1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 【考点1：利用空间向量求点线距】 【考点2： 利用空间向量求点面距 】 【考点3：转化与化归思想在求空间距离中的应用 】 【考点4：利用向量方法求两异面直线所成角（定值）】 【考点5：利用向量方法求直线与平面所成角】 【考点6：已知直线与平面所成角求参数】 【考点7：利用向量方法求两个平面的夹角（定值）】 【考点8：已知平面与平面所成角求参数 知识点01：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点02：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【考点1：利用空间向量求点线距】 【典例1】（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【变式1-1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为 ． 【变式1-2】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 . 【变式1-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【考点2： 利用空间向量求点面距 】 【典例2】（21-22高二上·北京·期中）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，平面，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离． 【变式2-1】（23-24高二上·广东中山·期中）如图，在几何体中，底面为正方形，，平面平面，. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式2-2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知． (1)求在上的投影向量； (2)若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)若点，求点P到平面的距离． 【变式2-3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．      (1)证明：平面平面； (2)求到平面的距离． 【变式2-4】（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【考点3：转化与化归思想在求空间距离中的应用 】 【典例3】（2023高三·全国·专题练习）已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 【变式3-1】（22-23高二上·河北沧州·阶段练习）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【变式3-3】（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【考点4：利用向量方法求两异面直线所成角（定值）】 【典例4】（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，为侧棱上的点，且，点，分别为，的中点． 求异面直线与所成角的余弦值； 【变式4-1】（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）在正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【考点5：利用向量方法求直线与平面所成角】 【典例5】（23-24高二上·河北唐山·期末）如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，E为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5-1】（23-24高二下·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【变式5-2】（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中， 为棱的中点，平面. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5-3】（23-24高二上·福建福州·期末）在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求与平面成角的正弦值. 【考点6：已知直线与平面所成角求参数】 【典例6】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段上．    (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值． 【变式6-1】（23-24高二上·福建三明·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，且为锐角．在梯形中，，，，平面平面． (1)证明：平面; (2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由. 【变式6-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且，为的中点，为的中点， ． (1)证明：平面． (2)若不是的中点，且直线与平面所成角的正切值为，求的值． 【考点7：利用向量方法求两个平面的夹角（定值）】 【典例7】（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式7-1】（23-24高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点 (1)求证： 平面； (2)求二面角的余弦值. 【变式7-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． (1)求证：平面． (2)点是线段的中点，求平面与平面所成夹角的余弦值． 【变式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面. (1)证明:； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【考点8：已知平面与平面所成角求参数 【典例8】（23-24高二上·江西·期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，是线段PC的中点，是线段BC上一点，，． (1)证明：平面平面PBC； (2)若平面AEF与平面ABC的夹角为，求CF． 【变式8-1】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在三棱锥中，，，为的中点．    (1)证明：平面ABC； (2)若点在线段BC上（异于点，），平面与平面的夹角为，求的值． 【变式8-2】（2024·云南昆明·一模）如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由. 【变式8-3】（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 一、单选题 1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二上·浙江·期末）已知空间四点，则下列说法正确的是（    ） A． B．以为邻边的平行四边形的面积为 C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面 4．（23-24高二上·全国·期末）已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（    ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 5．（23-24高二上·江西九江·期末）在长方体中，，，则（    ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为 6．