微专题 空间的共面、共点与共线问题（解题策略）-2024-2025学年高二数学重难点微专题（沪教版2020必修第三册）

( 微专题 空间 的 共面、 共 点 与 共线 问题 ) 【原卷版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合 符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言 描述出来，再转换为符号语言； 同时体会与实践三个公理的作用，即：共面、共线、共点问题的证明；一般而言： 1、证明共面：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； 二是证明两平面重合； 2、证明共线：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； 二是直接证明这些点都在同一条特定的直线上； 3、证明共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点； 题型1、点线共面问题 例1、证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 【提示】先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面上； 【解析】 ( 学习笔记 )【说明】证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2；常用方法有以下几种 1、纳入平面法：①证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α； ②证明其余直线上均有两点在平面α内，即其余直线也在平面α内， 也就是证明了这些直线共面； 2、辅助平面法：①证明这些点、直线确定若干个平面；②利用公理及其推论证明 这些平面重合，从而证明了这些直线共面． 3、反证法：假设不共面，结合题设推出矛盾； 题型2、点共线问题 例2、已知△ABC在平面α外， 其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R， 如图所示．求证：P，Q，R三点共线； 【说明】证明点共线的方法： 1、首先找出两个平面，根据公理3可知两相交平面交线的唯一性，然后证明这些点分别 在两个平面内，都是这两个平面的公共点，则这些点都在两个平面的交线上； 2、选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上； ( 学习笔记 )题型3、线共点问题 例3、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， E，F分别为AB，AA1的中点； 求证：CE，D1F，DA三线交于一点； 【说明】证明线共点的步骤： 1、首先说明两条直线共面且交于一点； 2、说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交； 3、得到交线也过此点，从而得到三线共点；第四、第五条…同理可证；　 ( 学习笔记 )题型4、共面、共线、共点问题的综合 例4、已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点， AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：（1）D，B，F，E四点共面. （2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线. （3）DE，BF，CC1三线交于一点. 例5、已知：a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a、b、c、d共面． ( 学习笔记 )例6、已知：A、B、C、D、E五点，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面， 则A、B、C、D、E五点一定共面吗？ 【错解】A、B、C、D、E五点共面； 【说明】共面问题的证明，常分两步：（1）确定平面； （2）证明元素在确定的平面内，必须注意到平面是确定的，上述错解中， 由于没有注意到B、C、D三点不一定确定平面，即默认B、C、D三点一定不共线，因而出错； 【说明】证点共面常用两种方法： 一是三点确定平面，证其余点也在平面内； 二是确定几个平面，再证这几个平面重合； 1、证明点、线共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明； 二是先由其中不共线的三点或点、线确定一个平面，再证其他点或也在这个平面内即可； 2、要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3， 即证点在两个平面的交线上，或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上； 3、证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上；此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线， 证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点； ( 学习笔记 ) 1、经过空间任意三点作平面 2、若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内， 则点A，B必在______________________ 3、不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定_______________个平面． 4、若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD， 则O，C，D三点的位置关系是________． 5、空间有四个点，如果其中任意三个点不共线， 则经过其中三个点的平面有______________个． 6、给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ②三条两两相交的直线在同一平面内； ③有三个不同公共点的两个平面重合； ④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确结论的个数是__________． 7、设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在 同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的(　 　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8、已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　) A．1条或2条 B．2条或3条 C．1条或3条 D．1条或2条或3条 9、如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点， 如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上． ( 学习笔记 )10、已知△ABC在平面α外， AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图； 求证：P，Q，R三点共线； ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 微专题 空间 的 共面、 共 点 与 共线 问题 ) ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合 符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言 描述出来，再转换为符号语言； 同时体会与实践三个公理的作用，即：共面、共线、共点问题的证明；一般而言： 1、证明共面：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； 二是证明两平面重合； 2、证明共线：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； 二是直接证明这些点都在同一条特定的直线上； 3、证明共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点； 题型1、点线共面问题 例1、证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 【提示】先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面上； 【解析】已知：如图所示， l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C； 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内； 证法一：（纳入平面法） ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α． ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2； 又∵l2⊂α，∴B∈α； 同理可证C∈α； 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α， ∴直线l1，l2，l3在同一平面内； 证法二：（辅助平面法） ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α． ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β． ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α． ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β． 同理可证B∈α，B∈β， ( 学习笔记 )C∈α，C∈β． ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内； 【说明】证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2；常用方法有以下几种 1、纳入平面法：①证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α； ②证明其余直线上均有两点在平面α内，即其余直线也在平面α内， 也就是证明了这些直线共面； 2、辅助平面法：①证明这些点、直线确定若干个平面；②利用公理及其推论证明 这些平面重合，从而证明了这些直线共面． 3、反证法：假设不共面，结合题设推出矛盾； 题型2、点共线问题 例2、已知△ABC在平面α外， 其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R， 如图所示．求证：P，Q，R三点共线； 【解析】证法1：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线． 