专题04 立体几何初步（4类经典基础题+5类优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）

专题04 立体几何初步 基本立体图形 1．（22-23高一上·湖南长沙·期末）在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·湖南长沙·期末）四面体中.若.则点在平面内的射影点是三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 3．（22-23高一下·天津红桥·期末）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为 . 立体图形的直观图 1．（22-23高一下·山东德州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知水平放置的正方形ABCD的斜二测画法直观图的面积为，则正方形ABCD的面积是（    ） A． B． C．8 D．16 4．（22-23高一下·广西·期末）已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（     ） A．4 B．2 C． D．1 简单几何体的表面积和体积 1．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为 (结果保留)； 4．（22-23高一下·湖南岳阳·期末）已知圆台上下底面半径分别为3，4，圆台的母线与底面所成的角为45°，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为 ． 空间点线面的位置关系 1．（19-20高一下·江苏连云港·期末）在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． （多选）2．（23-24高一下·广东·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 （多选）3．（22-23高一下·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（    ） A．直线与直线相交； B．直线与直线平行； C．直线BM与直线是异面直线； D．直线与直线成角. （多选）4．（22-23高一下·江西吉安·期末）如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱CD的中点，则（    ）    A．四面体的体积与表面积的数值之比为 B．点到平面的距离为 C．异面直线与所成的角为 D．过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 5．（22-23高一下·云南文山·期末）在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且，则 ，四棱锥的外接球的体积为 ． 组合体表面积和体积 1．（22-23高一下·辽宁·期末）已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为，体积分别为，若，则 ． 2．（22-23高一下·山东潍坊·期末）将半径均为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，则由球心A，B，C，D构成的四面体的外接球的表面积为 ，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为 .    3．（22-23高一下·河南开封·期末）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为，则正四面体的棱长为 .    4．（22-23高一下·山东日照·期末）某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花． (1)求该烟花的体积； (2)工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）， ①请用表示燃料的体积； ②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间． 外接球、内切球、棱切球 1．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，若其侧棱上的八个三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江西抚州·期末）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 5．（22-23高一下·安徽合肥·期末）在四棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 . 截面问题 1．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（    ）    A． B． C． D． （多选）2．（22-23高一下·安徽蚌埠·期末）勒洛四面体是一个非常神奇的四面体，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分､如图所示，若勒洛四面体内的正四面体ABCD的棱长为a，则（    ）      A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．过三点的截面面积为 D．勒洛四面体的体积满足 3．（22-23高一下·福建三明·期末）已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和的中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为 ．    4．（22-23高一下·辽宁·期末）如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 最值问题 1．（19-20高一·浙江·期末）已知菱形边长为1，，对角线与交于点O，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点O到直线距离的最值为（    ） A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为 2．（20-21高一上·陕西宝鸡·期末）在棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）3．