微专题 空间直线、平面的垂直（解题策略）-2024-2025学年高二数学重难点微专题（沪教版2020必修第三册）

( 微专题 空间直线、平面的 垂直 ) 【原卷版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、空间两直线的垂直 关键是计算两直线所成角是否为直角； 两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线 互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b； 2、直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α； （2）有关概念 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0. 取值范围 【说明】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．　　　 （3）三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； （4）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ( 学习笔记 )3、平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 4、重要结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的 一个重要方法). （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. （4）三种垂直关系的转化 题型1、空间直线与直线垂直 例1、如图，P为△ABC所在平面α外一点， PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为（ ） ( 学习笔记 )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 例2、正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点， 求证：异面直线DB1与EF垂直； ( 学习笔记 )【说明】证明空间的两条直线垂直的方法： 1、定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直. 2、平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形 (等边三角形)底边的中线和底边垂直等. 题型2、空间直线与平面垂直的判定与性质 例3、下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 【说明】直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解； 实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于 这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直， 那么这条直线就一定不与这个平面垂直； 例4、已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________________ 【说明】利用线面垂直的判定定理判定一条已知直线和一个平面垂直，关键是在这个平面内 找出两条相交直线都与已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直； 例5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D， 求证：AD⊥平面SBC； ( 学习笔记 ) 【说明】证明线面垂直的常用方法及关键： 1、证明直线和平面垂直的常用方法： ①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)； ③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． 2、证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质； 3、利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤： （1）在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直； （2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线； （3）根据判定定理得出结论； 例6、已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题： ①a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c； ④a⊥α，β⊥α⇒a∥β.其中不正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【说明】1、线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化； 2、常用的线面垂直的性质还有： ①b⊥α，a⊂α⇒b⊥a；②a⊥α，b∥a⇒b⊥α；③a⊥α，a⊥β⇒α∥β； ( 学习笔记 )题型3、空间平面与平面垂直的判定与性质 例7、如图所示，已知：点P在四边形ABCD所在平面外， 底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1， PA＝AD＝PD＝2，E为PD的中点； （1）求证：平面PCD⊥平面ACE； （2）求点B到平面ACE的距离； 【说明】1、判定面面垂直的方法： （1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理； 2、面面垂直性质的应用： （1）面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”； （2）若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面； 3、三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化； 4、对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的 相关定理、性质进行推理论证； ( 学习笔记 )题型4、空间垂直的综合应用 例8、如图，点P在三角形ABC所在平面外， AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝2， O为AC的中点； （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且PM与平面ABC所成角的正切值为， 求：二面角M－PA－C的平面角的余弦值； ( 学习笔记 )【说明】三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化； 求解时应注意垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理， 在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直； 通常用与求线面角与二面角的平面角的“找角”辅助； 1、空间两直线的垂直 关键是计算两直线所成角是否为直角. 2、利用线面垂直的判定定理判定 一条已知直线和一个平面垂直，关键是在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直， 即线线垂直⇒线面垂直； 3、证明线面垂直主要方法： （1）线面垂直定义； （2）线面垂直的判定定理； （3）面面垂直的性质； （4）借助两个结论：①若a∥b，a⊥α则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质. 4、面面垂直判定的两种方法与一个转化 （1）两种方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). （2）一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. （3）面面垂直性质的应用 ①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”. ②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面； ( 学习笔记 ) 1、如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β， 且BA⊥α，BC⊥β， 那么直线l与直线AC的关系是________. 2、已知△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC， 则平面PBC与平面ABC的位置关系是__________________________ 3、线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________. 4、如图，∠BCA＝90°， PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中： （1）与PC垂直的直线有__________________； （2）与AP垂直的直线有__________________． 5、点P在三角形ABC外，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心. (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心. 6、如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面， C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E， 点F是PB上一点，则下列判断中正确的是（ ） ①BC⊥平面PAC ②AE⊥EF ③AC⊥PB ④平面AEF⊥平面PBC 7、如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A. 平行 B. 垂直相交 C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直 8、设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α C.若l∥α，m⊂α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m ( 学习笔记 )9、如图所示，点P为四边形ABCD平面外一点，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°， PA＝AB＝BC，E是PC的中点； 证明：（1）CD⊥AE； （2）PD⊥平面ABE； ( 学习笔记 )10、如图，点P为四边形ABCD平面外一点，，底面ABCD为四边形， △ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB， 平面PBD⊥平面ABCD. （1）求证：PD⊥平面ABCD； （2）若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长. ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 微专题 空间直线、平面的 垂直 ) 【解析版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、空间两直线的垂直 关键是计算两直线所成角是否为直角； 两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线 互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b； 2、直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α； （2）有关概念 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0. 