（23-24高二上·河北邢台·期末）在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河南信阳·期末）如图，在正四棱柱中，M是的中点，，则（    ） A． B．平面 C．二面角的余弦值为 D．到平面的距离为 三、解答题 9．（22-23高二上·海南省直辖县级单位·期末）四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD．    (1)证明：； (2)若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值． 10．（2024·湖南长沙·一模）正四棱柱中，分别是棱的中点，. (1)求正四棱柱的体积； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 11．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)若平面AEF，求的值； (2)在（1）的条件下，求平面AEF与平面PAE夹角的余弦值． 12．（2024·河北·一模）如图，P为圆锥的顶点，为圆锥底面的直径，为等边三角形，O是圆锥底面的圆心．为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E为线段中点．    (1)求证：平面平面； (2)M为底面圆O的劣弧上一点，且．求平面与平面夹角的余弦值． 13．（23-24高二上·浙江·期末）如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面平面．    (1)求证：； (2)求平面与平面所成锐角的余弦值． 14．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，四棱锥的底平面是边长为2的菱形，，，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 15．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 【考点1：利用空间向量求点线距】 【考点2： 利用空间向量求点面距 】 【考点3：转化与化归思想在求空间距离中的应用 】 【考点4：利用向量方法求两异面直线所成角（定值）】 【考点5：利用向量方法求直线与平面所成角】 【考点6：已知直线与平面所成角求参数】 【考点7：利用向量方法求两个平面的夹角（定值）】 【考点8：已知平面与平面所成角求参数 知识点01：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点02：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【考点1：利用空间向量求点线距】 【典例1】（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以A为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则， 则， 所以点E到直线PD的距离. 【变式1-1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 可得在方向上的投影为， 又， 由勾股定理可得点到直线的距离为. 故答案为： 【变式1-2】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】设为三角形的边上的高，由三点共线，以及，可通过待定系数得出，结合模长公式即可得解. 【详解】由题意设为三角形的边上的高，而， 因为三点共线，设， 因为，所以，解得， 所以，所以点到直线的距离为. 故答案为：. 【变式1-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得； （2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直. 【详解】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 【考点2： 利用空间向量求点面距 】 【典例2】（21-22高二上·北京·期中）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，平面，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连结，设，设为的中点，连结，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面． （2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的大小． （3）利用向量法可求点到平面的距离 【详解】（1）连结，设， 因为四边形为正方形，所以为中点．设为的中点，连结， 则，且． 由已知，且， 所以，．所以四边形为平行四边形． 所以，即． 因为平面DEF，平面， 所以平面． （2）由已知平面，所以，， 因为四边形为正方形，所以，所以两两垂直， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）， 因为， 所以，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得． 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以． 即直线与平面所成角为． （3），平面的一个法向量为， 则点到平面的距离． 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角大小的求法，考查点到面的距离的求法，属中档题． 【变式2-1】（23-24高二上·广东中山·期中）如图，在几何体中，底面为正方形，，平面平面，. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量后可求点面距. （2）求出直线的方向向量和平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【详解】（1）平面平面，且平面平面， 取的中点为坐标原点， 因为四边形为等腰梯形，所以连结与的中点的直线与垂直， 而平面，则平面， 如图，连结与的中点，则， 以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：    得，，，，，， ，，， 设平面的一法向量为， 由，即，取，， 平面的一法向量为， 因此点到平面的距离； （2）由于，，， 设平面的法向量为，， 由，即，取，， 求得平面的一个法向量为. 因此与平面所成的角的正弦值为 . 即因此与夹角的正弦值为. 【变式2-2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知． (1)求在上的投影向量； (2)若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)若点，求点P到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量； （2）根据可求的坐标； （3）根据点面距公式可求点P到平面的距离． 【详解】（1），，故在上的投影向量为， 而. （2）设，则，故， 故的坐标为. （3），设平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 故点P到平面的距离为. 【变式2-3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．      (1)证明：平面平面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点，以AD，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面一个的法向量，根据平面法向量平行可得证 （2）根据到平面的距离的空间向量公式即得 【详解】（1）以为原点，以AD，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，．     设平面的一个法向量， 则，即，令，则，所以 设可得平面的一个法向量， 则，即，令，则，所以， 因为，两平面又不重合， 所以平面平面． （2）因为，所以， 由（1）知平面的一个法向量， 则． 