微专题 空间的距离及其几何求法（解题策略）-2024-2025学年高二数学重难点微专题（沪教版2020必修第三册）

( 微专题 空间 的 距离 及其 几何求法 ) 【原卷版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) “距离”在生活中随处可见，其概念是从生活中的具体问题中抽象出来的；义务教育阶段 已经学过点与点之间的距离，那么在空间中两个图形之间的距离又有哪些距离？如何转化求之； 1、空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长； 2、点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离； 3、直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个 平面的距离； 4、两个平行平面间的距离 （1）公垂线与公垂线段 与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行 平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段； （2）两个平行平面间的距离 两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离； 5、两条异面直线之间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且 相交； （2）我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线， 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段； 两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； （3）我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段； 求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为 求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面， 则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； ( 学习笔记 ) 题型1、点到平面的距离及其求法 例1、如图，已知边长为a的菱形ABCD中， ∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD， E是PA的中点， 求：点E到平面PBC的距离； 【说明】本题考查了点面的距离及其求法；求点到平面距离的步骤： 1、作(或找)出点到平面的垂线段的垂足，并证明线面垂直. 2、求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离. 3、在平面图形中(一般为三角形)计算所求线段的长. ( 学习笔记 )4、下结论：给出所求距离：简称“一作，二证，三求，四答”； ( 学习笔记 )例2、如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AD，AB边的中点， GC⊥平面AC，GC＝2， 求：点B到平面EFG的距离. 题型2、直线与平面的距离及其求法 例3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝1，则直线CC1和平面B1BDD1 的距离为(　　) A． 　　　 B． C． 　　　 D．1 例4、矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2， BC＝，ED＝； 求：（1）点B到平面AED的距离；（2）EF到平面ABCD的距离；． ( 学习笔记 ) 【说明】本题考查了线面距离的计算；当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都 相等，因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解； 题型3、平面到平面的距离及其求法 例5、如图，点P在四边形ABCD所在平面外，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点， PA⊥平面AC，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________． 例6、如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等， 其中AB∥CD∥EF，AD＝AB＝CD＝1， 且ED⊥平面ABCD，点G是CD的中点． （1）求证：平面BCF∥平面AEG； （2）求平面BCF与平面AEG的距离； ( 学习笔记 ) 题型4、异面直线间距离及其求法 例7、已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a， E，F分别是AB，CD的中点； （1）求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）求异面直线AB与CD的距离． ( 学习笔记 )例8、在矩形ABCD中，，， 沿对角线AC将折起， 使AD与BC垂直，求异面直线AD与BC间的距离． 空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、 面面距离等. 在这些距离当中，点到平面的距离居核心地位. 在高考中也经常涉及， 线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解; 求点面距的基本方法有：作垂线计算、等积法求解、向量法求解、平行转化法及比例转化法等. 1、点面、线面距离 （1）点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个 点到这个平面的距离； （2）直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离， 叫作这条直线和这个平面的距离；当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等， 因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解； ( 学习笔记 )2、求点到平面距离的步骤： (1)作(或找)出点到平面的垂线段的垂足，并证明线面垂直. (2)求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离. (3)在平面图形中(一般为三角形)计算所求线段的长. (4)下结论：给出所求距离：简称“一作，二证，三求，四答”. 3、空间中距离的转化 （1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到 平面的距离； （2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)， 转化为另一点到平面的距离； 因此，点面距离就成了这一类距离问题的交汇点。 空间中点、线、面距离的相互转化关系 1、已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为， 那么P到平面ABC的距离为________． 