微专题 空间直线、平面的平行（解题策略）-2024-2025学年高二数学重难点微专题（沪教版2020必修第三册）

( 微专题 空间直线、平面的平行 ) 【原卷版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性； 2、等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 3、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒a∥b 4、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b ( 学习笔记 ) 题型1、空间直线与直线平行及其相关 例1、如图所示， 在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中， E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点； （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形； 【说明】在空间证明两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线， 证明这两条直线都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直线无公共点； 以后，还有许多证明方法，注意及时收集归纳； 例2、如图，已知E，F，G，H分别是 空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点； （1）求证：E，F，G，H四点共面； （2）若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. ( 学习笔记 ) 题型2、利用空间直线与直线平行证明角相等 例3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中， M，M1分别是棱AD和A1D1的中点； （1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形； （2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1； 【说明】在空间证明角相等，主要就是借助直线与直线平行与利用空间等角定理是常用的方法， 在证明过程中一定要说明两个角的对应边方向都相同或都相反.另外也可以通过证明两个三角形 全等或相似来证明两角相等； 题型3、空间直线与平面平行的证明与应用 例4、例1 如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面 相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ； 求证：PQ∥平面BCE. ( 学习笔记 ) 【说明】应用判定定理证明线面平行的步骤： 1、找：在平面内找或作出一条鱼已知直线平行的直线； 2、证：证明已知直线与平行与找到（作出）在直线； 3、结论：由判定定理得出结论； 上面的第1步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④成比例线段法；　 【特别提醒】线面平行判定定理应用的误区 1、条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”； 2、不能利用题目条件顺利地找到两平行直线； ( 学习笔记 )例5、如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点， M是PC的中点，在DM上取一点G， 过点G和AP作平面，交平面BDM于GH； 求证：AP∥GH； 【说明】1、利用线面平行的性质定理解题的步骤： （1）找面：找一个与已知平面相交且过已知直线的平面； （2）定线：确定两平面的交线； （3）结论：检验性质定理必须满足条件，然后下结论； 2、运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交 的交线，然后确定线线平行； 题型4、空间平面与平面平行的证明与应用 例6、如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形， M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： （1）BE∥平面DMF； （2）平面BDE∥平面MNG. ( 学习笔记 )【说明】判定（证明）面面平行的主要方法 （1）利用面面平行的定义：根据定义证明两平面没有公共点（采用反证法）； （2）利用面面平行的判定定理：只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可； （3）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 【特别提醒】利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线 是相交直线； 例7、如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)， 直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D； （1）求证：AC∥BD； （2）已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长. 【说明】面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想； 与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化； 题型5、空间平行综合题 例8、如图，点P在四边形ABCD所在平面外，AD∥BC，AB＝BC＝AD， E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点， AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. （1）求证：AP∥平面BEF； （2）求证：GH∥平面PAD； ( 学习笔记 ) 【说明】解决平行关系的综合问题的方法： 1、在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面， 以便运用线面平行的性质； 2、要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化． 在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化； 转化思想是解决这类问题的最有效的方法； 1、证明两条直线平行 主要体现数学逻辑推理核心素养，主要方法： （1）根据定义，在同一个平面内且没有公共点； （2）利用公理4； （3）利用图形性质，如中位线、平行四边形的对边等； （4）结合线面平行与面面平行的性质定理； 2.等角定理的结论是相等或互补，实际应用时要借助图形直观来判断. 当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时，这两个角相等，否则这两个角互补.　　　　　　　　　　　　　 2、线面平行的判定与性质 （1）判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点). ( 学习笔记 )②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). （2）应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置， 有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线. 3、面面平行的判定与性质 （1）.判定面面平行的主要方法 ①利用面面平行的判定定理. ②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). （2）面面平行条件的应用 ①两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行. ②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 【特别提醒】利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线 是相交直线. 4、证明线线、线面以及面面平行时的互相转化 在证明线线、线面以及面面平行时，常进行如下转化： 线线平行线面平行面面平行. 1、若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的 位置关系是___________________________________ 2、点S在三角形ABC平面外，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES， 则EG与平面SBC的关系为______________________ 3、对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________. 4、如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP＝1，BP＝4， CD＝6，那么CP＝________.________________ ( 学习笔记 )5、对于不重合直线a，b，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中， 能推出α∥β的有________．(填写所有正确的序号)． ①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ； ③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β. 6、设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ， 且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________(填序号). 7、下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　 ) A．直线m在平面α外 B．直线m与平面α内的两条直线平行 C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行 D．直线m与平面α内的一条直线平行 8、如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD， 则(　 　) A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能 【答案】B.