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）    A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为 （多选）4．（22-23高一下·辽宁鞍山·期末）在棱长为1的正方体中，为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．随着点移动，三棱锥的体积有最小值为 B．三棱锥体积的最大值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．作体对角线的垂面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大 5．（22-23高一下·北京平谷·期末）已知棱长为2的正方体，点是线段上一动点．给出如下推断：    ①对任意点，总有； ②存在点，使得平面； ③三棱锥体积的最大值为4． 则所给推断中正确的是 ． 多面体性质探究 （多选）1．（21-22高一下·全国·期末）如图，在菱形中，，，沿将翻折至，连接，得到三棱锥，是线段的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（    ） A．在棱上总存在一点，使得平面 B．当时，三棱锥的体积为 C．当平面平面时， D．当二面角为120°时，三棱锥的外接球的半径为 （多选）2．（20-21高一下·浙江·期末）如图，矩形ABCD中，已知，，E为AD的中点.将沿着BE向上翻折至，记锐二面角的平面角为，与平面BCDE所成的角为，则下列结论可能成立的是（    ）    A． B． C． D． （多选）3．（22-23高一下·江西南昌·期末）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着和分别作上底面的垂面，垂面经过棱的中点，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若，则（）    A． B． C．平面 D．几何体2的表面积为 4．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 5．（22-23高一下·辽宁大连·期末）如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，点为直角顶点.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形，设.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，，则为何值时，四边形的面积最小，并求出最小值： (3)当平面平面时，求四面体体积的最大值. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 立体几何初步 基本立体图形 1．（22-23高一上·湖南长沙·期末）在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧. 分别为，则； 当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面上以为圆心，1为半径， 在平面上以B为圆心，1为半径的， 在平面上以D为圆心，1为半径的， 则.所以． 故选：C． 2．（22-23高一上·湖南长沙·期末）四面体中.若.则点在平面内的射影点是三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【详解】设在平面射影为， ∵（公用边），， ∴， ∴. ∴是三角形的外心． 故选：B． 3．（22-23高一下·天津红桥·期末）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为 . 【答案】/ 【详解】   设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 由题意可知，底面圆的周长为，故，， 则该圆锥的母线长与底面半径的比为. 故答案为：2. 立体图形的直观图 1．（22-23高一下·山东德州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测法则知，， 所以. 故选：C． 2．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图， 因为斜二测直观图为矩形，，, 则， 可得原图中（右图），, , 四边形的面积为. 故选：D. 3．（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知水平放置的正方形ABCD的斜二测画法直观图的面积为，则正方形ABCD的面积是（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以正方形ABCD的面积为16， 故选：D. 4．（22-23高一下·广西·期末）已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（     ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】根据斜二测画法的知识可知， 所以图形的面积是. 故选：C 简单几何体的表面积和体积 1．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 取中点，连接，因为是边长为6的正三角形，， 则由三线合一可知， 所以二面角的平面角为， 取三角形的外心，设外接球的球心为，则平面， 且，其中为四面体外接球的半径， 过点作垂直平面，垂足为点，由对称性可知点必定落在的延长线上面， 由几何关系，设， 而由正弦定理边角互换得， 进而， 由勾股定理得， 从而，， 所以，， 所以由得，，解得， 所以四面体的外接球的表面积为. 故选：B. 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，连接，，    容易求得，. 取的中点，连接，易得，则， 所以多面体的体积 . 故选：B 3．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为 (结果保留)； 【答案】 【详解】不妨设矩形的一条边为，则矩形的另一条边为， 则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为， 从而圆柱的侧面积为， 当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值. 故答案为：. 4．（22-23高一下·湖南岳阳·期末）已知圆台上下底面半径分别为3，4，圆台的母线与底面所成的角为45°，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为 ． 