第03讲 整式乘法与因式分解-2023-2024学年苏科版七年级下册数学期末专题复习《精讲·精练·精测》

苏科版数学七下期末专题复习 《精讲·精练·精测》 第03讲 整式乘法与因式分解 一、知识精讲 考点1：整式乘法的理解 1.单项式×单项式法则简记：系数乘系数，字母乘字母； 2.单项式×多项式法则简记：乘法分配律； 3.多项式×多项式法则简记：把其中一个括号当成一个字母（整体思想）。 方法点拨： (1)整式的乘法虽是代数问题，但考试时很多时候都会以几何图形面积的方式设计问题，所以在理解整式乘法法则时，可以借助计算图形面积的方式验证整式乘法的正确性；这就是所谓的数形结合的数学思想。 (2)法则中的每个字母实质上是个“空”，里面可以填任何可以运算的数或字母或整式等。 考点2：乘法公式 1.平方差公式： 2.完全平方公式： 　　　 方法点拨： (1)乘法公式的理解要从计算和图形两个方面理解，即数形结合；这是考试的重点； (2)乘法公式的考查会从以下六个方面的使用方式考查，这是重点！ (3)公式中的字母可以代表数，或字母，或整式等。 考点2：因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法： （2）运用公式法： 平方差公式：；完全平方公式： （3）十字相乘法： （4）分组分解法：将四项分为3+1或2+2两组，然后利用之前的方法分解。 3.因式分解的一般步骤：提→用→查 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式； （3）检查分解结果是否符合要求. 易错提醒： （1）因式分解的对象是多项式；例：！ （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止． 二、方法精讲 问题：乘法公式有哪些使用方式？ 方法点拨： 乘法公式的六种使用方法： 三、 题型精讲与精练 题型1：公式的直接套用 例1（1）.(直接代入)先化简，再求值：，其中，． 【考点精练】 1． 先化简，再求值，其中． 2． 先化简，再求值：．其中，． 3． 先化简，再求值：，其中，． 4． 先化简，再求值：，其中． 例1（2）. (整体代入)已知，求代数式的值． 【考点精练】 1． 已知：，求的值． 2． 先化简，再求值：，其中． 3． 已知，求代数式的值． 4．先化简，再求值：，其中． 题型2： 数形结合问题 例2．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和． (1)①计算：______；______； ②用“”，“”或“”填空：______． (2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为． ①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）； ②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【考点精练】 1．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：______； (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，则的值为______； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 2．图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状围成一个正方形．    (1)图中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ； (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图，它表示了 ； (4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 3．现有甲、乙、丙三种卡片各若干张，其中甲、丙为正方形卡片，乙为长方形卡片，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为． (1)①请用含的式子分别表示，即______，______； ②当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 4．一个图形，可通过不同的方法计算出面积，从而得到一个数学等式，例如：由图1可以得到， 左表示长为，宽为的矩形（长方形）面积； 右表示块边长为的正方形面积、块长为，宽为的长方形面积、块边长为的正方形面积和．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式：______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 题型3： 因式分解(公式的逆向使用和连续使用) 例3. 因式分解： (1)； (2)． 【考点精练】 1．将下列各式分解因式： (1)； (2)． 2．分解因式：（1） （2） 3．把下列各式分解因式． (1)； (2)； 4．把下列多项式因式分解： (1) (2) 题型4：公式的变形使用 例4．已知，，求的值． 【考点精练】 1． 先分解因式，再求值．其中，． 2． 已知，求的值． 3． 已知，，求的值． 4． 已知，xy＝3，求的值． 5．已知求： (1)的值； (2)的值． 6．已知，，求的值． 7．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 8．已知，．求的值． 9．已知，，求与的值． 题型5：创造条件使用公式 例5．用简便方法计算：． ． 【考点精练】 1．用整式乘法公式计算： (1)； (2)． 2．小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： ． 请按照小明的方法： (1)计算； (2)直接写出的值． 3．已知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)图2中的阴影部分面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式） 图3中的阴影部分面积可表示为 ；（写成两数平方的差的形式） (2)比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是（    ） A.   B.  C. (3)请利用你得到的等式解决下面的问题：． ① 若，，则的值为 ； ②计算： ③的结果的个位数字为 ． 4．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形， 把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．  B． C．     D． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 题型6：整体套用公式 例6.计算：(1)；(2)． 【考点精练】 1．阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）两个问题． 例：计算（a﹣2b＋3）（a＋2b﹣3） ＝[a﹣（2b﹣3）][a＋（2b﹣3）]…………① ＝a2﹣（2b﹣3）2…………② ＝a2﹣4b2＋12b﹣9…………③ （1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的变形依据是 　 　，②→③的变形依据是 　 　．（填整式乘法公式的名称） （2）用此方法计算：（a＋2x﹣y﹣b）（a﹣2x＋y﹣b）． 2．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 3．学习新方法：把比较复杂的单项式、多项式看成一个整体，并用新字母代替（即换元），达到化繁为简的目的，这种方法称为“换元法”．请阅读以下材料，回答问题： 阅读材料（一）若，，试比较M，N的大小． 解：设，那么，． 因为，所以． 问题（1）请仿照例题比较下列两数大小：若，，则P___________Q．（填“>”或“＜”） 阅读材料（二）已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以：． 问题（2）已知实数x、y，满足，则___________； 阅读材料（三）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． 问题（3）请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系：___________； 若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 问题（4）请仿照上面的方法求解下面问题： ①已知，那么的值为___________． ②已知，用换元法求的值为___________． ③已知，如图3，正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以作正方形，则阴影部分的面积为___________． 4．