【变式2-4】（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 【考点3：转化与化归思想在求空间距离中的应用 】 【典例3】（2023高三·全国·专题练习）已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 【答案】 【分析】先证明平面 平面 ，再建立空间直角坐标系，求出以及平面 的法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案. 【详解】正方体中，,故四边形, 所以 ，同理 ， 所以平面 平面 ， 以D为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则 ，所以 ， 令 ，则 ， 则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d， 则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离， 所以平面与平面间的距离为． 【变式3-1】（22-23高二上·河北沧州·阶段练习）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 【变式3-2】（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面 平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以 平面， 平面， 又，平面， 所以平面 平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量的模长关系可得，进而可求，即可得二面角. 【详解】设，则且， 因为，解得， 可得， 且，所以， 所以二面角的大小为． 故选：C. 【考点4：利用向量方法求两异面直线所成角（定值）】 【典例4】（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，为侧棱上的点，且，点，分别为，的中点． 求异面直线与所成角的余弦值； 【答案 【分析】根据正三棱柱性质建立空间坐标系，由空间向量可求得异面直线与所成角的余弦值为； 【详解】取的中点，连接，， 由正三棱柱性质可知平面，又， 平面， 可得，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空问直角坐标系， 则， 所以， 由于， 所以异面直线与所成角的余弦值为 【变式4-1】（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求出结果. 【详解】取中点，连接，如图，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则, 又，分别为母线、的中点，所以， 则，， 设异面直线和所成角的， 则，又，所以. 故选：C. 【变式4-2】（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）在正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意利用空间向量求出向量夹角的余弦值，即可得出结果. 【详解】根据题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 又因为异面直线的夹角范围是， 因此异面直线所成角的余弦值为. 故选：A 【变式4-3】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用求空间向量夹角余弦值的公式计算即可. 【详解】设两条异面直线所成的角为，且这两条异面直线的方向向量分别是，， 则，且， 所以两条异面直线所成的角， 故选：A. 【考点5：利用向量方法求直线与平面所成角】 【典例5】（23-24高二上·河北唐山·期末）如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，E为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据“由中点找中点”得到，易得平面； （2）根据题设建系，求出相关点和向量的坐标以及平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 如图，取的中点F，连结，. 因为E为的中点，所以，.                     因为，，所以，.                     即四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2） 如图，取的中点O，的中点G，连结，，则， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，故.                                 分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，则，，， 故，，，                 设平面的一个法向量为， 则令，则                 设直线与平面所成角为，则 . 即直线与平面所成角的正弦值为. 【变式5-1】（23-24高二下·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由线面垂直判定定理证明平面，又平面，从而可求解. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用向量法求解线面角，从而可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，，因为，所以． 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 由，，所以在和中 ，所以，因此， 因为，平面，所以平面， 又因为平面POC，所以． . （2）以O为坐标原点，所在直线为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，， 则，，． 设是平面的一个法向量，则，即，可取． 所以． 因此与平面所成角的正弦值为． 【变式5-2】（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中， 为棱的中点，平面. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，证明即可. （2）由题意先证明平面，即是平面的一个法向量.结合线面角的正弦公式即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又， 由题可知两两互相垂直，所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系. 又，为棱的中点， 易知. 所以，所以， 所以. （2）因为平面，平面，所以. 由（1）知， 又，平面， 所以平面，即是平面的一个法向量. 又因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式5-3】（23-24高二上·福建福州·期末）在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求与平面成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法1：构造平行四边形，证明线线平行，即可证明线面平行；法2：利用向量法证明线面垂直； （2）利用向量法求线面角. 【详解】（1）法1：取的中点,连接,, 依题意可知：且,且 所以且,四边形为平行四边形，故， 又平面,平面,所以平面.    法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，，，,, ，， 设平面的法向量， 则，取，得， ,又面，所以平面，    （2）由（1）， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的余弦值为. 【考点6：已知直线与平面所成角求参数】 【典例6】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段上．    (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明， ，推出，然后证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量法求解即可. 【详解】（1）在平行四边形中，因为，， 所以，故， 由E、F分别为的中点，得，所以， 因为底面，底面ABCD，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）   因为底面，，所以两两垂直， 分别以所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则， 所以，由已知， 即，所以 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，得， 所以， 化简得，故或（舍）. 所以. 【变式6-1】（23-24高二上·福建三明·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，且为锐角．在梯形中，，，，平面平面． (1)证明：平面; (2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）利用面面垂直得到平面，进而得到，再结合线面垂直的判定定理证明即可; （2）由可得，并建立空间直角坐标系，利用向量法表示出线面角，从而求得. 【详解】（1）因为平面平面，，平面， 平面平面， 所以平面， 又因为平面,所以， 因为四边形为菱形，所以， 又，平面，所以平面， （2） 设，取中点,连接, 易得,因为平面，所以平面, 因为， 所以． 因为为锐角，所以，所以为等边三角形， 所以，． 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面CEF的一个法向量，则， 即， 取，可得，，故， 假设存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为， ， 设，由,得， 即，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，即或，又因为，所以， 故存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为. 【变式6-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且，为的中点，为的中点， ． (1)证明：平面． (2)若不是的中点，且直线与平面所成角的正切值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）取中点，连，先证，根据线线平行，再证线面平行； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法，根据所给线面角的大小确定点的位置, 【详解】（1）设的中点为，连接，，如图：    则，， 又，， 所以，，即为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面． （2）不妨设与平面所成的角为，则，即． 如图，连接．    因为底面为菱形，且，所以为等边三角形，为中点，所以， 又，所以. 又中，，，所以：，所以. ，，平面且，所以平面， 平面，所以：，. 所以，，两两垂直. 以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 由，得，，，，，. 所以，，．设平面的法向量为， 则 ， 令，得平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，由 . 则， 解得或（舍去），即． 【考点7：利用向量方法求两个平面的夹角（定值）】 【典例7】（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算出即可得证； （2）求出平面、平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图，以，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， ， 所以，， 所，即， 所以； （2）因为，， 设平面的法向量为， 则，即， 令则，所以， 由（1）可知， 又，，且，平面， 平面， 则是平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式7-1】（23-24高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点 (1)求证： 平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证四点共面，再证明 ，由线线平行得到线面平行. （2）建系，分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，代入二面角的向量公式求出即可. 【详解】（1）连接，因为分别为的中点，所以 在三棱柱中， .所以 四点共面. 因为 分别为的中点，所以 . 所以四边形为平行四边形. 所以 .因为平面平面， 所以 平面. （2）由题设平面，所以. 因为， 所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 所以. . 平面的一个法向量是，设平面的法向量为， 则即 令，则.于是， 设二面角的平面角为， 则，由图可知为锐角，所以. 【变式7-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． (1)求证：平面． (2)点是线段的中点，求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）先证明，再利用面面垂直的性质定理得结论； （2）利用两两垂直建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角. 【详解】（1）因为在梯形中，，，，如图： 过作交于，可得， 则， 所以，得， 又平面平面，平面平面，面， 所以平面； （2）因为四边形为矩形 所以， 又平面平面，又平面平面，平面， 所以平面， 则两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取可得， 设平面的法向量为， 则，取可得， 所以. 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 【变式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面. (1)证明:； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由余弦定理和勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而得到面面角的余弦值. 【详解】（1）因为，，， 在中，由余弦定理可得， 于是，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以 （2）因为四边形为正方形，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系. ，，，，，， ，，，. 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，则，故， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，则，故， 所以， 记平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【考点8：已知平面与平面所成角求参数 【典例8】（23-24高二上·江西·期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，是线段PC的中点，是线段BC上一点，，． (1)证明：平面平面PBC； (2)若平面AEF与平面ABC的夹角为，求CF． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可证平面，可得，进而可证平面，即可得结果； （2）建系，设，利用空间向量处理面面夹角问题. 