【答案】 【详解】由题意，作出圆台的轴截面如下图示, 故，    设球心为，球半径为， 由于，则，可得， 所以该球体积为． 故答案为： 空间点线面的位置关系 1．（19-20高一下·江苏连云港·期末）在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，画出三棱锥，分别作出的中点，的中点，的中点，连结，，，所得图形如下图： 根据中位线的性质可得：，，且，，所以异面直线与所成角即为和所成锐角，由于，，所以在等边中，， 同理在等边中，，故，所以为等边三角形，故， 所以在中，，，，故由余弦定理可得：， 由于异面直线的夹角范围为，所以异面直线与所成角为的补角，即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B （多选）2．（23-24高一下·广东·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线为， 所以圆台的高为：， 根据线面角定义求出母线与底面所成角，A正确； 对于B，由圆台的侧面积公式， 求得圆台的侧面积为：，B正确； 对于C，由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：，C错误； 对于D，由题意可知球心在下底面下方，设球心到下底面的距离为， 由勾股定理得，解得， 则该球的半径为，所以该球的表面积为，D正确． 故选：ABD. （多选）3．（22-23高一下·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（    ） A．直线与直线相交； B．直线与直线平行； C．直线BM与直线是异面直线； D．直线与直线成角. 【答案】CD 【详解】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体， 对于A中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾）， 所以直线与为异面直线，所以A不正确； 对于B中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾）， 所以直线与为异面直线，所以B不正确； 对于C中，平面平面，平面，平面， 所以直线与不相交，连接，则，而与相交， 所以与不平行，否则，不合题意， 所以直线与是异面直线，所以C正确； 对于D中，连接，则为正三角形，可得， 又由，则为直线与直线所成的角， 即直线与直线所成的角为，所以D正确. 故选：CD. （多选）4．（22-23高一下·江西吉安·期末）如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱CD的中点，则（    ）    A．四面体的体积与表面积的数值之比为 B．点到平面的距离为 C．异面直线与所成的角为 D．过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为正方体的棱长为1，所以四面体为， 表面积为， 所以四面体的体积与表面积的数值之比为，所以A正确， 对于C，因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以，即异面直线与所成的角为，故C不正确；    对于B，根据证明的方法，同理可得， 因为，平面，所以平面，则的长度就是点到平面的距离， 显然为正三角形的中心，因为正方体的棱长为1， 所以正三角形的边长为，所以，又， 所以，即点到平面的距离为，故B正确； 对于D，取的中点，连接，，，， 因为∥，∥，，， 所以∥，, 因为，， 所以，所以四边形为等腰梯形， 所以等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，如图：    因为，，， 所以等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为， 即过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确. 故选：ABD. 5．（22-23高一下·云南文山·期末）在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且，则 ，四棱锥的外接球的体积为 ． 【答案】 / 【详解】空1：如图所示，延长BA，CF，交于G，连接EG，与PA交于K，则， 过A作，与EG交于H，又， 则， 又因为，所以；    空2：底面是正方形的四棱锥，连接AC和BD交于O，设球心为I，可得， 因为球心I到A，B，C，D距离等于球的半径R， 则，解得， 所以外接球的体积． 故答案为：；.      组合体表面积和体积 1．（22-23高一下·辽宁·期末）已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为，体积分别为，若，则 ． 【答案】 【详解】第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系. 设圆台的母线长为，高为，上、下底面圆心分别为，，半径分别为，，球的球心为，半径为，做出该组合体的轴截面如图所示，连接，易知点为的中点，则．设为球与圆台侧面的一个切点，连接，根据切线长定理可得，（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等） 所以（勾股定理的应用）所以， 第二步：用，表示出圆台和球的体积. 则，， 第三步：根据得到，之间的关系. 即． 第四步：求出， 因为，，（圆台的表面积公式），故， 故答案为：. 2．（22-23高一下·山东潍坊·期末）将半径均为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，则由球心A，B，C，D构成的四面体的外接球的表面积为 ，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为 .    【答案】 【详解】由球心A，B，C，D构成的四面体是正四面体，其棱长为4， 将正四面体补形成一个正方体，正方体的棱长为，正四面体的棱是正方体各面的对角线，如图所示，    则正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即外接球的半径，外接球的表面积为. 对于正四面体中， 若边长为a， 为正四面体外接球球心，H是正四面体底面三角形的中心，如图所示，    由于M为CD的中点，所以， 则，， 设外接球的半径为R，则， 中，，解得， 所以，即正四面体的中心到正四面体底面的距离为， 半径均为2的四个球堆成的“三角垛”，由球心A，B，C，D构成的四面体，棱长为4，该三角垛能放入一个正四面体容器内， 则该容器棱长的最小值时，此时每个小球均与正四面体的面相切，任意两个小球外切， 设这个正四面体容器棱长为，则有， 解得，则该容器棱长的最小值为. 