微专题 空间角及其几何求法（解题策略）-2024-2025学年高二数学重难点微专题（沪教版2020必修第三册）

( 微专题 空间角 及其 几何求法 ) 【原卷版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、异面直线所成的角： 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成 的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）； 异面直线夹角的范围是：（0，]　； 2、直线与平面所成的角 （1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角； 一条直线垂直于平面，则它们所成的角是：； 条直线和平面平行或直线在平面内，则它们所成的角是： 0； （2）线面角θ的取值范围：　[0，]　； （3）最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内 任一条直线所成角中最小的角； 3、二面角与两个平面的夹角 （1）平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面； 一般地，一条直线和由这条直线出发的 两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面； 棱为l，面为α，β的二面角，记作二面角α－l－β； （2）一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角； （3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角 是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是[0，π]　； 平面角是直角的二面角叫做直二面角； 一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直； 题型1、几何法求异面直线所成的角 例1、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中， E，F分别是A1B1，B1C1的中点， ( 学习笔记 )求：异面直线DB1与EF所成角的大小； 【提示】先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解； 【解析】方法1： 方法2： 方法3： ( 学习笔记 )例2、如图所示，AB是圆O的直径， 点C是弧AB的中点， D，E分别是VB，VC的中点， 求：异面直线DE与AB所成的角； 【说明】求两条异面直线所成角的步骤： 1、恰当选点，用平移法构造出一个相交角； 2、证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）； 3、把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数； 4、给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角； 若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角； 题型2、几何法求直线与平面所成的角 例3、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面， C是圆周上不同于A，B的一动点； （1）证明：△PBC是直角三角形； （2）若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时， 求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. ( 学习笔记 ) 【说明】几何法求线面角的三个步骤：一作（找）角，二证明，三计算， 其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关 键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解； 例4、如图，点P在四边形ABCD外，底面ABCD是平行四边形， ∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝， M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD； （1）证明：AB⊥PM； （2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值； ( 学习笔记 )【说明】求直线与平面所成角的步骤： 1、寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； 2、连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； 3、把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角； 题型3、几何法求平面与平面所成的角 例5、如图所示，空间四边形S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形， 且BC＝2，SA＝，则二面角S－BC－A的大小为(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 例6、如图所示， PA⊥平面ABC，AC⊥BC， AB＝2，BC＝，PB＝， 求：二面角P－BC－A的大小； ( 学习笔记 )【说明】作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法（1），也可以用垂面法（2），即在一个半平面内找一点作 另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直， 由此可得二面角的平面角；或三垂线定理（3）； 题型4、有关空间角的探究 例7、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，AA1，AB的中点，P为底面ABCD 上一动点，且直线D1P∥平面EFG，则D1P与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为(　　) A． B． C．[1，] D． 【说明】本题是空间角与三角比的交汇与整合； 题型5、空间角与新定义的交汇 例8、在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马； 已知在阳马P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，则直线PD与平面PAC 所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. ( 学习笔记 ) 1、求异面直线所成角的方法 方法一：综合法.步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线， 或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角； ③通过解三角形来求角. 【易错提醒】用几何法求异面直线所成的角时，通过平移直线所得的角不一定就 是两异面直线所成的角，也可能是其补角； 2、求直线与平面所成角的方法 几何法步骤为：①找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角； ③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角. 【规律方法】几何法求线面角的关键是找出线面角（重点是找垂线与射影）， 然后在三角形中应用余弦定理(勾股定理)求解； 3、求平面与平面的所成角方法 几何法步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)； ②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角； 求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定. 4、最小角定理：平面的一条斜线与平面内所有直线的夹角中，斜线与它在平面内的射影 的夹角最小； 1、若∠AOB=120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________. 