微专题 斜二测画法及其应用（解题策略）-2024-2025学年高二数学重难点微专题（沪教版2020必修第三册）

( 微专题 斜二测画法 及其 应用 ) 【解析版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 斜二测画法是作空间几何直观图的一种有效方法；是空间几何直观图的画法基础。 它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。  直观图就是：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感， 又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图； 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 （1）建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们 画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示 水平面； （2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴 或y′轴的线段； （3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴 的线段，长度为原来的一半； 【说明】1、画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于 平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可； 2、用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)． 2、空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变； （4）成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线； 题型1、平面图形的直观图的画法 例1、画水平放置的直角梯形的直观图， 如图所示； 【解析】1、在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的 腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示． ( 学习笔记 )（2）应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上 截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l， 在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②； （3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③； 【说明】画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项： 1、在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键， 一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图． 2、画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化； 例2、用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图. 【解析】（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴， 以BC边上的高线AO所在的直线为y轴. （2）画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA， 连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示； 题型2、空间几何体的直观图的画法 例3、用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图. 【解析】画法步骤： 1、画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. ( 学习笔记 ) 2、画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ， 使PQ＝ cm； 分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别 为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图； 3、画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA′，BB′，CC′，DD′. （4）成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)， 就得到长方体的直观图； 【说明】1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴， 并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可； 2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”； 3、当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的 部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验； 例4、画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图. 【解析】1、画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①. 2、画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD， 使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm. 3、画顶点.在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm. 4、成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线， 得四棱锥的直观图，如图②. ( 学习笔记 )题型3、有关把直观图恢复成原图形 例5、如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形. 【解析】1、画平面直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′； 2、过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴， 并使DB＝2D′B′； 3、连接AB，BC，△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图. 【说明】直观图的还原技巧：由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段， 且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长 的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 例6、如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面图形是(　　) A．任意三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C； 【解析】因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′， 所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形； 题型4、直观图与原图面积之间的关系 例5、如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图； 若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1； 试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积. ( 学习笔记 ) 【解析】如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2； 在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2. 连接BC，即得到了原图形. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3， 直角腰的长度AD＝2. 故梯形面积SABCD＝×2＝5. 【说明】直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′， 则有S′＝S或S＝2S′； 利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积； 例8、如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为(　　) A．2S B．S C．2S D．S 【答案】C； 【解析】方法1：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h， C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于点D′(图略)， 则C′D′＝h.由题意知 C′D′(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S. 又原直角梯形面积为 S′＝·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S. 所以梯形OABC的面积为2S.故选C. ( 学习笔记 )方法2：由S直观图＝S原图， 可得S梯形OABC＝＝2S，故选C. 1、用斜二测画法画出的直观图，直线的平行关系不变，点的共线性不变，线的共点性不变， 但角的大小有变化，有些线段的度量关系发生变化； 2、画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、 y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变； 所以，画空间几何体直观图的三个注意点： （1）对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应记住它们的大致形状， 以便可以较快、较准确地画出； （2）画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向； （3）z轴方向上的线段方向与长度都与原来保持一致； 1、如图所示， 一个水平放置的三角形的斜二测直观图 是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1， 那么原三角形ABO的面积是 【答案】； 【解析】∵水平放置的斜二测直观图是等腰直角三角形. 由O′B′＝1，知A′B′＝1， ∴S△O′A′B′＝·O′B′·A′B′＝，又直观图与原平面图形面积比为∶4， 所以原图形的面积为. 2、水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度 为________. ( 学习笔记 ) 【答案】2.5 【解析】由于在直观图中∠A′C′B′＝45°， 则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB边上的中线为2.5. 3、在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点 是M′，则点M′的坐标为________. 【答案】(4，2) 【解析】由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4，2). 4、在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm， 则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，其面积为________ cm2. 【答案】矩形　8 【解析】由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形， 其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2). 5、如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中， 最长的线段是 【答案】AC 【解析】还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长. 6、利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形. 以上结论中，正确的是__________________(填序号). 【答案】①② 【解析】斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变， 因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形. ( 学习笔记 )7、下列说法中正确的个数是(　　) ①相等的角在直观图中对应的角仍然相等； ②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等； ③互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直； ④线段的中，点在直观图中仍然是线段的中点. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】如图，由正方形的直观图是平行四边形可知①②③错误，易知④正确. 8、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A. a2　　　　　　　　　B. a2 C. a2 D. a2 【答案】D； 【解析】如图①②所示为实际图形和直观图． 由②可知，B′C′＝BC＝a，O′A′＝OA＝a， 在图②中作A′D′⊥B′C′于点D′，则A′D′＝O′A′＝a； 所以S△A′B′C′＝B′C′·A′D′＝×a×a＝a2. 9、如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD 的直观图． 若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1； 试画出原四边形，并求原图形的面积． 【解析】如图，建立直角坐标系xOy， 在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2. ( 学习笔记 )在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2； 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC， 便得到了原图形(如图)． 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3， 直角腰长度为AD＝2. 所以面积为S＝×2＝5. 10、画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 【解析】画法： 1、如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点， 建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. 2、以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE， 以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. 3、连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 微专题 斜二测画法 及其 应用 ) 【原卷版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 斜二测画法是作空间几何直观图的一种有效方法；是空间几何直观图的画法基础。 它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。  直观图就是：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感， 又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图； 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 （1）建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们 画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示 水平面； （2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴 或y′轴的线段； （3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴 的线段，长度为原来的一半； 【说明】1、画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于 平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可； 2、用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)． 2、空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变； （4）成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线； 题型1、平面图形的直观图的画法 例1、画水平放置的直角梯形的直观图， 如图所示； ( 学习笔记 ) 【说明】画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项： 1、在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键， 一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图． 2、画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化； 例2、用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图. 题型2、空间几何体的直观图的画法 例3、用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图. ( 学习笔记 )【说明】1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴， 并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可； 2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”； 3、当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的 部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验； 例4、画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图. 题型3、有关把直观图恢复成原图形 例5、如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形. 【说明】直观图的还原技巧：由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段， 且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长 的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 例6、如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面图形是(　　) A．任意三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 ( 学习笔记 ) 题型4、直观图与原图面积之间的关系 例5、如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图； 若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1； 试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积. 【说明】直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′， 则有S′＝S或S＝2S′； 利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积； 例8、如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为(　　) A．2S B．S C．2S D．S ( 学习笔记 ) 1、用斜二测画法画出的直观图，直线的平行关系不变，点的共线性不变，线的共点性不变， 但角的大小有变化，有些线段的度量关系发生变化； 2、画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、 y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变； 所以，画空间几何体直观图的三个注意点： （1）对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应记住它们的大致形状， 以便可以较快、较准确地画出； （2）画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向； （3）z轴方向上的线段方向与长度都与原来保持一致； 1、如图所示， 一个水平放置的三角形的斜二测直观图 是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1， 那么原三角形ABO的面积是 2、水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度 为________. 3、在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点 是M′，则点M′的坐标为________. 4、在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm， 则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，其面积为________ cm2. ( 学习笔记 )5、如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中， 最长的线段是 6、利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形. 以上结论中，正确的是__________________(填序号). 7、下列说法中正确的个数是(　　) ①相等的角在直观图中对应的角仍然相等； ②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等； ③互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直； ④线段的中，点在直观图中仍然是线段的中点. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A. a2　　　　　　　　　B. a2 C. a2 D. a2 9、如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD 的直观图． 若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1； 试画出原四边形，并求原图形的面积． ( 学习笔记 )10、画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$