2、已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的 距离均为，那么P到平面ABC的距离为________. 3、已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到 另一个面的距离为_________． 4、空间四边形ABCD的各棱长均为3，则点A到平面BCD的距离为__________ 5、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是__________． ( 学习笔记 )6、已知空间四边形S­ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°， 则点D到平面SBC的距离等于 7、已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间 的距离为(　　 ) A．2 B．3 C．2　　 D．3 8、有如下命题，其中错误的命题是（       ） A．若直线，且，则直线a与平面的距离等于平面、间的距离； B．若平面平面，点，则点A到平面的距离等于平面、间的距离； C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离； D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离; 9、已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别为1和2，A，B两点在平面α内的射影之间的 距离为，求直线AB和平面α所成的角的大小； ( 学习笔记 )10、已知，，，为空间四个点，是边长2的等边三角形， ， （1）若，求点到平面的距离； （2）若，求直线与平面所成角的大小； （3）设点在平面内的射影为点， 若点到三边所在直线的距离相等，求实数的值. ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 微专题 空间 的 距离 及其 几何求法 ) ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) “距离”在生活中随处可见，其概念是从生活中的具体问题中抽象出来的；义务教育阶段 已经学过点与点之间的距离，那么在空间中两个图形之间的距离又有哪些距离？如何转化求之； 1、空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长； 2、点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离； 3、直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个 平面的距离； 4、两个平行平面间的距离 （1）公垂线与公垂线段 与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行 平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段； （2）两个平行平面间的距离 两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离； 5、两条异面直线之间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且 相交； （2）我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线， 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段； 两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； （3）我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段； 求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为 求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面， 则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； ( 学习笔记 ) 题型1、点到平面的距离及其求法 例1、如图，已知边长为a的菱形ABCD中， ∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD， E是PA的中点， 求：点E到平面PBC的距离； 【提示】注意根据题设与交汇性质找“距离”； 【解析】如图，设AC，BD相交于点O，连接EO， ∵E为PA的中点，O为AC的中点，∴EO∥PC. ∵EO⊄平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴EO∥平面PBC， ∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离. 在平面ABCD内过O作OG⊥BC于点G. ∵PC⊥平面ABCD，OG⊂平面ABCD， ∴PC⊥OG，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， ∴OG⊥平面PBC， ∴OG的长即为所求距离. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴OB⊥AC，∠CBD＝∠ABD＝30°， ∴OB＝AB·cos∠ABD＝a·cos 30°＝a， ∴OG＝OB·sin∠OBC＝a·sin 30°＝a， 即点E到平面PBC的距离为a； 【说明】本题考查了点面的距离及其求法；求点到平面距离的步骤： 1、作(或找)出点到平面的垂线段的垂足，并证明线面垂直. 2、求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离. 3、在平面图形中(一般为三角形)计算所求线段的长. ( 学习笔记 )4、下结论：给出所求距离：简称“一作，二证，三求，四答”； 例2、如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AD，AB边的中点， GC⊥平面AC，GC＝2， 求：点B到平面EFG的距离. 【提示】注意根据题设与交汇性质找“距离”； 【解析】如图，连接AC，BD交于O点，EF交AC于点M， 连接GM，在△GCM中作OH⊥MG于点H. ∵E，F分别为AD，AB的中点， ∴EF∥BD. 又∵EF⊂平面GEF，BD⊄平面GEF，∴BD∥平面EFG. 由GC⊥平面AC，EF⊂平面AC，可得GC⊥EF， 又∵EF⊥AC，AC∩GC＝C，∴EF⊥平面MGC. 又∵OH⊂平面MGC，∴EF⊥OH. 又∵OH⊥GM，GM∩EF＝M， ∴OH⊥平面EFG. ∴OH即为点O到平面EFG的距离，即为直线BD到平面EFG的距离， 即为点B到平面EFG的距离. ∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴AC＝4，∴CM＝3，OM＝. 又GC＝2，∴GM＝＝. 由△MHO∽△MCG，得＝， ∴HO＝＝， 即点B到平面EFG的距离为. 题型2、直线与平面的距离及其求法 例3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝1，则直线CC1和平面B1BDD1的距离为(　　) A． 　　　 