学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路： (1)可以用“整体思想”把转化为：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种方法写出计算过程． (2)可以用“数形结合”的方法，面出表示的图形，请你在给出的方框中画出图形，并作适当标注．然后根据面积关系直接写出的结果． 四、 检测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则a的值是（    ） A．-2 B．0 C．0.5 D．2 2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 4．用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（    ） A． B． C． D． 5．我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（     ） A． B． C． D． 6．如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．把因式分解得，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知，，则代数式的值为（    ） A． B．30 C． D． 9．已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 10．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 2、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若，则 ． 12．若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为 ． 13．已知，，则 ． 14．若x满足，则的值是 ． 15．三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示） 16．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 17．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值． 18．因式分解： (1)； (2)． 19．学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可得到等式．请利用．解决下面问题：已知，，求代数式的值； (2)如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②若，，记直角三角形的面积为，正方形的面积为，则 ． 20．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式． (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． (3)若x满足，则的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； (5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版数学七下期末专题复习 《精讲·精练·精测》 第03讲 整式乘法与因式分解 一、知识精讲 考点1：整式乘法的理解 1.单项式×单项式法则简记：系数乘系数，字母乘字母； 2.单项式×多项式法则简记：乘法分配律； 3.多项式×多项式法则简记：把其中一个括号当成一个字母（整体思想）。 方法点拨： (1)整式的乘法虽是代数问题，但考试时很多时候都会以几何图形面积的方式设计问题，所以在理解整式乘法法则时，可以借助计算图形面积的方式验证整式乘法的正确性；这就是所谓的数形结合的数学思想。 (2)法则中的每个字母实质上是个“空”，里面可以填任何可以运算的数或字母或整式等。 考点2：乘法公式 1.平方差公式： 2.完全平方公式： 　　　 方法点拨： (1)乘法公式的理解要从计算和图形两个方面理解，即数形结合；这是考试的重点； (2)乘法公式的考查会从以下六个方面的使用方式考查，这是重点！ (3)公式中的字母可以代表数，或字母，或整式等。 考点2：因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法： （2）运用公式法： 平方差公式：；完全平方公式： （3）十字相乘法： （4）分组分解法：将四项分为3+1或2+2两组，然后利用之前的方法分解。 3.因式分解的一般步骤：提→用→查 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式； （3）检查分解结果是否符合要求. 易错提醒： （1）因式分解的对象是多项式；例：！ （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止． 二、方法精讲 问题：乘法公式有哪些使用方式？ 方法点拨： 乘法公式的六种使用方法： 三、 题型精讲与精练 题型1：公式的直接套用 例1（1）.(直接代入)先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，代数式求值，涉及完全平方公式的运用，掌握其运算规则是解题的关键．先根据运算顺序和计算法则把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 【详解】解：原式 ， 将，代入原式， 原式． 【考点精练】 1． 先化简，再求值，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查整式的乘法运算，代数式求值等知识．解题的关键在于正确的运算． 先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行运算，再合并同类项，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2． 先化简，再求值：．其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，根据完全平方公式，平方差公式，整式的加减化简，再将，代入求解即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 3． 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】此题考查了整式的混合运算—化简求值，先运用完全平方公式，平方差公式展开，然后合并同类项，最后代入数值计算即可解题． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 4． 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 例1（2）. (整体代入)已知，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查整式的化简求值，掌握乘法公式和单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项进行化简，最后用整体代入法求值． 【详解】 ， ． ∵， ∴． ∴原式． 【考点精练】 1． 已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式， 的值为． 2． 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2029 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式以及单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再求出，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 3． 已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，整式的乘法，解决本题的关键是利用整体的思想求解． 先将代数式展开得到，再将化简为，整体代入求值即可． 【详解】解： ． ， ， 原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】5 【分析】直接利用合并同类项法、完全平方公式、平方差公式展开化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ 原式． 题型2： 数形结合问题 例2．