故答案为：；. 3．（22-23高一下·河南开封·期末）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为，则正四面体的棱长为 .    【答案】/ 【详解】设正四面体的棱长为a，根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心，    由正四面体的性质可知该球球心为正四面体的中心， 即为正四面体外接球的球心（内切球的球心）， 则为正四面体的外接球的半径，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为， 连接，则三点共线，此时，由题意，所以， 所以， 如图：    记为的中心，连接，由正四面体的性质可知在上. 因为，所以，则， 因为，即， 解得，所以，解得，即正四面体的棱长为. 故答案为： 4．（22-23高一下·山东日照·期末）某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花． (1)求该烟花的体积； (2)工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）， ①请用表示燃料的体积； ②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间． 【答案】(1) (2)① ；② 【详解】（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成， 又，，， 所以该烟花的体积； （2）①由图可知：，， 在梯形中，由，， 易知，故， 则， 所以； （2）由上问可知： 即 ， 令，则， 上式即为， 又令，，则， 当时，， 当时，， 当时， 当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意． 该烟花燃烧的最长时间为． 外接球、内切球、棱切球 1．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球在8个顶点不能到达的空间相当于棱长为2的正方体挖去一个半径为1的球， 其体积为， 小球在，，，这4条棱不能到达的空间相当于一个长为3，宽为2，高为2的长方体挖去一个底面半径为1，高为3的圆柱， 其体积为， 小球在，，，这4条棱不能到达的空间相当于一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆柱， 其体积为， 小球在，，，这4条棱不能到达的空间相当于一个长为2，宽为2，高为1的长方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆柱， 其体积为， 所以小球不能到达的空间的体积为， 故选：B.    2．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，若其侧棱上的八个三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如第一个图所示，正四棱锥中，其侧棱上的八个三等分点构成正四棱台，且正方形的边长为2，正方形的边长为4； 正四棱台中，设、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高．        ，， 在直角梯形中，， 由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，， 若在线段上（如第二个图所示），由得，因为，，所以方程无实数解， 因此在的延长线上（如第三个图所示），即在平面下方， 因此有，解得， 所以球表面积为． 故选：D 3．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接. 则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为. 则易知，，设球的半径分别为. 因为，根据重心定理可知，. ，，，，. 由可得，， 即，解得，，所以. 由可得，， 即，解得， 所以，球的体积为. 故选：A. 4．（22-23高一下·江西抚州·期末）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【详解】取的中点，连接，因为， 所以和都是等边三角形，所以， 所以是二面角的平面角，即， 设球心为，和的中心分别为，则平面，平面， 因为，公共边，所以≌， 所以， 因为，所以， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为 故答案为：    5．（22-23高一下·安徽合肥·期末）在四棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】根据题意画出图形，取的两个三等分点，连接，设，连接，则， 所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以是的外接圆的圆心，， 因为，公共边， 所以≌≌， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，平面， 所以平面，且， 设为三棱锥外接球的球心，连接，则平面， 过作于点， 则三棱锥外接球的半径满足， 设，则，解得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为， 故答案为：    截面问题 1．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图1，延长与交于点，连结，与交于点， 连结，则四边形为所求截面， 其中，，    如图2，，所以，即，    如图1，若，则，所以， 即点是的中点， 所以， 中，， 所以， 所以四边形的周长为. 故选：B （多选）2．（22-23高一下·安徽蚌埠·期末）勒洛四面体是一个非常神奇的四面体，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分､如图所示，若勒洛四面体内的正四面体ABCD的棱长为a，则（    ）      A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．过三点的截面面积为 D．