B． ( 学习笔记 )C． 　　　 D．1 【答案】B； 【解析】连接AC(图略)，则AC⊥BD，又BB1⊥AC，BD∩BB1＝B， 故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝， 即直线CC1和平面B1BDD1的距离为. 例4、矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2， BC＝，ED＝； 求：（1）点B到平面AED的距离；（2）EF到平面ABCD的距离；． 【答案】（1）2；（2）； 【解析】∵ABCD，CDEF为矩形， ∴ED⊥CD，CD∥AB，∴AB⊥ED， 又∵AB⊥AD，ED∩AD＝D，∴AB⊥平面AED，∴BA即为所求距离， 因此点B到平面AED的距离为2. ∵ED⊥AD，AD∩CD＝D，∴ED⊥平面ADCB， ∴E到平面ADCB的距离为. ∵EF∥平面ABCD， ∴EF到平面ABCD的距离也是. 【说明】本题考查了线面距离的计算；当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都 相等，因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解； 题型3、平面到平面的距离及其求法 例5、如图，点P在四边形ABCD所在平面外，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点， PA⊥平面AC，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________． ( 学习笔记 )【答案】1； 【解析】∵E，F，G，H为PA，PB，PC，PD的中点， ∴平面EFGH∥平面ABCD， ∵PA⊥平面AC， ∴PA⊥平面EG， ∴AE为平面AC与平面EG的公垂线段， AE＝PA＝1; 例6、如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等， 其中AB∥CD∥EF，AD＝AB＝CD＝1， 且ED⊥平面ABCD，点G是CD的中点． （1）求证：平面BCF∥平面AEG； （2）求平面BCF与平面AEG的距离； 【解析】（1）证明： ∵AB∥CD，AB＝CD，G是CD的中点， ∴AB∥GC， ∴四边形ABCG为平行四边形，∴BC∥AG. 又AG⊂平面AEG，BC⊄平面AEG， ∴BC∥平面AEG. ∵直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，AB∥CD∥EF， ∴EFAB，∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF. 又AE⊂平面AEG，BF⊄平面AEG，∴BF∥平面AEG. 又BF∩BC＝B，BF，BC⊂平面BCF， ∴平面BCF∥平面AEG. （2）易知AE＝EG＝AG＝， 且点C在平面AEG上的射影为三角形AEG的中心 不妨设点C到平面AEG的距离为d， 由平面几何性质得，在含d的RT三角形中，斜边长，另一直角边为， 解得d＝. 平面BCF与平面AEG的距离为. ( 学习笔记 )题型4、异面直线间距离及其求法 例7、已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a， E，F分别是AB，CD的中点； （1）求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）求异面直线AB与CD的距离． 【提示】（1）连接EC，ED，可以证得EF⊥CD，同理可得EF⊥AB； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）连接EC，ED， 因为AB＝AC＝AD＝BC＝BD＝CD=a，所以， 又E为AB的中点，所以EC＝ED， 因为F为CD的中点，所以EF⊥CD， 同理，可得EF⊥AB， 又 ， ， 所以EF即为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）在中，∠CFE＝90°，，，所以， 所以异面直线AB与CD的距离为. 例8、在矩形ABCD中，，， 沿对角线AC将折起， 使AD与BC垂直，求异面直线AD与BC间的距离． 【提示】由线面垂直的判断定理可得平面ABD，平面BCD， 再由线面垂直的性质定理可得BD是异面直线AD与BC的公垂线，即可求解； 【答案】 【解析】由于原平面四边形ABCD是矩形，则， 因为，，、平面ABD， 所以平面ABD，即， 又，，，、平面BCD， 所以平面BCD，得， ( 学习笔记 )则BD是异面直线AD与BC的公垂线， 在直角三角形ABD中，，， 所以； 空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、 面面距离等. 在这些距离当中，点到平面的距离居核心地位. 在高考中也经常涉及， 线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解; 求点面距的基本方法有：作垂线计算、等积法求解、向量法求解、平行转化法及比例转化法等. 1、点面、线面距离 （1）点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个 点到这个平面的距离； （2）直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离， 叫作这条直线和这个平面的距离；当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等， 因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解； 2、求点到平面距离的步骤： (1)作(或找)出点到平面的垂线段的垂足，并证明线面垂直. (2)求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离. (3)在平面图形中(一般为三角形)计算所求线段的长. (4)下结论：给出所求距离：简称“一作，二证，三求，四答”. 3、空间中距离的转化 （1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到 平面的距离； （2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)， ( 学习笔记 )转化为另一点到平面的距离； 因此，点面距离就成了这一类距离问题的交汇点。 空间中点、线、面距离的相互转化关系 1、已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为， 那么P到平面ABC的距离为________． 【提示】注意题设中的“对称性”，借助“同理可证”； 【答案】 【解析】如图所示，设PO⊥平面ABC于O， PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接OE，OF，OC. ∵PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PO⊥AC. 又PO∩PE＝P，∴AC⊥平面POE. 又OE⊂平面POE，∴AC⊥OE. 同理有BC⊥OF.∴四边形OECF为矩形． ∵PC＝PC且PE＝PF，∴Rt△PEC≌Rt△PFC. ∴EC＝FC＝ ＝1，∴四边形OECF是边长为1的正方形． ∴OC＝. 在Rt△POC中，PO＝＝＝. 