微专题 异面直线的判别及其相关（解题策略）-2024-2025学年高二数学重难点微专题（沪教版2020必修第三册）

( 微专题 异面直线的 判 别 及其 相关 ) 【原卷版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、异面直线的定义及判别方法 （1）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （2）判定两条直线是异面直线的方法 （1）定义法：证明两条直线既不平行又不相交； （2）判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线； 用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图） 【说明】判断空间中两条直线位置关系的诀窍： （1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系；特别关注异面直线； （2）重视正方体、长方体、空间四边形等常见几何体模型的应用； 会举根据特殊几何体通过利用定义与举反例，解答相关的填充、选择题； 2、异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b 结论 我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°（或） 特殊情况 当θ＝90°（或）时，异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b 3*、异面直线间的距离 （1）定理： 对于任意两条给定的异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）两条异面直线的公垂线：异面直线和的距离：设直线和是异面直线， 当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时， 我们把直线叫做异面直线和公垂线； （3）两条异面直线的距离：垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离； ( 学习笔记 ) 题型1、异面直线的判别与证明 例1、如图所示，若P是△ABC所在平面外一点， PA≠PB，PN⊥AB， N为垂足，M为AB的中点， 求证：PN与MC为异面直线. 【提示】注意理解异面直线的定义与命题的交汇； 【证明】 证法1、（反证法）， 证法2、（判定定理法）， 【说明】本题主要考查了异面直线的判定与证明，以此渗透培养逻辑推理核心素养； 结合教材，一般异面直线的判断方法有： 1、定义法：由定义判断.两直线不可能在同一个平面内； 2、图形直观判断法：熟记几类异面直线的画法，可快速判断；适合填充、选择题；. 3、运用判定定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线异面； 4、反证法：假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线，结合题中的条件， 经正确的推理得出矛盾，从而断定假设“这两条直线不是异面直线”是错误的， 进而得出结论：这两条直线是异面直线； ( 学习笔记 )例2、如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问： （1）AM和CN是否是异面直线？说明理由； （2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 【说明】异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”， 实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交； 直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”； 题型2、异面直线所成角及其求法 例3、在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为60°， E，F分别是BC，AD的中点， 求EF与AB所成的角的大小； 【说明】求异面直线所成的角的步骤： （1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线； 若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点， 将异面直线转化为相交直线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ； 若0°＜θ≤90°，则θ为所求； 若90°<θ<180°，则180°－θ为所求； ( 学习笔记 )例4、在空间四边形ABCD中，AC＝BD＝a， 对边AC与BD所成的角为60°，M，N分别为AB，CD的中点， 求：线段MN的长； 【说明】找异面直线所成的角的方法，主要有三种方法： （1）直接平移法（利用图中已有的平行线）； （2）中位线平移法； （3）补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）； 题型3、异面直线间的距离及其求法 例5、、为异面直线，为、的公垂线，，与、的关系为（ ） A. 均不相交 B. 与其中一条相交 C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交 【说明】本题考查了定理与异面直线的公垂线的定义； 例6、已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a， E，F分别是AB，CD的中点； （1）求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）求异面直线AB与CD的距离． ( 学习笔记 ) 【说明】本题主要考查了利用几何法找、证、求异面直线间的距离； 题型4、有关异面直线间的综合题 例7、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的 角θ的取值范围是(　　) A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60° C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60° 例8、设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是2 m，所成的角是60°； 已知这两条电线上各有一点，距离公垂线的垂足都是8 m；求这两点之间的距离； ( 学习笔记 ) 1、异面直线及其判别 不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，证明异面直线常用定义法、判定定理 与反证法； 其中：判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面‘’ 2、异面直线所成的角 （1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′ 所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)． （2）范围：. （3）求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型： 利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移； 补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线， 把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时， 应取它的补角作为两条异面直线所成的角； 【特别注意】求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 3*、两条异面直线之间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）两条异面直线之间的距离 我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线， 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段； 两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； 我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段 求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离， ( 学习笔记 )还可以转化为求两个平行平面之间的距离； 即：构造分别含两条异面直线的两平行平面， 则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 1、已知a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点， M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN和a的位置关系是 2、下列说法中正确的命题序号是 ①若两条直线无公共点，则这两条直线平行； ②若两直线不是异面直线，则必相交或平行； ③过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线； 3、若两个平面相交，,则分别在这两个平面内的两条直线的位置关系是 4、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线间的位置关系： ①A1B与D1C________； ②A1B与B1C________； ③D1D与CE(E为C1D1的中点)________； ④AB与B1C________. 5、如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱所在的直线中共有________对异面直线； 寻找“有效+合理”的统计方法； 6、从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线， 则k的最大值是　　　　.  