； 9、如图，已知AB与CD是异面直线， 且AB∥平面α，CD∥平面α， AC∩α＝E，AD∩α＝F， BD∩α＝G，BC∩α＝H； 求证：四边形EFGH是平行四边形． ( 学习笔记 )10、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点， 且＝＝. （1）求证：PQ∥平面A1D1DA； （2）若R是AB上的点，的值为多少时， 能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明. ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 微专题 空间直线、平面的平行 ) 【解析版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性； 2、等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 3、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒a∥b 4、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b ( 学习笔记 ) 题型1、空间直线与直线平行及其相关 例1、如图所示， 在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中， E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点； （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形； 【证明】（1）因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC， 所以EF∥HG，EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形； （2）因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EH∥BD，EH＝BD. 因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF. 又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形； 【说明】在空间证明两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线， 证明这两条直线都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直线无公共点； 以后，还有许多证明方法，注意及时收集归纳； 例2、如图，已知E，F，G，H分别是 空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点； （1）求证：E，F，G，H四点共面； （2）若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. 【证明】（1）在△ABD中， ( 学习笔记 )∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD. 同理FG∥BD，则EH∥FG. 故E，F，G，H四点共面． （2）由（1）知EH∥BD，同理AC∥GH； 又∵四边形EFGH是矩形， ∴EH⊥GH.故AC⊥BD； 题型2、利用空间直线与直线平行证明角相等 例3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中， M，M1分别是棱AD和A1D1的中点； （1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形； （2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1； 【证明】（1）在正方形ADD1A1中， M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1綉AA1.又∵AA1綉BB1， ∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形. （2）由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM. 又∠BMC与∠B1M1C1两边对应的方向相同， ∴∠BMC＝∠B1M1C1； 【说明】在空间证明角相等，主要就是借助直线与直线平行与利用空间等角定理是常用的方法， 在证明过程中一定要说明两个角的对应边方向都相同或都相反.另外也可以通过证明两个三角形 全等或相似来证明两角相等； 题型3、空间直线与平面平行的证明与应用 例4、例1 如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面 相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ； 求证：PQ∥平面BCE. 【证明】方法1：如图所示， 作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB. 又AP＝DQ，∴PE＝QB， ( 学习笔记 )又PM∥AB∥QN， ∴＝＝＝，∴＝. 又ABDC，∴PMQN， ∴四边形PMNQ为平行四边形， ∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE， ∴PQ∥平面BCE. 方法2：　如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M， 连接QM. 则PM∥平面BCE， ∵PM∥BE， ∴＝，又AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，∴＝，∴＝， ∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC， ∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M， ∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE. 所以DE∥平面ACC1A1； 【说明】应用判定定理证明线面平行的步骤： 1、找：在平面内找或作出一条鱼已知直线平行的直线； 2、证：证明已知直线与平行与找到（作出）在直线； 3、结论：由判定定理得出结论； 上面的第1步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④成比例线段法；　 【特别提醒】线面平行判定定理应用的误区 1、条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”； 2、不能利用题目条件顺利地找到两平行直线； 例5、如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点， M是PC的中点，在DM上取一点G， 过点G和AP作平面，交平面BDM于GH； 求证：AP∥GH； ( 学习笔记 )【证明】　如图，连接AC，交BD于点O，连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以点O是AC的中点． 又因为点M是PC的中点， 所以AP∥OM. 又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， 所以AP∥平面BDM. 因为平面PAHG∩平面BDM＝GH， AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH； 【说明】1、利用线面平行的性质定理解题的步骤： （1）找面：找一个与已知平面相交且过已知直线的平面； （2）定线：确定两平面的交线； （3）结论：检验性质定理必须满足条件，然后下结论； 2、运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交 的交线，然后确定线线平行； 题型4、空间平面与平面平行的证明与应用 例6、如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形， M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： （1）BE∥平面DMF； （2）平面BDE∥平面MNG. 【证明】（1）如图，连接AE， 则AE必过DF与GN的交点O 因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点. 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. （2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点， 所以DE∥NG， 又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点，N为AD的中点， 所以MN为△ABD的中位线， ( 学习笔记 )所以BD∥MN， 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE∥平面MNG； 【说明】判定（证明）面面平行的主要方法 （1）利用面面平行的定义：根据定义证明两平面没有公共点（采用反证法）； （2）利用面面平行的判定定理：只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可； （3）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 【特别提醒】利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线 是相交直线； 例7、如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)， 直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D； （1）求证：AC∥BD； （2）已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长. 【解析】（1）证明　：∵PB∩PD＝P， ∴直线PB和PD确定一个平面γ ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又α∥β，∴AC∥BD. （2）解：由（1）得AC∥BD，则＝. 又PA＝4，AB＝5，PC＝3. ∴＝，∴CD＝， 故PD＝PC＋CD＝. 