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和． (1)①计算：______；______； ②用“”，“”或“”填空：______． (2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为． ①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）； ②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】(1)①，；② (2)①，② 正确，理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题，整式加减中的无关型问题；掌握相关运算法则，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）①根据长方形的面积等于长乘以宽，列出代数式；②两个代数式作差判断大小即可； （2）①根据正方形的边长等于周长除以4，列出代数式即可；②用，进行判断即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：，； ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ② 正确 . 理由如下： ∵ ∴ ∵与的差是4 ∴ 与的差与m无关，小方的发现正确． 【考点精练】 1．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：______； (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，则的值为______； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 【答案】(1) (2)①45；② 【分析】（1）利用大正方形的面积个小正方形的面积个长方形的面积求解即可； （2）①结合（1）可得出，再代入求值即可； ②根据同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方的逆用法则可得出，由题意可得出，再根据，代入求值即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：①由（1）可知 ． 故答案为：45； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． 2．图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状围成一个正方形．    (1)图中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ； (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图，它表示了 ； (4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)如图所示（答案不唯一）． 【分析】（）阴影部分为边长为的正方形，表示出面积即可； （）图形中的阴影部分面积可以由大正方形的面积减去四个矩形的面积，即可得出等量关系； （）根据图形面积直接求与间接求，即可列出关系式； （）画出长为，宽为的长方形即可求解，答案不唯一，如图所示； 此题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：图中的阴影部分为边长的正方形，则面积为， 故答案为：； （2）解：图中的阴影部分面积为大正方形的面积减去四个矩形的面积， 即：， 故答案为：； （3）根据图形面积：得， 故答案为：； （4）如图，（答案不唯一），    3．现有甲、乙、丙三种卡片各若干张，其中甲、丙为正方形卡片，乙为长方形卡片，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为． (1)①请用含的式子分别表示，即______，______； ②当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)①，；②； (2)，理由详见解析． 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积问题． （1）①根据已知图形，确定长方形的长和宽，利用面积公式列式计算即可；②求出，将代入计算即可； （2）作差法比较与的大小即可． 解题的关键是正确的识图，列出代数式． 【详解】（1）解：①，， ②当时，； （2）， 理由：， ， ， ， ， ． 4．一个图形，可通过不同的方法计算出面积，从而得到一个数学等式，例如：由图1可以得到， 左表示长为，宽为的矩形（长方形）面积； 右表示块边长为的正方形面积、块长为，宽为的长方形面积、块边长为的正方形面积和．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式：______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形的面积公式和长方形的面积公式是解决此题的关键． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积个长方形的面积，即可得出结论； （2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：该图形是个正方形，其边长为，故其面积为；该正方形是由3个小正方形和6个长方形组成，故其面积为：， ， 故答案为：； （2）将（1）中等式变形，得， 将，代入，得： ． 题型3： 因式分解(公式的逆向使用和连续使用) 例3. 因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点精练】 1．将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式提取2，再利用平方差公式分解即可； （2）原式利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．分解因式：（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式提取，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式利用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 3．把下列各式分解因式． (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解； （）利用平方差公式分解即可； 本题考查了因式分解的综合运用，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ， ． 4．把下列多项式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法，分组分解法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续进行因式分解； （2）后三项一组，添加带负号的括号后利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型4：公式的变形使用 例4．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将分解为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【考点精练】 1． 先分解因式，再求值．其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先因式分解，然后将式子的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 2． 已知，求的值． 【答案】25 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟记完全平方公式是解本题的关键，把原式化为，再利用完全平方公式分解因式，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 3． 已知，，求的值． 【答案】21 【分析】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，先提取公因式分解因式，再整体代入计算即可． 【详解】解：． 把，，代入， 得原式． 4． 已知，xy＝3，求的值． 【答案】9 【详解】解：． ∵，xy＝3， ∴． 5．已知求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)99 (2)41 【分析】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．解此题的关键是要了解与之间的联系． （1）先进行变形，再代入求值即可； （2）先进行变形，再代入求值即可． 【详解】（1），， ， ， ； （2） ． 6．已知，，求的值． 【答案】25 【分析】本题考查了代数式的求值．利用完全平方公式变形计算即可求解． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以． 7．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)25(2)49 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：，， 原式； （2）解：，， 原式． 8．已知，．求的值． 【答案】80 【分析】本题考查了完全平方公式，把转化为即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 9．