勒洛四面体的体积满足 【答案】ACD 【详解】由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值，故A正确； 勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，    其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心， 由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接，易知，，三点共线， 设正四面体的外接球半径为， 由题意得：，解得， ，， 由题意得，故B错误； 勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图，    则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积， 即，故C正确； 对于D，勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间，    正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为， 正四面体的高为， 正四面体的体积， 设正四面体的外接球半径为，则由题意得： ，解得， 正四面体的外接球的体积为， 勒洛四面体的体积满足，故D正确． 故选：ACD． 3．（22-23高一下·福建三明·期末）已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和的中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为 ．    【答案】 【详解】如图，连接，延长分别交于，易知， 连接并延长交于，过作交于，连接， 因为，所以，故梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面， 因为，分别为和的中心，， 又，所以， 又是等边三角形，所以， 故，即是的中点，所以， 易知四边形为等腰梯形，所以为等腰梯形的高， 又正三棱柱各棱长都为2， 所以，，， 所以，    故答案为：. 4．（22-23高一下·辽宁·期末）如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接、、、， 则四边形即为过点、和的平面截直四棱柱所得截面； 取的中点，连接、，因为为的中点，为直四棱柱，底面为正方形， 所以且，且，所以且， 所以为平行四边形，所以， 又且，所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面. （2）在直四棱柱中，，、分别为、的中点， 所以， 所以四边形为菱形，连接，，则， 又，， 所以. 最值问题 1．（19-20高一·浙江·期末）已知菱形边长为1，，对角线与交于点O，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点O到直线距离的最值为（    ） A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为 【答案】B 【详解】，， 菱形边长为1，，， 点到的距离 当时，取得最大值, 当，取得最小值, 故选：B 2．（20-21高一上·陕西宝鸡·期末）在棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，分别取、的中点、，连接、、、， 因为四边形为正方形，则且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则且， 在正方体中，且，且， 所以四边形为平行四边形，可得， 平面，平面，平面， 同理可证平面， ，所以，平面平面， 在线段上任取一点，则平面，平面， 即点的轨迹为线段， 在中，，， 当时，即当为的中点，的长度取最小值，即， 当点与点或点的重合时，的长度取最大值，即. 因此，线段长度的取值范围是. 故选：C. （多选）3．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）    A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【详解】对于选项A：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 所以平面， 且平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以直线平面，故A正确； 对于选项B：因为∥，且，则为平行四边形，可得∥， 且平面，平面，所以∥平面， 又因为点在线段上运动，则到平面的距离为定值， 且的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对在选项C：由选项B可知：∥， 所以异面直线与所成角为直线与直线的夹角. 又因为，则为等边三角形， 当为的中点时，直线与直线的夹角最大， 可得，即直线与直线的夹角为； 当与点或重合时，直线与直线的夹角最小， 可得直线与直线的夹角为； 所以异面直线与所成角的取值范围是，故C错误； 对于选项D：当P为的中点时，直线即为直线， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设点到平面的距离为d，正方体的棱长为2， 因为， 由等体积法可得，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误；    故选：AB. （多选）4．（22-23高一下·辽宁鞍山·期末）在棱长为1的正方体中，为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．随着点移动，三棱锥的体积有最小值为 B．三棱锥体积的最大值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．作体对角线的垂面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大 【答案】BC 【详解】对于A，为定值，故A错误；    对于B，在正方体中，当点P在上时，三棱锥即的体积取最大值，，故B正确；    对于C，根据题意作图如下，在正方体中，， 平面，平面，， 因为，平面， 所以平面，平面，即， 因为，平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，即， 因为，所以平面，设， 连接，设，则为直线与平面所成角， 在中，， 因为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故C正确；    对于D，如下图，平面时，截面从A点到面过程中， 截面面积和周长都越来越大；从面到面过程中， 设，则，， 所以，，所以截面周长为， 所以面积先变大后变小而周长不变；从面到过程中，面积和周长越来越小， 故D错误. 故选：BC.      5．