【说明】面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想； 与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化； 题型5、空间平行综合题 例8、如图，点P在四边形ABCD所在平面外，AD∥BC，AB＝BC＝AD， E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点， AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. ( 学习笔记 )（1）求证：AP∥平面BEF； （2）求证：GH∥平面PAD； 【解析】（1）证明：如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝AD， 所以BC∥AE，BC＝AE， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点. 又因为F是PC的中点，所以FO∥AP， 因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， 所以AP∥平面BEF. （2）连接OH，因为F，H分别是PC，CD的中点， 所以FH∥PD， 因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD， 所以FH∥平面PAD. 又因为O是AC的中点，H是CD的中点， 所以OH∥AD， 因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， 所以OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，FH，OH⊂平面OHF， 所以平面OHF∥平面PAD. 又因为GH⊂平面OHF， 所以GH∥平面PAD； 【说明】解决平行关系的综合问题的方法： 1、在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面， 以便运用线面平行的性质； 2、要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化． 在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化； 转化思想是解决这类问题的最有效的方法； 1、证明两条直线平行 主要体现数学逻辑推理核心素养，主要方法： （1）根据定义，在同一个平面内且没有公共点； ( 学习笔记 )（2）利用公理4； （3）利用图形性质，如中位线、平行四边形的对边等； （4）结合线面平行与面面平行的性质定理； 2.等角定理的结论是相等或互补，实际应用时要借助图形直观来判断. 当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时，这两个角相等，否则这两个角互补.　　　　　　　　　　　　　 2、线面平行的判定与性质 （1）判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点). ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). （2）应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置， 有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线. 3、面面平行的判定与性质 （1）.判定面面平行的主要方法 ①利用面面平行的判定定理. ②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). （2）面面平行条件的应用 ①两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行. ②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 【特别提醒】利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线 是相交直线. 4、证明线线、线面以及面面平行时的互相转化 在证明线线、线面以及面面平行时，常进行如下转化： 线线平行线面平行面面平行. 1、若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的 位置关系是___________________________________ 【答案】平行、相交或异面 【解析】画图可知两直线可平行、相交或异面； 2、点S在三角形ABC平面外，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES， 则EG与平面SBC的关系为______________________ 【答案】平行 【解析】如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2， 又AE∶ES＝2，∴EG∥SF， 又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC， ∴EG∥平面SBC. 3、对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________. 【答案】矩形 【解析】如图所示. ( 学习笔记 ) ∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点， ∴MN∥AC且MN＝AC， PQ∥AC且PQ＝AC， 即MN∥PQ且MN＝PQ， ∴四边形MNPQ是平行四边形. 又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ， ∴平行四边形MNPQ是矩形. 4、如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP＝1，BP＝4， CD＝6，那么CP＝________.________________ 【答案】2 【解析】因为平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β， ( 学习笔记 )直线AB与CD交于点P，所以AC∥BD，所以＝， 因为AP＝1，BP＝4，CD＝6， 所以＝，所以CP＝2. 5、对于不重合直线a，b，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中， 能推出α∥β的有________．(填写所有正确的序号)． ①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ； ③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β. 【答案】②④； 【解析】对于①，当γ⊥α，γ⊥β时，α与β相交，或α与β平行； 对于②，当α∥γ，β∥γ时，根据平行平面的公理得α∥β； 对于③，当a∥α，a∥β时，α与β相交，或α与β平行； 对于④，当a∥b时，若a⊥α，则b⊥α，又b⊥β，所以α∥β； 综上，能推出α∥β的是②④. 6、设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ， 且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________(填序号). 【答案】①或③ 解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面， ②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确. 7、下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　 ) A．直线m在平面α外 B．直线m与平面α内的两条直线平行 C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行 D．直线m与平面α内的一条直线平行 【答案】C； 【解析】选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交； 选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α； 选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意． 8、如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD， 则(　 　) A．GH∥SA ( 学习笔记 )B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能 【答案】B.； 【解析】因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD， 所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B. 9、如图，已知AB与CD是异面直线， 且AB∥平面α，CD∥平面α， AC∩α＝E，AD∩α＝F， BD∩α＝G，BC∩α＝H； 求证：四边形EFGH是平行四边形． 【证明】因为AB∥平面α，AB⊂平面ABC， 平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH， 因为AB∥平面α，AB⊂平面ABD， 平面ABD∩平面α＝FG， 所以AB∥FG，所以EH∥FG， 同理由CD∥平面α可证EF∥GH， 所以四边形EFGH是平行四边形； 10、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点， 且＝＝. （1）求证：PQ∥平面A1D1DA； （2）若R是AB上的点，的值为多少时， 能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明. 【解析】（1）证明　连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1， 因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM，所以＝＝， 又因为＝＝， ( 学习笔记 )所以＝＝， 所以PQ∥MD1. 又MD1⊂平面A1D1DA， PQ⊄平面A1D1DA， 故PQ∥平面A1D1DA. （2）解　当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA. 如图，证明： 因为＝， 即＝，故＝.所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA， 又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR， 所以平面PRQ∥平面A1D1DA. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$