7、分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（ ） A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行 8、若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则（ ） A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 ( 学习笔记 )C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 9、如图所示，AB是圆O的直径， 点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点， 求异面直线DE与AB所成的角； 10、如图所示， 空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD， E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角； ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 微专题 异面直线的 判 别 及其 相关 ) 【解析版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、异面直线的定义及判别方法 （1）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （2）判定两条直线是异面直线的方法 （1）定义法：证明两条直线既不平行又不相交； （2）判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线； 用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图） 【说明】判断空间中两条直线位置关系的诀窍： （1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系；特别关注异面直线； （2）重视正方体、长方体、空间四边形等常见几何体模型的应用； 会举根据特殊几何体通过利用定义与举反例，解答相关的填充、选择题； 2、异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b 结论 我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°（或） 特殊情况 当θ＝90°（或）时，异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b 3*、异面直线间的距离 （1）定理： 对于任意两条给定的异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）两条异面直线的公垂线：异面直线和的距离：设直线和是异面直线， 当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时， 我们把直线叫做异面直线和公垂线； （3）两条异面直线的距离：垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离； ( 学习笔记 ) 题型1、异面直线的判别与证明 例1、如图所示，若P是△ABC所在平面外一点， PA≠PB，PN⊥AB， N为垂足，M为AB的中点， 求证：PN与MC为异面直线. 【提示】注意理解异面直线的定义与命题的交汇； 【证明】 证法1、（反证法）， 假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN⊂α，MC⊂α， 于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α. 因为，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点， 所以，点M与点N不重合. 又因为，M∈α，N∈α，所以，直线MN⊂α. 又因为，A∈MN，B∈MN，所以，A∈α，B∈α， 即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾. 所以，假设不成立； 故PN与MC为异面直线； 证法2、（判定定理法）， ∵PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点， ∴点N与点M不重合. ∵N∈平面ABC，P∉平面ABC，CM⊂平面ABC，N∉CM， ∴由异面直线的判定方法可知，直线PN与MC为异面直线； 【说明】本题主要考查了异面直线的判定与证明，以此渗透培养逻辑推理核心素养； 结合教材，一般异面直线的判断方法有： 1、定义法：由定义判断.两直线不可能在同一个平面内； 2、图形直观判断法：熟记几类异面直线的画法，可快速判断；适合填充、选择题；. 3、运用判定定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线异面； 4、反证法：假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线，结合题中的条件， 经正确的推理得出矛盾，从而断定假设“这两条直线不是异面直线”是错误的， ( 学习笔记 )进而得出结论：这两条直线是异面直线； 例2、如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问： （1）AM和CN是否是异面直线？说明理由； （2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 【提示】注意：理解“异面直线”的定义； 【解析】（1）不是异面直线． 理由：因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1. 又A1A∥D1D，而D1D∥C1C，所以A1A∥C1C. 所以四边形A1ACC1为平行四边形．所以A1C1∥AC，得到MN∥AC， 所以A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线； （2）是异面直线．理由如下： 假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1. 而BC⊥平面CC1D1，BC⊄平面CC1D1，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线； 【说明】异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”， 实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交； 直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”； 题型2、异面直线所成角及其求法 例3、在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为60°， E，F分别是BC，AD的中点， 求EF与AB所成的角的大小； 【提示】注意：先找角，后求角，再回答； 【解析】取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，EG＝AB，GF∥CD，GF＝CD， 由AB＝CD，知EG＝FG， 所以，∠GEF(或其补角)为EF与AB所成的角， ∠EGF(或其补角)为AB与CD所成的角； 因为，AB与CD所成的角为60°， 所以，∠EGF＝60°或120°. 由EG＝FG，知△EFG为等腰三角形， 当∠EGF＝60°时，∠GEF＝60°； 当∠EGF＝120°时，∠GEF＝30°. 所以，EF与AB所成的角为60°或30°； ( 学习笔记 )【说明】求异面直线所成的角的步骤： （1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线； 若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点， 将异面直线转化为相交直线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ； 若0°＜θ≤90°，则θ为所求； 若90°<θ<180°，则180°－θ为所求； 例4、在空间四边形ABCD中，AC＝BD＝a， 对边AC与BD所成的角为60°，M，N分别为AB，CD的中点， 求：线段MN的长； 【提示】注意：根据题设“对边AC与BD所成的角为60°”找角； 【答案】或； 【解析】取BC的中点E，连接EN，EM，如图所示： 因为M为AB的中点， 所以ME∥AC，且ME＝AC＝， 同理得EN∥BD，且EN＝， 所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角， 在△MEN中，EM＝EN，若∠MEN＝60°， 则△MEN为等边三角形， 所以MN＝. 若∠MEN＝120°，可得MN＝； 【说明】找异面直线所成的角的方法，主要有三种方法： （1）直接平移法（利用图中已有的平行线）； （2）中位线平移法； （3）补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）； ( 学习笔记 )题型3、异面直线间的距离及其求法 例5、、为异面直线，为、的公垂线，，与、的关系为（ ） A. 均不相交 B. 与其中一条相交 C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交 【答案】D； 【解析】任意两条异面直线有且只有一条公垂线；（ ） 【说明】本题考查了定理与异面直线的公垂线的定义； 例6、已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a， E，F分别是AB，CD的中点； （1）求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）求异面直线AB与CD的距离． 