（22-23高一下·北京平谷·期末）已知棱长为2的正方体，点是线段上一动点．给出如下推断：    ①对任意点，总有； ②存在点，使得平面； ③三棱锥体积的最大值为4． 则所给推断中正确的是 ． 【答案】①② 【详解】对于①，    连接，因为底面为正方形，所以， 底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故①正确； 对于②，    取的中点，连接，设，连接， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 此时，当为与的交点时，有平面， 所以存在点，使得平面，故②正确； 对于③，    因为的面积是确定的，要使三棱锥体积的最大值，只须点到平面的距离最远，即点与点重合时可取最大值， 可得， 因为，， 所以，故③错误. 故答案为：①③. 多面体性质探究 （多选）1．（21-22高一下·全国·期末）如图，在菱形中，，，沿将翻折至，连接，得到三棱锥，是线段的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（    ） A．在棱上总存在一点，使得平面 B．当时，三棱锥的体积为 C．当平面平面时， D．当二面角为120°时，三棱锥的外接球的半径为 【答案】AC 【详解】对于A，取的中点，连接， ∵E，F分别是，的中点，∴， ∵平面，不包含于平面，∴平面，故A正确； 对于B，易得，为等边三角形， 取的中点，连接，， 则，，， ∴， 则点到平面的距离为， ∴三棱锥的体积，故B错误； 对于C，当平面平面时，平面平面， 因为为等边三角形，所以，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，∴，故C正确； 对于D，设三棱锥外接球的球心为，，的中心分别为，， 易得平面，平面，且，，，四点共面， ，， 在中，，又， 则三棱锥外接球半径，故D错误. 故选：AC. （多选）2．（20-21高一下·浙江·期末）如图，矩形ABCD中，已知，，E为AD的中点.将沿着BE向上翻折至，记锐二面角的平面角为，与平面BCDE所成的角为，则下列结论可能成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】记中点为，连接，连接与交于点，可得四边形是正方形， 所以，，故锐二面角的平面角为， 因为且平面，所以平面， 过作于H，则， 又因为，且平面，所以平面， 连接，则与平面所成的角为， 记，因为直角中，， 在直角中，，所以①，选项A成立； 将①平方得：，所以， 可得， 因为，都是锐角，则，所以， 又因为，， 根据余弦函数的单调性可知，可得，选项C成立； 因为，，若使，则需， 即当，可以成立，即B可能成立： 又由由，都是锐角，且，可得，则， 由选项C知，所以，选项D错误. 故选：ABC.    （多选）3．（22-23高一下·江西南昌·期末）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着和分别作上底面的垂面，垂面经过棱的中点，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若，则（）    A． B． C．平面 D．几何体2的表面积为 【答案】ABC 【详解】将几何体1与几何体2合并在一起，连接，记，易得，    对于A，因为在正四棱台中，， 是的中点， 所以， 又是的中点，，所以，则，， 又，所以， 所以四边形是平行四边形，则， 同理：， 所以四形边是边长为菱形， 在边长为的正方形中，， 因为是的中点，所以，， 所以，故A正确； 对于B，因为在正四棱台中，面面， 又面面，面面， 所以，又，所以，故B正确； 对于C，在四边形中，由比例易得， 由对称性可知，而， 所以，则，即， 而由选项B同理可证，所以， 因为在正方形中，，而，所以， 因为面，所以面， 对于D，由选项A易知四边形是边长为的正方形，上下底面也是边长为的正方形， 四边形是边长为的菱形，其高为， 所以几何体2是由4个边长为2正方形和8个上述菱形组合而成， 所以其表面积为，故D错误. 故选：ABC. 4．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【详解】（1）解：∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴， 又是的中点，，∴， ∵，所以平面. （2）解：∵底面是矩形，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角， 由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形， 又是的中点，，∴， ∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为. （3）解：取中点为，连接，， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面， ∴， 由（1）得平面，∵平面，∴， ∵，∴，又，∴, ∴， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得：， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．（22-23高一下·辽宁大连·期末）如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，点为直角顶点.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形，设.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，，则为何值时，四边形的面积最小，并求出最小值： (3)当平面平面时，求四面体体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或时，的最小值为 (3) 【详解】（1）四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ， 平面，平面，平面；    （2）取中点，连接，交于点， 过点作，交于点，连接， 过点作，垂足为. 是边长为2的等边三角形，，， 是二面角的平面角，， ，，， ，，平面，平面， 平面，， 同（1）过程可得：，，， ，， ， ，， 在中，， 四边形的面积， 当，，则或时，的最小值为.    （3）由（2）知，是二面角的平面角，设，， 点到平面的距离， 设，则，， 平面平面，，平面，平面， 平面，， 中，， ， ，， ，又因为，所以，， ，即四面体体积的最大值为， 此时， 解得， 因为，所以，. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$