取值范围 【说明】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．　　　 （3）三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； （4）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ( 学习笔记 )3、平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 4、重要结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的 一个重要方法). （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. （4）三种垂直关系的转化 题型1、空间直线与直线垂直 例1、如图，P为△ABC所在平面α外一点， PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为（ ） ( 学习笔记 )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B； 【解析】由PB⊥α，AC⊂α，又AC⊥PC，由三垂线定理，得AC⊥BC；故选B； 例2、正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点， 求证：异面直线DB1与EF垂直； 【解析】方法1：如图1所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G， 连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1， ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)． ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. 图1 方法2：如图2所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE， 则HE綊DB1，于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)． 连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝， 取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝， ∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. 图2 方法3：如图3，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN. ∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF. 连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM， ( 学习笔记 )∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P， 则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)． 设AA1＝k(k>0)，则MP＝k，DM＝k，DP＝k， ∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. 方法4：如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF， ∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)． 设AA1＝k(k>0)，则B1D＝k，DQ＝k，B1Q＝k， ∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°；∴异面直线DB1与EF所成的角为90°； 【说明】证明空间的两条直线垂直的方法： 1、定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直. 2、平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形 (等边三角形)底边的中线和底边垂直等. 题型2、空间直线与平面垂直的判定与性质 例3、下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 【答案】④⑤ 【解析】当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确； 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确； 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确；故填④⑤； 【说明】直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解； 实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于 ( 学习笔记 )这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直， 那么这条直线就一定不与这个平面垂直； 例4、已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________________ 【答案】②③⇒①（或①③⇒②）； 【解析】已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α， 因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α； 由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m； 【说明】利用线面垂直的判定定理判定一条已知直线和一个平面垂直，关键是在这个平面内 找出两条相交直线都与已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直； 例5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D， 求证：AD⊥平面SBC； 【证明】因为∠ACB＝90°， 所以BC⊥AC. 又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC. 又AC∩SA＝A，SA⊂平面SAC，AC⊂平面SAC. ∴BC⊥平面SAC， 因为AD⊂平面SAC，所以BC⊥AD. 又SC⊥AD，SC∩BC＝C， 所以AD⊥平面SBC； 【说明】证明线面垂直的常用方法及关键： 1、证明直线和平面垂直的常用方法： ①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)； ③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． 2、证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质； 3、利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤： （1）在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直； ( 学习笔记 )（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线； （3）根据判定定理得出结论； 例6、已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题： ①a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c； ④a⊥α，β⊥α⇒a∥β.其中不正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】①正确；②中b⊂α有可能成立，故②不正确；③正确；④中a⊂β有可能成立， 故④不正确； 【说明】1、线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化； 2、常用的线面垂直的性质还有： ①b⊥α，a⊂α⇒b⊥a；②a⊥α，b∥a⇒b⊥α；③a⊥α，a⊥β⇒α∥β； 题型3、空间平面与平面垂直的判定与性质 例7、如图所示，已知：点P在四边形ABCD所在平面外， 底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1， PA＝AD＝PD＝2，E为PD的中点； （1）求证：平面PCD⊥平面ACE； （2）求点B到平面ACE的距离； 【解析】（1）证明　由PA＝AD＝PD，E为PD的中点，可得AE⊥PD， 因为CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD， 而AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE， 由CD∩PD＝D，则AE⊥平面PCD， 又AE⊂平面ACE，所以平面PCD⊥平面ACE. （2）解：如图，连接BD，与AC交于O，则O为BD的中点， 所以点D到平面ACE的距离即为点B到平面ACE的距离． 由平面PCD⊥平面ACE，过D作DM⊥CE，垂足为M， 则DM⊥平面ACE，则DM为点D到平面ACE的距离． 由CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD， 又CD＝DE＝1，所以DM＝CE＝， ( 学习笔记 )即点B到平面ACE的距离为； 【说明】1、判定面面垂直的方法： （1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理； 2、面面垂直性质的应用： （1）面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”； （2）若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面； 3、三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化； 4、对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的 相关定理、性质进行推理论证； 题型4、空间垂直的综合应用 例8、如图，点P在三角形ABC所在平面外， AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝2， O为AC的中点； （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且PM与平面ABC所成角的正切值为， 求：二面角M－PA－C的平面角的余弦值； 【解析】（1）证明：方法1：如图，连接OB； ∵AB＝BC＝2，AC＝2， ∴AB2＋BC2＝AC2， 即△ABC是直角三角形， 又O为AC的中点， ∴OA＝OB＝OC， 又∵PA＝PB＝PC， ∴△POA≌△POB≌△POC， ∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°. ∴PO⊥AC，PO⊥OB， ∵OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC， ∴PO⊥平面ABC. 