【详解】（1）由平面，平面，可得，， 在中，，，可得， 在中，，，则，可得， 且，，则平面， 由平面得， 因为，是的中点，则， 且，平面，可得平面， 由平面得，平面平面PBC． （2）存在点满足条件， 以为原点，分别为轴所在直线，过与平行的直线为轴所在直线，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，，， 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为， 由题意可知：平面的一个法向量为， 因为，解得，即， 所以存在点使平面与平面的夹角为，此时． 【变式8-1】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在三棱锥中，，，为的中点．    (1)证明：平面ABC； (2)若点在线段BC上（异于点，），平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，求出各边长，由勾股定理逆定理得到⊥，结合⊥，得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，利用面面角的余弦值得到方程，求出，得到. 【详解】（1）连接， 因为，，所以， 由勾股定理逆定理得， 故， 因为，所以为等边三角形， 又为的中点， 所以⊥，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面， 所以⊥平面； （2）因为，为的中点， 所以⊥， 由（1）可知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故 平面的法向量为，    所以， 因为平面与平面的夹角为， 故，解得，负值舍去， 故. 【变式8-2】（2024·云南昆明·一模）如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，． 【分析】（1）利用勾股定理及逆定理判定线线垂直，得出线面垂直再证面面垂直即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面夹角，计算即可. 【详解】（1）因为，是的中点，所以， 在直角中，，，所以， 在中，，，所以，得， 又平面，平面，所以， 又，，所以平面， 由平面得， 又，所以平面， 由平面得，平面平面． （2）存在点满足条件， 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 由已知得，解得，即， 所以存在点使平面与平面的夹角为，此时． 【变式8-3】（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为中点 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）取中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，过点作的平行线，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）取中点，连接， 因为分别为中点，则 ， 即四边形为平行四边形，则， 又平面平面，则平面； （2）存在点，证明如下： 取中点，连接， 因为，则， 又平面平面，平面平面平面， 则平面， 过点作平行线，交于， 因为平面， 则， 过点作的平行线， 则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 注意到，则，故， 则， 设，则， 设为平面的一个法向量， 则，即， 令，则，则平面的一个法向量， 设为平面的一个法向量， 则，即， 令，则， 则平面的一个法向量， 因为二面角余弦值为， 则， 解得， 故当为中点时，满足题意. 一、单选题 1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设出夹角，由，求出答案. 【详解】设与所成角的大小为， 则. 故选：A 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合二面角是锐角以及法向量夹角余弦的坐标运算公式即可得解. 【详解】过点作交于点， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为，，为的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，解得，即可取， 显然可取平面的法向量为，且二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 二、多选题 3．（23-24高二上·浙江·期末）已知空间四点，则下列说法正确的是（    ） A． B．以为邻边的平行四边形的面积为 C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面 【答案】AC 【分析】对于A，直角由向量数量积的坐标运算即可得解；对于B，由向量夹角余弦公式、三角函数平方关系以及三角形面积公式即可验算；对于C，发现，进一步只需求即可验算；对于D，设，判断该方程组是否有解即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 从而以为邻边的平行四边形的面积为，故B错误； 对于C，，因为，所以， 所以点O到直线的距离为，故C正确； 对于D，，设， 则，而该方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面. 故选：AC. 4．（23-24高二上·全国·期末）已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（    ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，由可判断A；证明，，再由线面垂直的判定定理可判断C；计算的值可得线面角的正弦值，再求出夹角的余弦值可判断B；利用向量求出点到平面的距离可判断D. 【详解】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， ，，， 对于A：，， 因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确； 对于C：因为 ，，， 所以，，所以，， 因为，平面，所以平面，故选项C正确； 对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量， 因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确； 对于D：因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为，故选项D不正确. 故选：ABC. 5．（23-24高二上·江西九江·期末）在长方体中，，，则（    ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】在长方体中，，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， ，，，，，，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 对于， 设直线与平面所成角为， 直线与平面所成角的正弦值为：; 直线与平面所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，设直线与平面所成角为， 则，直线与平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于， 点到平面的距离为，故C正确； 对于， 点到平面的距离为，故D正确． 故选：BCD． 6．（23-24高二上·河北邢台·期末）在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为，则、、、， 设点，其中，则，， 所以，， 当时，，则，则， 所以，， 因为，所以，， 故选：BD. 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】计算，即可得出答案. 【详解】， 所以二面角的大小可能为或． 故选：BC 8．（23-24高二上·河南信阳·期末）如图，在正四棱柱中，M是的中点，，则（    ） A． B．平面 C．二面角的余弦值为 D．