已知，，求与的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是利用完全平方公式求解代数式的值，熟记完全平方公式的变形是解本题的关键，把，相加，相减即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴①，②． 由①②，得， 解得， 由①②，得， 解得． 题型5：创造条件使用公式 例5．用简便方法计算：． 【答案】1 【分析】本题考查的是平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 【考点精练】 1．用整式乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)40401 【分析】本题考查的是完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的变形是解题的关键． （1）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （2）先把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： ． 请按照小明的方法： (1)计算； (2)直接写出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据题意以及平方差公式运算求解即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 3．已知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)图2中的阴影部分面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式） 图3中的阴影部分面积可表示为 ；（写成两数平方的差的形式） (2)比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是（    ） A.   B.  C. (3)请利用你得到的等式解决下面的问题：． ① 若，，则的值为 ； ②计算： ③的结果的个位数字为 ． 【答案】(1)； (2)B (3)①；②；③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景以及数字的变化规律， （1）根据图形面积计算方法可得答案， （2）由（1）可得等式； （3）①根据平方差公式可得答案； ②根据平方差公式进先计算即可求解； ③根据平方差公式进行计算，进而找到的个位数字的规律，即可求解． 【详解】（1）解：图2中长方形的长为，宽为，因此面积为， 图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 故答案为：； （2）解：由（1）得； 故选：B； （3）解：①因为，所以， 又因为， 所以； 故答案为：． ② ③原式 ＝…… ； 而……，其个位数字，，，，重复出现，而＝，于是、、、经过次循环， 因此的个位数字为， 故答案为：． 4．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形， 把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．  B． C．     D． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 【答案】(1)B (2)①3；② 【分析】本题考查了矩形的面积公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键，（1）分别表示左图和右图中的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；（2）由（1）的规律，利用平方差公式，将整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：由题可得：左图中阴影部分的面积为：， 右图阴影部分的面积为：， ∴， 故选：B． （2）①解：∵， ∴， ∵， ∴， ②解： ． 题型6：整体套用公式 例6.计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式： （1）先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点精练】 1．阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）两个问题． 例：计算（a﹣2b＋3）（a＋2b﹣3） ＝[a﹣（2b﹣3）][a＋（2b﹣3）]…………① ＝a2﹣（2b﹣3）2…………② ＝a2﹣4b2＋12b﹣9…………③ （1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的变形依据是 　 　，②→③的变形依据是 　 　．（填整式乘法公式的名称） （2）用此方法计算：（a＋2x﹣y﹣b）（a﹣2x＋y﹣b）． 【答案】（1）平方差公式，完全平方公式；（2） 【分析】(1)根据完全平方公式和平方差公式进行判断即可得到答案； (2)先将原式变形再，利用平方差公式展开，最后利用完全平方公式展开即可. 【详解】解：（1） 由①到②是平方差公式，由②到③是完全平方公式 故答案为：平方差公式，完全平方公式； （2） 2．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】（1）设，则原方程变为，解方程求得，根据非负数的性质即可求得； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ， ∴． 3．学习新方法：把比较复杂的单项式、多项式看成一个整体，并用新字母代替（即换元），达到化繁为简的目的，这种方法称为“换元法”．请阅读以下材料，回答问题： 阅读材料（一）若，，试比较M，N的大小． 解：设，那么，． 因为，所以． 问题（1）请仿照例题比较下列两数大小：若，，则P___________Q．（填“>”或“＜”） 阅读材料（二）已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以：． 问题（2）已知实数x、y，满足，则___________； 阅读材料（三）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． 问题（3）请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系：___________； 若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 问题（4）请仿照上面的方法求解下面问题： ①已知，那么的值为___________． ②已知，用换元法求的值为___________． ③已知，如图3，正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以作正方形，则阴影部分的面积为___________． 【答案】（1）>；（2）3；（3）；（4）①4045，②51，③28 【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式的综合应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的过程，直接运算作答即可； （2）模仿题干的过程，直接运算作答即可； （3）根据等面积法，即可作答． （4）模仿上述过程，逐步解答①②③即可． 【详解】解：（1）依题意， ∴ 故答案为：>； （2）依题意，设， 则原方程变为， 整理得，， ∴，因为，所以：． 则； （3）结合图形，运用等面积法，得 （4）①由上面过程，记 原式等于 则 运用（3）的结论，得 则 即 解得； ②整理原式得 ∴ 令 ∴ 则 则 ∴的值为； ③依题意，得 ∵长方形的面积是48 ∴ 令 ∴ ∴ ∴ ∴（舍去） 则阴影部分的面积为 4．学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路： (1)可以用“整体思想”把转化为：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种方法写出计算过程． (2)可以用“数形结合”的方法，面出表示的图形，请你在给出的方框中画出图形，并作适当标注．然后根据面积关系直接写出的结果． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，能灵活运用完全平方公式解决问题是解答本题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可得出结论； （2）可画出边长为a+b+c的正方形即可． 【详解】（1）解： ， 或 ； （2）解：如图， ． 四、 检测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则a的值是（    ） A．-2 B．0 C．0.5 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式的运算法则化简后，令含项相加为即可． 