 可得， 又因为 ， 设与所成的角为，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$