到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，，则， 所以不垂直，故A错误； 对于B，，所以， 所以，是平面的一个法向量，即平面，故B正确； 对于C，易知平面的一个法向量， 而， 所以二面角的余弦值为，故C正确； 对于D，到平面的距离，故D正确. 故选：BCD. 三、解答题 9．（22-23高二上·海南省直辖县级单位·期末）四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD．    (1)证明：； (2)若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直和面面垂直的条件可得线面垂直，故得线线垂直； （2）由（1）的结论，结合题设条件，建立空间直角坐标系，分别求出相关点的坐标，计算两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面PBD， 因为平面PBD，故 （2）    如图，设，则O为AC、BD的中点， 由可得， 又因为平面PBD，平面PBD，所以， 因为，AC、平面ABCD， 所以平面ABCD， 故可以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 且为PA与平面ABCD所成角， 由于四边形ABCD为边长为，的菱形， 所以， 则，，，，， 由，∴， 得，且 设平面的法向量为， 则，,故可取， 又平面BCD的一个法向量为， 所以， 所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为 10．（2024·湖南长沙·一模）正四棱柱中，分别是棱的中点，. (1)求正四棱柱的体积； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由正四棱柱的性质可证为平行四边形，故，从而可得，再根据相似形可求棱柱的高，故可得体积； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后可求锐二面角的余弦值. 【详解】（1）连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以. 因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 所以正四棱柱的体积. （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， ， 则， 令，则， 则平面的法向量为. 设平面的法向量为， ， 则， 令，则， 则平面的法向量为. . 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 11．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)若平面AEF，求的值； (2)在（1）的条件下，求平面AEF与平面PAE夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建系，求平面的法向量，结合线面平面的向量关系分析求解； （2）由（1）可得平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 如图，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，过作平行线为轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，， 因为，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 若平面AEF，则，解得. （2）由（1）可得：平面的法向量为， 由题意可知：平面的一个法向量， 设平面与平面所成夹角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 12．（2024·河北·一模）如图，P为圆锥的顶点，为圆锥底面的直径，为等边三角形，O是圆锥底面的圆心．为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E为线段中点．    (1)求证：平面平面； (2)M为底面圆O的劣弧上一点，且．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）    设交于点，因为为圆锥底面的直径， 所以由垂径分线定理可知， 又因为为底面圆O的内接正三角形， 所以，即点是的中点， 又因为点E为线段中点，即是三角形的中位线， 所以， 由题意面， 所以面， 又因为面， 所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：    显然可取平面的一个法向量为， 因为，等边的边长为， 所以由正弦定理得圆的半径为，从而，即， 而，所以，即， 因为为等边三角形，是三角形的中位线， 所以，即， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 即可取平面的一个法向量为， 从而. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 13．（23-24高二上·浙江·期末）如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面平面．    (1)求证：； (2)求平面与平面所成锐角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，推导出，利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，推导出平面，可得出，利用正方形的性质可得出，可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接、， 因为四边形为正方形，则，， 因为，，，，则， 由余弦定理可得， 所以，，则，则， 因为平面平面，平面平面，， 平面，则平面， 因为平面，则， 因为，、平面，则平面， 因为平面，则， 因为，、平面，则平面， 因为平面，则. （2）解：因为平面，，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 因此平面与平面所成锐角的余弦值为. 14．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，四棱锥的底平面是边长为2的菱形，，，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先通过证明平面得到，在通过证明即可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面平面角. 【详解】（1）如图，连接与交于点， 则为中点，也为中点，连接，． 因为，所以， 又，，是平面内两条相交线， 所以平面，平面，所以， 因为，分别为，中点，所以， 因为，所以．又，是平面内两条相交线， 所平面；   . （2）因为平面，所以平面平面， 作，交点为，则平面， 又平面，所以， 由，又，平面 所以平面，又平面，所以， 由于四棱锥的底平面是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，又，， 所以点即为的垂心，也为重心， 则，，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，    则，，， 则，， 设平面的一个法向量， 由，即，取， 又平面的一个法向量 所以， 即平面与平面夹角的余弦值. 15．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得. （2）以直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值. 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面， 因为平面，平面平面 （2）过点作，垂足为， 在中，， 所以，因为， 所以，设， 以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得 设二面角的大小为，易得为锐角， 则，所以二面角的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$