1.1.2 空间向量的数量积运算（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 【考点1：空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 】 【考点2： 空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 】 【考点3：利用数量积求夹角】 【考点4：空间向量的投影（投影向量）】 【考点5：空间向量中的模（距离，长度）】 【考点6：利用数量积证明垂直问题】 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【考点1：空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 】 【典例1】（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【变式1-1】（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【变式1-2】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【变式1-3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【考点2： 空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 】 【典例2】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知是棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，点是棱的中点，则的最大值为 ． 【变式2-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）平行六面体中，，，，则 ；若动点在直线上运动，则的最小值为 . 【变式2-2】（22-23高一下·安徽六安·期末）平行六面体中，，，，动点P在直线上运动，则的最小值为 . 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【考点3：利用数量积求夹角】 【典例3】（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【变式3-1】（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高二上·山东·阶段练习）已知向量，单位向量满足，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【考点4：空间向量的投影（投影向量）】 【典例4】（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高二上·辽宁营口·期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 . 【考点5：空间向量中的模（距离，长度）】 【典例5】（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在平行六面体. ，设向量    (1)用表示向量 (2)求 【变式5-1】（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【变式5-2】（23-24高二上·广东广州·期中）在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·广东广州·期中）在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【考点6：利用数量积证明垂直问题】 【典例6】（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知平面四边形由和组成，，，为上的点且（如图1所示），将等腰沿折起，点折至点位置，使得平面平面（如图2所示）. (1)求证：； (2)设，点在棱上，且满足，求三棱锥的体积. 【变式6-1】（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【变式6-2】（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【变式6-3】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 4．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ）    A．1 B． C．0 D．2 5．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 6．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知空间向量，则（    ） A．3 B． C． D．21 二、多选题 7．（23-24高二上·海南·期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，，且，则（    ） A． B． C． D．直线与平面所成的角为 三、填空题 8．（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 9．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量，若，则的值为 ． 10．（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知是两个空间向量，若，，则＝ . 11．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 四、解答题 12．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 13．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 14．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 15．（21-22高二上·重庆黔江·阶段练习）如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，． (1)求证：； (2)求直线BD与AC所成角的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 空间向量的数量积运算 【考点1：空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 】 【考点2： 空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 】 【考点3：利用数量积求夹角】 【考点4：空间向量的投影（投影向量）】 【考点5：空间向量中的模（距离，长度）】 【考点6：利用数量积证明垂直问题】 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【考点1：空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 】 【典例1】（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 【变式1-1】（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【详解】（1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 【变式1-2】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 【变式1-3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，结合空间向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，求得且，结合空间向量的数量积和模的运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 根据空间向量的运算法则，可得 . （2）解：因为，，， 可得且， 则 ，所以， 即线段的长． 【考点2： 空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 】 【典例2】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知是棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，点是棱的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】 由题意得，求出在上的投影加上在上的投影得最大值即可. 【详解】因为点是棱的中点，所以， 则 而表示在上的投影， 表示在上的投影， 当点在棱上时，表示在上的投影取得最大值， 表示在上的投影也取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式2-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）平行六面体中，，，，则 ；若动点在直线上运动，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】以为基底表示出，即可求得，设，根据空间向量的线性运算和数量积的运算规律可得，可求得其最小值. 【详解】根据题意可得， 所以 ， 即可得； 设，则， ； 所以 ， 由二次函数性质可知当时，取到最小值为. 故答案为：； 【变式2-2】（22-23高一下·安徽六安·期末）平行六面体中，，，，动点P在直线上运动，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，然后根据空间向量的线性运算和数量积的运算律得到，最后求最小值即可. 【详解】设， ， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积运算求解. 【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，. 又 所以： 或. 故答案为： 【考点3：利用数量积求夹角】 【典例3】（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 【变式3-1】（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的即可求出夹角的余弦值. 