方法2：如图，连接OB， ∵PA＝PC，O为AC的中点，PA＝PB＝PC＝AC＝2， ( 学习笔记 )∴PO⊥AC，PO＝， 又∵AB＝BC＝2， ∴AB⊥BC，BO＝， ∴PO2＋OB2＝PB2， ∴PO⊥OB， ∵OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC， ∴PO⊥平面ABC. （2）解：由（1）知，PO⊥平面ABC， ∴OM为PM在平面ABC上的射影， ∴∠PMO为PM与平面ABC所成角， ∵tan∠PMO＝＝＝， ∴OM＝1， 在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC＝1， ∴M为BC的中点． 如图，作ME⊥AC交AC于E， 则E为OC的中点，作EF⊥PA交PA于F，连接MF， ∴MF⊥PA， ∴∠MFE即为所求二面角M－PA－C的平面角，ME＝， EF＝AE＝××2＝， MF＝＝， ∴cos∠MFE＝＝， 故二面角M－PA－C的平面角的余弦值为； 【说明】三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化； 求解时应注意垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理， 在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直； 通常用与求线面角与二面角的平面角的“找角”辅助； ( 学习笔记 ) 1、空间两直线的垂直 关键是计算两直线所成角是否为直角. 2、利用线面垂直的判定定理判定 一条已知直线和一个平面垂直，关键是在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直， 即线线垂直⇒线面垂直； 3、证明线面垂直主要方法： （1）线面垂直定义； （2）线面垂直的判定定理； （3）面面垂直的性质； （4）借助两个结论：①若a∥b，a⊥α则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质. 4、面面垂直判定的两种方法与一个转化 （1）两种方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). （2）一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. （3）面面垂直性质的应用 ①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”. ②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面； 1、如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β， 且BA⊥α，BC⊥β， 那么直线l与直线AC的关系是________. 【答案】l⊥AC 【解析】∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l， ( 学习笔记 )又BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l， 又AB∩BC＝B，且AB，BC⊂平面ABC， ∴直线l⊥平面ABC，故l⊥AC； 2、已知△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC， 则平面PBC与平面ABC的位置关系是__________________________ 【答案】平面PBC⊥平面ABC 【解析】因为PA＝PB＝PC， 所以P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上， 又Rt△ABC的外心为BC的中点， 设为O，则PO⊥平面ABC， 又PO⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC； 3、线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________. 【答案】4 【解析】如图， 设AB的中点为M， 分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1. 则由线面垂直的性质可知， AA1∥MM1∥BB1， 四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5， MM1为其中位线，所以MM1＝4； 4、如图，∠BCA＝90°， PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中： （1）与PC垂直的直线有__________________； （2）与AP垂直的直线有__________________． 【答案】（1）AB，AC，BC；（2）BC； 【解析】（1）因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC， 所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC； （2）∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC， AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP； 5、点P在三角形ABC外，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心. (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心. 【答案】（1）外；（2）垂； 【解析】（1）如图1，连接OA，OB，OC，OP， ( 学习笔记 ) 图1 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心. （2）如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G； 因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB， 图2 所以PC⊥AB.因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC， 又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高； 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心； 6、如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面， C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E， 点F是PB上一点，则下列判断中正确的是（ ） ①BC⊥平面PAC ②AE⊥EF ③AC⊥PB ④平面AEF⊥平面PBC 【答案】①②④； 【解析】对于①，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面， 则PA⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 则BC⊥平面PAC，所以①正确； 对于②，由①项可知BC⊥AE， 由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB， 所以AE⊥平面PCB.而EF⊂平面PCB， 所以AE⊥EF，所以②正确； 对于③，由②项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直， ( 学习笔记 )所以AC⊥PB不成立，所以③错误； 对于④，由B项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF， 由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC，所以④正确； 7、如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A. 平行 B. 垂直相交 C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直 【答案】C 【解析】连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC. 因为AC∩ MC＝C，所以BD⊥平面AMC. 又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD. 显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交. 8、设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α C.若l∥α，m⊂α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m 【答案】B 【解析】对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线， 所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线， 又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°， 即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面. 9、如图所示，点P为四边形ABCD平面外一点，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°， PA＝AB＝BC，E是PC的中点； 证明：（1）CD⊥AE； （2）PD⊥平面ABE； 【解析】（1）证明：由题意得， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. ( 学习笔记 )而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. （2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA； ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD； ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB； 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE； 10、如图，点P为四边形ABCD平面外一点，，底面ABCD为四边形， △ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB， 平面PBD⊥平面ABCD. （1）求证：PD⊥平面ABCD； （2）若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长. 【解析】（1）证明：如图所示，E为BD的中点，连接AE，△ABD是正三角形，则AE⊥BD. ∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AE⊂平面ABCD， 故AE⊥平面PBD. ∵PD⊂平面PBD，故AE⊥PD. ∵PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB⊂平面ABCD， 故PD⊥平面ABCD. (2)解　如图所示，过点E作EF⊥PB于点F，连接CF. ∵BC⊥CD，BC＝CD，E为BD的中点，故EC⊥BD， 故EC⊥平面PBD，∴CE⊥PB. 又EF⊥PB，∴PB⊥平面CEF， ∴CF⊥PB， 故∠EFC为二面角C－PB－D的平面角. ∵cos∠EFC＝， 故tan∠EFC＝，又EC＝1，故EF＝， sin∠PBD＝＝，tan∠PBD＝， ( 学习笔记 )即＝，则PD＝1； ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$