2、空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB， 则EF与CD所成的角为________. 3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点， 则异面直线AE与CD所成角的正切值为 ( 学习笔记 )4、如图，点P在四边形ABCD所在平面外， 底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点； 已知AB＝2，AD＝2，PA＝2； 则异面直线BC与AE所成的角的大小为 5、如图所示，在空间四边形P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的 大小为________． 6、如图，平面角为锐角的二面角α­EF­β，A∈EF，AGα， ∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°， 则二面角α­EF­β的大小为 7、如图，在空间四边形ABCD中，平面BCD，， P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（       ） A． B． C． D． 8、如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角， 此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是(　 　) A．30° B．45° C．60° D．90° 9、如图所示，在空间四边形ABCD中， AB＝CD，AB⊥CD， E，F分别为BC，AD的中点， 求EF和AB所成的角． ( 学习笔记 ) 10、如图所示， 已知菱形ABCD和矩形BDEF所在平面互相垂直， AB＝2，∠BAD＝120°，DE＝3； （1）证明：平面ACF⊥平面BDEF； （2）设AD中点为G，求直线FG与底面ABCD所成角的余弦值； ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 微专题 空间角 及其 几何求法 ) 【解析版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、异面直线所成的角： 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成 的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）； 异面直线夹角的范围是：（0，]　； 2、直线与平面所成的角 （1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角； 一条直线垂直于平面，则它们所成的角是：； 条直线和平面平行或直线在平面内，则它们所成的角是： 0； （2）线面角θ的取值范围：　[0，]　； （3）最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内 任一条直线所成角中最小的角； 3、二面角与两个平面的夹角 （1）平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面； 一般地，一条直线和由这条直线出发的 两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面； 棱为l，面为α，β的二面角，记作二面角α－l－β； （2）一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角； （3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角 是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是[0，π]　； 平面角是直角的二面角叫做直二面角； 一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直； 题型1、几何法求异面直线所成的角 例1、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中， E，F分别是A1B1，B1C1的中点， ( 学习笔记 )求：异面直线DB1与EF所成角的大小； 【提示】先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解； 【解析】方法1：如图（1），连结A1C1，B1D1， 并设它们相交于点O，取DD1的中点G， 连结OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1， ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角； （1） ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点． ∴GO⊥A1C1； ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°； 方法2：如图（2），连结A1D，取A1D的中点H， 连结HE，HF，则HE∥DB1，且HE＝DB1； 于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角； 设AA1＝1.则EF＝，HE＝， （2） 取A1D1的中点I，连结IF，IH，则HI⊥IF， ∴HF2＝HI2＋IF2＝，∴HF2＝EF2＋HE2. ∴∠HEF＝90°， ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°； 方法3：如图（3），在原正方体的右侧补上一个全等的正方体， 连结DQ，B1Q，则B1Q∥EF. 于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角． 设AA1＝1， （3） 则DQ＝＝，B1D＝＝，B1Q＝＝， 所以B1D2＋B1Q2＝DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°; 例2、如图所示，AB是圆O的直径， 点C是弧AB的中点， D，E分别是VB，VC的中点， 求：异面直线DE与AB所成的角； 【提示】注意借助平面几何性质“找”异面直线所成的角 【解析】因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE， 因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角， 又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点， 所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°， ( 学习笔记 )故异面直线DE与AB所成的角为45°； 【说明】求两条异面直线所成角的步骤： 1、恰当选点，用平移法构造出一个相交角； 2、证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）； 3、把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数； 4、给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角； 若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角； 题型2、几何法求直线与平面所成的角 例3、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面， C是圆周上不同于A，B的一动点； （1）证明：△PBC是直角三角形； （2）若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时， 求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 【解析】（1）证明　∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点. ∴BC⊥AC. ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC， ∴△BPC是直角三角形. （2）解　如图，过A作AH⊥PC于H， 连接BH， ∵BC⊥平面PAC， ∴BC⊥AH. 又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， ∴AH⊥平面PBC， ∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角. ∵PA⊥平面ABC， ∴∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角， ∴tan∠PCA＝＝， 又PA＝2，∴AC＝， ( 学习笔记 )∴在Rt△PAC中，AH＝＝， ∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝， 故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 【说明】几何法求线面角的三个步骤：一作（找）角，二证明，三计算， 其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关 键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解； 例4、如图，点P在四边形ABCD外，底面ABCD是平行四边形， ∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝， M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD； （1）证明：AB⊥PM； （2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值； 【解析】（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形， ∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点， 所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°， 易得CD⊥DM. 又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM， 所以CD⊥平面PDM. 因为AB∥CD， 所以AB⊥平面PDM. 又PM⊂平面PDM，所以AB⊥PM. （2）解：由（1）知AB⊥平面PDM， 所以∠NAB为直线AN与平面PDM所成角的余角. 连接AM，因为PM⊥MD，由(1)知PM⊥DC， 又MD，DC⊂平面ABCD，MD∩DC＝D， 所以PM⊥平面ABCD，又AM⊂平面ABCD， 所以PM⊥AM. 因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2， 所以由余弦定理得AM＝， 又PA＝，所以PM＝2， ( 学习笔记 )所以PB＝PC＝2. 连接BN，结合余弦定理得BN＝. 连接AC，则由余弦定理得AC＝， 在△PAC中，结合余弦定理得 PA2＋AC2＝2AN2＋2PN2， 所以AN＝. 所以在△ABN中， cos∠BAN＝＝＝. 设直线AN与平面PDM所成的角为θ， 则sin θ＝cos ∠BAN＝. 故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为； 【说明】求直线与平面所成角的步骤： 1、寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； 2、连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； 3、把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角； 题型3、几何法求平面与平面所成的角 例5、如图所示，空间四边形S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形， 且BC＝2，SA＝，则二面角S－BC－A的大小为(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD， ∵△ABC，△SBC都是等边三角形， ∴SB＝SC，AB＝AC， 因此有AD⊥BC，SD⊥BC； ∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角. 因为BC＝2，AD⊥BC，SD⊥BC，△SBC，△ABC都是等边三角形， ( 学习笔记 )所以SD＝＝＝，AD＝＝＝， 而SA＝，所以△SDA是正三角形， ∴∠ADS＝60°， 即二面角S－BC－A的大小为60°； 例6、如图所示， PA⊥平面ABC，AC⊥BC， AB＝2，BC＝，PB＝， 求：二面角P－BC－A的大小； 【提示】先利用二面角的平面角的定义找平面角，再通过解三角形求解； 【解析】方法1：∵PA⊥平面ABC， 斜线PC在平面ABC上的射影为AC， BC平面ABC， AC⊥BC， 所以，由三垂线定理得：PC⊥BC； 方法2：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又∵PC平面PAC，∴PC⊥BC； 又∵BC⊥AC. ∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角； 在Rt△PBC中， ∵PB＝，BC＝，∴PC＝2. 在Rt△ABC中，AC＝＝， ∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝＝， ∴∠PCA＝45°，即二面角P­BC­A的大小为45°； 【说明】作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法（1），也可以用垂面法（2），即在一个半平面内找一点作 另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直， 由此可得二面角的平面角；或三垂线定理（3）； 题型4、有关空间角的探究 例7、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，AA1，AB的中点，P为底面ABCD 上一动点，且直线D1P∥平面EFG，则D1P与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为(　　) A． B． C．[1，] D． 【提示】由题意知面EFG在正方体ABCD－A1B1C1D1上的截面为EFGH且H为DC中点， 根据正方体、线面平行的性质，有P在BC上，即D1P与平面ABCD所成角为∠DPD1， 进而可求其正切值的范围; 【答案】B； 【解析】由题意，如图所示， 平面EFG在正方体ABCD－A1B1C1D1上的截面为EFGH， 且H为DC的中点， 因为D1P∥平面EFG，而平面A1BCD1∥平面EFG， ( 学习笔记 )所以D1P⊂平面A1BCD1， 又点P为底面ABCD上的一个动点，则点P在BC上， 所以D1P与平面ABCD所成的角为∠DPD1， 当点P与点B重合时，∠DPD1最小， 此时tan∠DBD1＝＝， 当点P与点C重合时，∠DPD1最大， 此时tan∠DCD1＝＝1， 所以tan∠DPD1∈； 【说明】本题是空间角与三角比的交汇与整合； 题型5、空间角与新定义的交汇 例8、在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马； 已知在阳马P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，则直线PD与平面PAC 所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A ( 学习笔记 )【解析】如图，在正方形ABCD中，连接BD交AC于O，则DO⊥AC，连接PO. 因为PA⊥平面ABCD，DO⊂平面ABCD， 所以PA⊥DO，而PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以DO⊥平面PAC， 于是∠DPO是直线PD与平面PAC所成的角. 