【提示】（1）连接EC，ED，可以证得EF⊥CD，同理可得EF⊥AB； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）连接EC，ED， 因为AB＝AC＝AD＝BC＝BD＝CD=a，所以， 又E为AB的中点，所以EC＝ED， 因为F为CD的中点，所以EF⊥CD， 同理，可得EF⊥AB， 又 ， ， 所以EF即为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）在中，∠CFE＝90°，，，所以， 所以异面直线AB与CD的距离为； 【说明】本题主要考查了利用几何法找、证、求异面直线间的距离； 题型4、有关异面直线间的综合题 例7、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的 角θ的取值范围是(　　) A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60° C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60° 【答案】D； ( 学习笔记 )【解析】如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1， 所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP； 当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°， 但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾， 所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°＜θ≤60°； 例8、设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是2 m，所成的角是60°； 已知这两条电线上各有一点，距离公垂线的垂足都是8 m；求这两点之间的距离； 【提示】根据题意作出图像，分两点在公垂线同侧和异侧求解即可； 【答案】或； 【解析】设两条异面直线a、b之间的距离， 在上，，在上，； 过作∥a，过作于C，连接BC、AB，则AB为要求的距离． ∵EF是a、b公垂线，∴易知平面，则平面，则AC⊥BC． 当、在公垂线EF同侧时， ， ∵FB=FC=EA=8 m，∴为正三角形，∴， 在Rt中，，； 当、在公垂线EF异侧时， ，FC=8 m，EF=AC=2 m，BF=8 m， ( 学习笔记 )在中，由余弦定理得：m， 则； 综上所述，要求的两点间的距离为或； 1、异面直线及其判别 不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，证明异面直线常用定义法、判定定理 与反证法； 其中：判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面‘’ 2、异面直线所成的角 （1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′ 所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)． （2）范围：. （3）求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型： 利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移； 补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线， 把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时， 应取它的补角作为两条异面直线所成的角； 【特别注意】求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 3*、两条异面直线之间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）两条异面直线之间的距离 我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线， ( 学习笔记 )公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段； 两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； 我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段 求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离， 还可以转化为求两个平行平面之间的距离； 即：构造分别含两条异面直线的两平行平面， 则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 1、已知a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点， M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN和a的位置关系是 【答案】异面； 【解析】若MN与AB平行或相交，则MN与AB共面， 设平面为α，由题知C∈直线AM，D∈直线BN， 所以C∈α，D∈α.又A∈α，B∈α， 所以a⊂α，b⊂α，与a，b异面矛盾； 故MN与AB异面，即MN与a异面； 2、下列说法中正确的命题序号是 ①若两条直线无公共点，则这两条直线平行； ②若两直线不是异面直线，则必相交或平行； ③过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线； 【提示】理解空间两直线的位置关系与异面直线的定义； 【答案】②； 【解析】对于①，空间两直线无公共点，则这两条直线可能平行，也可能异面，因此①不正确.对于②，因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，故②正确； 对于③，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故③不正确.对于④，和两条异面直线都相交的两直线有可能是相交直线，也有可能是异面直线，故④不正确. 3、若两个平面相交，,则分别在这两个平面内的两条直线的位置关系是 【答案】相交、平行与异面； 【解析】平面,β相交,如图所示: ( 学习笔记 ) 则a⊂,b⊂β,a∥b;又a⊂,c⊂β,a、c异面;c⊂β,d⊂,c,d相交;所以分别在这两个平面内 的两条直线可能平行,也可能异面,也可能相交； 4、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线间的位置关系： ①A1B与D1C________； ②A1B与B1C________； ③D1D与CE(E为C1D1的中点)________； ④AB与B1C________. 【答案】　①平行　②异面　③相交　④异面 5、如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱所在的直线中共有________对异面直线； 【提示】注意结合正方体的几何性质理解“新定义”； 【答案】24 【解析】在如图所示的正方体中，与AB异面的有C′C，D′D，B′C′，A′D′， 由于各棱具有相同的位置关系，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计数， 故共有异面直线＝24(对). 【说明】本题主要考查了正方体的几何性质与新定义的交汇；同时渗透了依据几何性质 寻找“有效+合理”的统计方法； 6、从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线， 则k的最大值是　　　　.  ( 学习笔记 )【答案】4； 【解析】正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点， 即至多可选出4条,所以k的最大值为4； 7、分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（ ） A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行 【提示】注意：对“和两条异面直线相交”的理解； 【答案】C； 【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个， 如图，则两直线异面. （2）若两条直线与两异面直线的交点有3个，如图，则两直线相交； 【说明】解决此类判断线、面位置关系的题目，要注意把情况考虑全面，必要时需要分类讨论. 8、若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则（ ） A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 【答案】B； 【解析】对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A．对于B，由 于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确； 9、如图所示，AB是圆O的直径， 点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点， 求异面直线DE与AB所成的角； 【解析】因为D，E分别是VB，VC的中点， 所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角， 又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点， 所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形， 于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°； 10、如图所示， ( 学习笔记 )空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD， E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角； 【解析】如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG. ∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD， ∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB. ∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF. ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF. ∴∠EGF＝90°. ∴△EFG为等腰直角三角形． ∴∠GFE＝45°， 即EF与AB所成的角为45°； ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$