【详解】 ， 故， 所以. 故选：B. 【变式3-2】（22-23高二上·山东·阶段练习）已知向量，单位向量满足，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解 【详解】因为，所以.又， 所以，即，所以，则. 所以.又，所以. 故选：C. 【变式3-3】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算得，，进而计算夹角即可得答案. 【详解】解：由题意，得， 所以 ， 设向量和的夹角为，则， 又，所以. 故选：C. 【考点4：空间向量的投影（投影向量）】 【典例4】（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意和投影向量的概念计算即可求解. 【详解】 ，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 故选：D． 【变式4-1】（22-23高二上·辽宁营口·期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量在向量方向上的投影为，运算即可的解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影为. 故选：B. 【变式4-2】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 【变式4-3】（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 . 【答案】 【分析】先求出，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】平面， 则， 向量在上的投影向量为 故答案为：. 【考点5：空间向量中的模（距离，长度）】 【典例5】（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在平行六面体. ，设向量    (1)用表示向量 (2)求 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算可得出关于的表达式；（2）由（1）知，利用空间向量数量积的运算可求得. 【详解】（1）， ； （2）由（1）知， 由已知可得， 所以. 【变式5-1】（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【分析】首先表示向量，平方后，利用数量积公式，即可求解. 【详解】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 【变式5-2】（23-24高二上·广东广州·期中）在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用向量数量积的运算律及已知求的长. 【详解】如下图， ，则， 所以， 又，， 所以. 故选：B 【变式5-3】（23-24高二上·广东广州·期中）在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用向量数量积的运算律及已知求的长. 【详解】如下图， ，则， 所以， 又，， 所以. 故选：B 【考点6：利用数量积证明垂直问题】 【典例6】（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知平面四边形由和组成，，，为上的点且（如图1所示），将等腰沿折起，点折至点位置，使得平面平面（如图2所示）. (1)求证：； (2)设，点在棱上，且满足，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）易证得，利用面面垂直的性质可得平面，再利用线面垂直的性质即可得证； （2）结合（1）知，平面，则点到平面的距离为点到平面距离的，利用勾股定理求得，再根据，计算即可得解. 【详解】（1）证明：因为，， 所以四面体中，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）解：如图所示：结合（1）知，平面， 所以点到平面的距离为点到平面距离的， 在中，，所以， 所以的面积为， 所以. 【变式6-1】（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1），结合向量数量积运算，求模即可. （2），由向量数量积关于垂直的表示即可判断. 【详解】（1）设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. （2）证明：∵，∴. 故. 【变式6-2】（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【分析】 （1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 【变式6-3】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案. （2）用表示，然后证明. 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】 是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得 ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 3．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 4．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ）    A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据垂直关系结合空间向量的数量积分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：A. 5．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用基底法表示得与，再利用空间向量的数量积运算即可得解 . 【详解】依题意，记，，， 则，，则， 因为， ， 所以. 故选：D. 6．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知空间向量，则（    ） A．3 B． C． D．21 【答案】C 【分析】由题意结合空间向量的模长公式、数量积公式运算即可得解. 【详解】由题意，， 所以. 故选：C. 二、多选题 7．（23-24高二上·海南·期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，，且，则（    ） A． B． C． D．直线与平面所成的角为 【答案】BD 【分析】利用空间向量的线性运算，数量积以及模长公式可判断A,B,C;先证明面，进而说明为直线与平面所成的角，计算即可. 【详解】对于选项A: 在四棱柱中， 易得,， 所以，故选项A错误； 对于选项B:因为,所以 所以，即,故选项B正确； 对于选项C: 由, 所以 所以,故选项C错误； 对于选项D:取的交点,连接, 因为底面是正方形，且， 所以,所以， 所以, 因为, 所以, 所以，即. 因为面， 所以面. 所以为在面的投影，即为直线与平面所成的角. 在中，易得，所以,故选项D正确. 故选：BD. 三、填空题 8．（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】 空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 9．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量间的垂直关系和向量的数量积即可求解. 【详解】由题知，因为，所以， 即 ， 所以. 故答案为： 10．（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知是两个空间向量，若，，则＝ . 【答案】/0.125 【分析】将两边平方，求出的值，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 则，即，则 则， 故答案为： 11．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 【答案】3 【分析】根据向量线性运算法则有，平方后利用数量积的运算求解． 【详解】由题意知，所以 ， 即， 解得，即. 故答案为：3. 四、解答题 12．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）由已知可设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）利用空间向量的数量积公式求出的值，然后利用三角形的面积公式求得以、为邻边的平行四边形的面积 【详解】（1）由已知可得， 因为向量与平行，设，其中， 则，解得. 所以，或. （2）由题可得：，， 所以，因为，所以， 则，所以，以、为邻边的平行四边形的面积为. 13．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解； （2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 14．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用及向量的运算律和数量积求解即可. （2）利用及向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 15．（21-22高二上·重庆黔江·阶段练习）如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，． (1)求证：； (2)求直线BD与AC所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用圆的直径所对圆周角的性质、圆柱的性质、线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理即可得出； （2）利用已知计算出，的值，再利用（1）的结论及已知求出的值，用向量的数量积公式计算直线BD与AC所成角的余弦，即可得到直线BD与AC所成角的大小． 【详解】（1）证明：是底面圆的直径，，； 由圆柱可得：母线底面，底面，； 又，平面，平面， 又平面，． （2），， ， 由（1）知母线底面，，， 又，， ，由题知，， 设直线BD与AC所成角为，则 ， 而，所以，故直线BD与AC所成角的大小为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$