因为PA＝AD＝1，易知PA⊥AD， 所以PD＝＝， 易知DO＝DB＝＝， 所以sin∠DPO＝＝， 即直线PD与平面PAC所成角的正弦值为； 1、求异面直线所成角的方法 方法一：综合法.步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线， 或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角； ③通过解三角形来求角. 【易错提醒】用几何法求异面直线所成的角时，通过平移直线所得的角不一定就 是两异面直线所成的角，也可能是其补角； 2、求直线与平面所成角的方法 几何法步骤为：①找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角； ③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角. 【规律方法】几何法求线面角的关键是找出线面角（重点是找垂线与射影）， 然后在三角形中应用余弦定理(勾股定理)求解； 3、求平面与平面的所成角方法 几何法步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)； ②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角； 求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定. 4、最小角定理：平面的一条斜线与平面内所有直线的夹角中，斜线与它在平面内的射影 的夹角最小； ( 学习笔记 ) 1、若∠AOB=120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________. 【答案】； 【解析】因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以a与OB所成的角为 2、空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB， 则EF与CD所成的角为________. 【答案】30°； 【解析】取AD的中点H，连FH，EH，在△EFH中∠EFH=90°，HE=2HF，从而∠FEH=30°. 【说明】两条异面直线所成的角的定义；平移法规范作图是前提； 3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点， 则异面直线AE与CD所成角的正切值为 【答案】 【解析】方法1：∵AB∥CD，∴∠EAB(或其补角)为AE与CD所成的角. 连接BE(图略)，则在Rt△ABE中，若设AB＝2，则BE＝，从而tan∠EAB＝＝， ∴异面直线AE与CD所成角的正切值为.故选C. 方法2：（补形法） 如图，在已知正方体ABCD－A1B1C1D1的后面再补上一个与其相同的正方体DCFG－D1C1F1G1， 取FF1中点E1，连接DE1，EE1，则EE1CFAD， ( 学习笔记 ) ∴四边形AEE1D是平行四边形. ∴DE1∥AE. ∴∠E1DC(或其补角)为AE与CD所成角. 连接E1C，设AB＝2，则DC＝2，CE1＝. 在Rt△DCE1中，tan∠E1DC＝＝； 4、如图，点P在四边形ABCD所在平面外， 底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点； 已知AB＝2，AD＝2，PA＝2； 则异面直线BC与AE所成的角的大小为 【答案】； 【解析】取PB中点F，连接EF，AF，则EF∥BC， 从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角． 在△AEF中，由于EF＝，AF＝，AE＝PC＝2； 所以AF2＋EF2＝AE2，∠AFE＝， 则△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝； 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是； 5、如图所示，在空间四边形P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的 大小为________． 【答案】90°； 【解析】∵PA⊥平面ABC，BA，CA平面ABC， ∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B­PA­C的平面角； 又∠BAC＝90°，故二面角B­PA­C的大小为90°； ( 学习笔记 )6、如图，平面角为锐角的二面角α­EF­β，A∈EF，AGα， ∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°， 则二面角α­EF­β的大小为 【答案】45°； 【解析】作GH⊥β于点H，作HB⊥EF于点B，连结AH，GB， 则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角； 又∠GAH是AG与β所成的角， 设AG＝a，则GB＝a，GH＝a，sin∠GBH＝＝， 所以∠GBH＝45°， 故二面角α­EF­β的平面角为45°； 7、如图，在空间四边形ABCD中，平面BCD，， P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】在四面体ABCD中，平面，平面，则，而， 即，又，平面，则有平面，而平面， 于是得，因P为AC的中点，即，而，平面， 则平面，又平面，从而得， 所以直线BP与AD所成的角为；故选：D； 8、如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角， 此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是(　 　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D； 【解析】连结B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a， ( 学习笔记 )则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a， 所以B′C2＝B′D2＋DC2， 所以∠B′DC＝90°； 9、如图所示，在空间四边形ABCD中， AB＝CD，AB⊥CD， E，F分别为BC，AD的中点， 求EF和AB所成的角． 【解析】如图所示，取BD的中点G，连结EG，FG. ∵E，F，G分别为BC，AD，BD的中点，AB＝CD， ∴EGCD，GFAB. ∴∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角． ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF， ∴∠EGF＝90°. ∵AB＝CD，∴EG＝GF， ∴△EFG为等腰直角三角形， ∴∠GFE＝45°，即EF和AB所成的角为45°； 10、如图所示， 已知菱形ABCD和矩形BDEF所在平面互相垂直， AB＝2，∠BAD＝120°，DE＝3； （1）证明：平面ACF⊥平面BDEF； （2）设AD中点为G，求直线FG与底面ABCD所成角的余弦值； 【解析】（1）证明　∵平面ABCD⊥平面BDEF， 且平面ABCD∩平面BDEF＝BD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥平面BDEF， ∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDEF. ( 学习笔记 )（2）解　连接BG， 因为平面ABCD⊥平面BDEF， 平面ABCD∩平面BDEF＝BD， 且四边形BDEF是矩形， 所以BF⊥BD， 所以BF⊥底面ABCD，∠FGB即为直线FG与平面ABCD所成角， 在△BAG中，BG2＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝5＋2＝7， ∴BG＝，FG＝＝4， 在△BFG中，cos∠FGB＝＝， 故直线FG与底面ABCD所成角的余弦值为； ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$