1.1.1 空间向量及其线性运算（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1 空间向量及其线性运算 【考点1：空间向量的有关概念 】 【考点2： 空间向量加减运算及几何表示 】 【考点3：空间向量数乘运算及几何表示】 【考点4：空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）】 【考点5：空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）】 【考点6：空间向量共面（空间向量共面的判定）】 【考点7：空间向量共面（由空间向量共面求参数）】 【考点8：空间向量共面（推论及其应用）】 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【考点1：空间向量的有关概念 】 【典例1】多选题（23-24高二上·四川·期中）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【变式1-1】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高二·全国·单元测试）对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】多选题（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【考点2： 空间向量加减运算及几何表示 】 【典例2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）如图，在斜棱柱中，与的交点为点M，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面是平行四边形，若，，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【考点3：空间向量数乘运算及几何表示】 【典例3】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【考点4：空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）】 【典例4】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式4-1】（22-23高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【变式4-2】（22-23高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【考点5：空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）】 【典例5】（22-23高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【变式5-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-3】（2023高一·全国·单元测试）设是不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数k为 ． 【考点6：空间向量共面（空间向量共面的判定）】 【典例6】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【变式6-1】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 【变式6-2】（22-23高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】多选题（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【考点7：空间向量共面（由空间向量共面求参数）】 【典例7】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式7-3】（22-23高二上·广东清远·期末）在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC上一点，且5=t+2+3，则t=（    ） A．1 B．2 C．3 D．-2 【考点8：空间向量共面（推论及其应用）】 【典例8】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】多选题（22-23高二上·山东济宁·阶段练习）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 2．（23-24高二上·湖南益阳·期末）在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川凉山·期末）空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体，是的中点，连接，则＝（ ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·重庆·期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 9．（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、填空题 12．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 13．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 14．（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 15．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 三、解答题 16．（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记. (1)求的值； (2)求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1 空间向量及其线性运算 【考点1：空间向量的有关概念 】 【考点2： 空间向量加减运算及几何表示 】 【考点3：空间向量数乘运算及几何表示】 【考点4：空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）】 【考点5：空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）】 【考点6：空间向量共面（空间向量共面的判定）】 【考点7：空间向量共面（由空间向量共面求参数）】 【考点8：空间向量共面（推论及其应用）】 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【考点1：空间向量的有关概念 】 【典例1】多选题（23-24高二上·四川·期中）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】BD 【分析】利用空间向量的相关定义进行判断即可. 【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确. 故选：BD. 【变式1-1】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可. 【详解】   如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 【变式1-2】（22-23高二·全国·单元测试）对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量共线与向量夹角的关系，判断 【详解】空间任意两个非零向量，， ，包括向量和同向共线和反向共线两种情况， 即当时，有或，不能得到，充分性不成立. ，则和方向相同，有，必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-3】多选题（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【答案】ABD 【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判定C. 【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不必相同， 对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误； 向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误； 由相反向量的定义可知C正确. 故选：ABD. 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【考点2： 空间向量加减运算及几何表示 】 【典例2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）根据空间向量的线性运算，结合长方体性质可得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点， 所以. 【变式2-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）如图，在斜棱柱中，与的交点为点M，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：B 【变式2-2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算结合图象计算即可. 【详解】由，， 得 故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面是平行四边形，若，，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量的运算法则计算得到答案. 