【详解】解：∵，不含项， ∴， ∴； 故选：D． 2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的特点需识记． 能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两个平方项，符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两个平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，由此即可判断． 【详解】A、，能用平方差公式分解因式，故A符合题意； B、不能继续分解因式，故B选项不符合题意； C、不能继续分解因式，故C选项不符合题意； D、只能用提公因式法分解因式，故D选项不符合题意． 故选A． 3．多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．首先提出公因式，再利用平方差进行二次分解即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算、三角形的面积公式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 先用a、b的代数式分别表示，，再根据，进而得到答案． 【详解】解：根据题意，空白部分的面积为： ， 又∵正方形面积为： ， ∴阴影部分面积为：， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形即可求解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：根据图形可知，解释的代数恒等式是， 故选：． 6．如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解． 【详解】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为， ∴即，， ∴， 故选：B． 7．把因式分解得，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘多项式，先求出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵ ， 又∵把因式分解得， ∴， 故选：B． 8．已知，，则代数式的值为（    ） A． B．30 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ； 故选C． 9．已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】将已知式子因式分解为，得到，则有，即可判断三角形的形状． 本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】， ∵a，b，c为三边 ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 故选：C． 10．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则；先根据多项式乘多项式法则，计算，再根据计算结果和已知条件，求出m和n，然后代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：30； 12．若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】或/或6 【分析】此题考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ， ∴，即或 ∴或， 故答案为：或． 13．已知，，则 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：． 根据完全平方公式得到，然后把，代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以 故答案为：37． 14．若x满足，则的值是 ． 【答案】150 【分析】本题考查完全平方式的变形应用，灵活运用所学知识是关键． 设，，得到，，然后利用完全平方式的变形求解即可． 【详解】设， ∴， ∵ ∴ 解得 ∴的值是150． 故答案为：150． 15．三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）    【答案】或 【分析】设A类需用a块，C类需用c块，根据题意得拼成的正方形的面积为：是一个完全平方式，据此求解即可得． 【详解】解：设A类需用a块，C类需用c块， 这些地砖拼成的正方形的面积为：， 根据题意，是一个完全平方式，， 所以或者； 当，时，， 此时正方形的边长为：； 当，时，， 此时正方形的边长为：； 故答案为：或． 16．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    【答案】 【分析】分别求出图2中大正方形，阴影及小长方形的面积，即可得到等式． 【详解】解：图2中大正方形的面积为，阴影图形的面积为，四个小长方形的面积为， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 17．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值． 【答案】（1），9；（2）的值为1． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据整式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可； （2）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式凑成含已知条件的完全平方公式，最后将、代入计算即可． 【详解】解：（1） 当时；原式； （2） 当、时，原式． 18．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先提公因式，然后利用十字相乘法分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可得到等式．请利用．解决下面问题：已知，，求代数式的值； (2)如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②若，，记直角三角形的面积为，正方形的面积为，则 ． 【答案】(1) (2)①，见解析；② 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和完全平方公式． （1）先利用已知条件，根据完全平方公式求出，，再利用多项式乘多项式法则进行化简，再把和的值整体代入计算即可； （2）①观察图形得出，，的关系，并用面积法进行证明即可； ②先根据已知条件，求出，，再求出直角三角形和正方形的面积，进行解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：①，，之间的数量关系是：，推理过程如下： 由题意可知：正方形的面积个三角形的面积， ， 正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积个三角形的面积， ； ②，， ， 即，， 直角三角形的面积为：， 正方形的面积个正方形的面积， ， 故答案为：． 20．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． (3)若x满足，则的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； (5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面积，即可得到等式； （2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果； （3）根据（2）中的方法可得到结果； （4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，计算其和即可； （5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即； 方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即， 两种方法可得出：； （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：设，， ∵x满足， ∴， ∵， ∴， ∴的值为； （4）解：， A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为， 根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片， 则； （5）解：由图知，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， 设，， 则，， 由，得， ∴， ∴， 即， ∴阴影部分的面积为． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$