2、已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的 距离均为，那么P到平面ABC的距离为________. 【答案】； 【解析】如图，过点P作PO⊥平面ABC于O， 则PO为P到平面ABC的距离； 再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F， 连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC． 又PE＝PF＝，所以OE＝OF， ( 学习笔记 )所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°. 在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1， 所以PO＝＝ ＝. 3、已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到 另一个面的距离为_________． 【提示】作出图形，根据题意结合直角三角形运算求解. 【答案】3 【解析】如图，设二面角为，点，且， 过点A作平面，垂足为，连接， ∵平面，， ∴， 又∵，平面ABC， ∴平面ABC， 平面ABC，则， 故二面角的平面角为， 在Rt△ABC中，， 故点A到平面的距离为3. 故答案为：3. 4、空间四边形ABCD的各棱长均为3，则点A到平面BCD的距离为__________ 【分析】设是底面的中心，则的长是点A到平面BCD的距离，由勾股定理计算可得． 【答案】 【解析】如图，取的中心，的中点，连接， ∵空间四边形ABCD的各棱长均为3，则平面，， 平面， ∴， ( 学习笔记 )由题意可得：， 则， 故点A到平面BCD的距离为. 故答案为：. 5、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是__________． 【答案】4； 【解析】 如图所示，作PD⊥BC于D，连结AD. ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，且PA∩PD＝P， ∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC. 在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4， 在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.] 6、已知空间四边形S­ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°， 则点D到平面SBC的距离等于 【答案】 【解析】如图，在△SAB中，过A作AE⊥SB交SB于E， 因为SA⊥平面ABC， 所以SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB＝A， 所以BC⊥平面SAB，因为AE⊂平面SAB， 所以BC⊥AE，而AE⊥SB，且BC∩SB＝B， 所以AE⊥平面SBC. 在△SAB中，由勾股定理易得SB＝5，则由等面积法可得AE＝，因为D为AB的中点， ( 学习笔记 )所以D到平面SBC的距离为AE＝； 7、已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间 的距离为(　　 ) A．2 B．3 C．2　　 D．3 【答案】D； 【解析】过B作BC⊥α于C，则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin 60°＝3.； 8、有如下命题，其中错误的命题是（       ） A．若直线，且，则直线a与平面的距离等于平面、间的距离； B．若平面平面，点，则点A到平面的距离等于平面、间的距离； C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离； D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离; 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案 【答案】C 【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的 是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中 一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于 两个平行平面的距离，所以ABD都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段， 所以C错误 9、已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别为1和2，A，B两点在平面α内的射影之间的 距离为，求直线AB和平面α所成的角的大小； 【解析】 图① 解　(1)如图①，当点A，B位于平面α的同侧时， 过点A，B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1， 则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝. ( 学习笔记 )过点A向BB1作垂线，垂足为H， 则AB与AH所成的角即为AB与平面α所成的角，即∠BAH为AB与平面α所成的角. 在Rt△BHA中，AH＝A1B1＝，BH＝BB1－AA1＝1， ∴tan∠BAH＝＝＝.又∠BAH为锐角， ∴∠BAH＝30°，∴AB与平面α所成的角为30°. 图② (2)如图②，当点A，B位于平面α的异侧时，AB与平面α相交于点C， 过点A，B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1. 则A1B1为AB在平面α上的射影， ∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角. 设B1C＝x，则A1C＝－x，AA1＝1，BB1＝2.易知△BB1C∽△AA1C，则＝， 即＝，x＝，∴tan∠BCB1＝＝， 又∠BCB1为锐角，∴∠BCB1＝∠ACA1＝60°， 即AB与平面α所成的角为60°. 综上，AB与平面α所成的角为30°或60°. 10、已知，，，为空间四个点，是边长2的等边三角形， ， （1）若，求点到平面的距离； （2）若，求直线与平面所成角的大小； （3）设点在平面内的射影为点， 若点到三边所在直线的距离相等，求实数的值. 【提示】（1）取的中点，连接，过作平面的垂线， 垂足为，连接，由题意可求得，进而可求得，即可求解； （2）由（1）可知为直线与平面所成的角，求出即可 （3）先确定的位置，易知,中心，即可求解; ( 学习笔记 )【答案】（1）；（2）（3）2 【解析】（1）取的中点，连接，过作平面的垂线， 垂足为，连接，由题意易知， 则由三垂线定理的逆定理可知， 又，故三点共线， 因为，， 所以，， 所以，所以， 因为， 所以， 所以点到平面的距离为； （2）由（1）可知为直线与平面所成的角， 因为，， 所以， 所以直线与平面所成角的大小为； （3）因为点在平面内的射影为点， 且点到三边所在直线的距离相等， 若为内切圆的圆心，即内心， 又因为为等边三角形， 所以为的中心， 所以三棱锥为正三棱锥， 所以，所以； 若为的旁心，如图，,与已知矛盾，舍去； 所以; ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$