【详解】是的中点， . 故选：B. 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【考点3：空间向量数乘运算及几何表示】 【典例3】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可. 【详解】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（22-23高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将表示为，然后通过空间向量的加减以及数乘运算逐步将表示为的线性组合，由此可得结果. 【详解】由题意知 ． 故选：C． 【变式3-3】（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为, 所以 . 故选：B. 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【考点4：空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）】 【典例4】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【变式4-1】（22-23高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    【变式4-2】（22-23高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【考点5：空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）】 【典例5】（22-23高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【答案】. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答. 【详解】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 【变式5-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【详解】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 【变式5-2】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 【变式5-3】（2023高一·全国·单元测试）设是不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数k为 ． 【答案】 【分析】利用向量的减法求出，再利用向量共线求出k即得. 【详解】由，，得， 由A，B，D三点共线，得，而，因此，解得， 所以实数k为. 故答案为： 【考点6：空间向量共面（空间向量共面的判定）】 【典例6】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 【变式6-1】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 【答案】B 【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案. 【详解】由，得， 即，故共面. 又因为三个向量有同一公共点，所以共面. 故选：B. 【变式6-2】（22-23高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案. 【详解】 设，若，则点共面． 对于A，，由于，故A错误； 对于B，，由于，故B错误； 对于C, ，由于，故C错误； 对于D，，由于，得共面，故D正确. 故选：D. 【变式6-3】多选题（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可. 【详解】 A：，如下图，，    由的关系不定，则不一定在面上，满足； B：，如下图，此时满足上式，      此时，M与A，B，C不共面，满足； C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足. D：，如下图，      此时，M与A，B，C不共面，满足； 故选：ABD 【考点7：空间向量共面（由空间向量共面求参数）】 【典例7】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 【变式7-1】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以. 故选:C． 【变式7-2】（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 【变式7-3】（22-23高二上·广东清远·期末）在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC上一点，且5=t+2+3，则t=（    ） A．1 B．2 C．3 D．-2 【答案】C 【分析】 根据四点共面的性质进行求解即可. 【详解】 因为5=t+2+3=t+2+3（-）， 所以8=t+2+3，即=++． 因为M是平面ABC上一点，所以++=1，所以t=3． 故选：C 【考点8：空间向量共面（推论及其应用）】 【典例8】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可. 【详解】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 【变式8-1】（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共面向量的推论判断. 【详解】A选项：，故A错； B选项：，故B正确； C选项：，故C错； D选项：，故D错. 故选：B. 【变式8-2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 故选：C 【变式8-3】多选题（22-23高二上·山东济宁·阶段练习）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面定理及其推论，对每个选项进行逐一判断，即可选择. 【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点， 故四点共面，故A正确； 对B： ，， 故四点不共面，故B错误； 对C：，可得三点共线， 则四点一定共面，故C正确； 对D： ，， 故四点一定共面，故D正确. 故选：ACD. 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 2．（23-24高二上·湖南益阳·期末）在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得解. 【详解】 如图所示， 在三棱柱中，，， 依题意 ， 故选：A. 3．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及推论逐项判断即得. 【详解】对于A，中，，A不是； 对于B，中，，B不是； 对于C，化为，，C不是； 对于D，中，，D是. 故选：D 4．（23-24高二上·四川凉山·期末）空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出空间四边形，即可得出的表达式. 【详解】由题意，在空间四边形中，，为中点， ∴, ∴ , 故选：C.    5．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体，是的中点，连接，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件作出图形，利用线段中点的向量表达式及向量加法法则即可求解. 【详解】如图，四面体，是的中点，    因为是的中点，所以 所以. 故选：A. 6．（22-23高二上·重庆·期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算直接得解. 【详解】由是的中点， 可知， 所以， 故选：D. 7．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得 . 故选：D. 8．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 9．（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 10．（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，， 又，所以，    故选：A. 11．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 二、填空题 12．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【详解】四点共面且任意三点不共线，， ，． 故答案为： 13．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 【答案】/2.5 【分析】根据向量的加法运算及向量的相等求值即可. 【详解】如图， 因为, 所以. 故答案为： 14．（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 15．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 三、解答题 16．（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算和向量基本定理求解； （2）利用空间向量的线性运算和向量数量积求解. 【详解】（1）因为是的中点，，所以， 又，所以， 则. （2）因为， 所以由正四面体的棱长为4， 可得， 故. 31 学科网（北京）股份有限公司 $$