证法2：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC， ∴Q∈平面APR，又Q∈α， ∴Q∈PR， ∴P，Q，R三点共线； 【说明】证明点共线的方法： ( 学习笔记 )1、首先找出两个平面，根据公理3可知两相交平面交线的唯一性，然后证明这些点分别 在两个平面内，都是这两个平面的公共点，则这些点都在两个平面的交线上； 2、选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上； 题型3、线共点问题 例3、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， E，F分别为AB，AA1的中点； 求证：CE，D1F，DA三线交于一点； 【证明】如图，连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点， F为AA1的中点，所以EFA1B. 又因为A1B綉D1C，所以EFD1C， 所以E，F，D1，C四点共面； 设D1F∩CE＝P. 又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD， 所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点． 又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， 所以，根据公理3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点； 【说明】证明线共点的步骤： 1、首先说明两条直线共面且交于一点； 2、说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交； 3、得到交线也过此点，从而得到三线共点；第四、第五条…同理可证；　 题型4、共面、共线、共点问题的综合 例4、已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点， AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：（1）D，B，F，E四点共面. （2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线. （3）DE，BF，CC1三线交于一点. ( 学习笔记 )【解析】（1）如图所示， 连接B1D1.由题意知EF是△D1B1C1的中位线， 所以EF∥B1D1； 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， B1D1∥BD，所以EF∥BD， 所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面. （2）记A1，C，C1三点确定的平面为平面α， 平面BDEF为平面β； 因为Q∈A1C1，所以Q∈α； 又Q∈EF，所以Q∈β， 所以Q是α与β的公共点； 同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ； 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.； （3）因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M， 则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1， 同理，M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点； 例5、已知：a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a、b、c、d共面． 【提示】注意根据题设与公理2及其推论； 【解析】（1）设b、c、d三线相交于点K， 与a分别交于N、P、M且K∉a． ∵K∉a， ∴K和a确定一个平面，设为α． ∵N∈a，aα，∴N∈α， ∴NK⊂α，即b⊂α． 同理，c⊂α，d⊂α，∴a、b、c、d共面． （2）无三线共点情况，如图． 设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S． ∵a∩d＝M， ∴a，d可确定一个平面α． ∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α． ∴NQ⊂α，即b⊂α． ( 学习笔记 )同理，c⊂α， ∴a、b、c、d共面． 由（1）（2）可知，a、b、c、d共面； 例6、已知：A、B、C、D、E五点，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面， 则A、B、C、D、E五点一定共面吗？ 【错解】A、B、C、D、E五点共面； 【说明】共面问题的证明，常分两步：（1）确定平面； （2）证明元素在确定的平面内，必须注意到平面是确定的，上述错解中， 由于没有注意到B、C、D三点不一定确定平面，即默认B、C、D三点一定不共线，因而出错； 【正解】 （1）当B、C、D三点不共线时， 由公理2可知B、C、D三点确定一个平面α， 由题设知A∈α，E∈α，故A、B、C、D、E五点共面于α； （2）当B、C、D三点共线时，设共线于l，且A∈l，E∈l，则A、B、C、D、E五点共面； 若A、E有且只有一点在l上，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E都不在l上， 则A、B、C、D、E五点不一定共面； 【说明】证点共面常用两种方法： 一是三点确定平面，证其余点也在平面内； 二是确定几个平面，再证这几个平面重合； 1、证明点、线共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明； 二是先由其中不共线的三点或点、线确定一个平面，再证其他点或也在这个平面内即可； 2、要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3， 即证点在两个平面的交线上，或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上； 3、证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上；此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线， 证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点； 1、经过空间任意三点作平面 ( 学习笔记 )【答案】只有一个或有无数多个 【解析】当三点在一条直线上时，过这三点能作无数个平面； 当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个； 2、若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内， 则点A，B必在______________________ 【答案】α与β的交线上 【解析】设α∩β＝l，因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l. 3、不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定_______________个平面． 【答案】3； 【解析】三条直线相交于一点，最多可确定3个平面， 如图所示， 直线a，b，c相交于点A， 直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ， 共3个平面； 4、若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD， 则O，C，D三点的位置关系是________． 【答案】共线； 【解析】如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面， 记作平面β，则α∩β＝直线CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD， ∴O，C，D三点共线； 答案：共线； 5、空间有四个点，如果其中任意三个点不共线， 则经过其中三个点的平面有______________个． 【答案】1或4； 【解析】四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面； 6、给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ②三条两两相交的直线在同一平面内； ③有三个不同公共点的两个平面重合； ④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确结论的个数是__________． 【答案】0； ( 学习笔记 )【解析】如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AD与A′B′都与直线AA′相交， 但是直线AD与A′B′不在同一平面内，故①错误；在正方体ABCD－A′B′C′D′中， 直线AB，AD，AA′两两相交，但是这三条直线不在同一平面内，故②错误； 当两个平面相交时，两个平面可有无数个公共点， 只有当两个平面有三个不共线的公共点时，两个平面才重合，故③错误； 两两平行的三条直线也可能在同一平面内，故④错误．综上可知，正确结合的个数是0； 7、设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在 同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的(　 　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A； 【解析】由过一条直线和直线外一点有且只有一个平面，可得P1，P2，P3，P4在 同一个平面内，故充分性成立．由过两条平行直线有且只有一个平面可得， 当P1∈l1，P2∈l1，P3∈l2，P4∈l2，l1∥l2时，P1，P2，P3，P4在同一个平面内， 但P1，P2，P3，P4中无三点共线，故必要性不成立．故选A； 8、已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　) A．1条或2条 B．2条或3条 C．1条或3条 D．1条或2条或3条 【答案】D； 【解析】当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线； 当平面β和γ平行时，它们的交线有2条； 当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线； 9、如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点， 如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上． 【证明】∵EF∩GH＝P， ∴P∈EF且P∈GH. 又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD， ∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 又P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD， 由公理3可得P∈BD. ∴点P在直线BD上． 10、已知△ABC在平面α外， AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图； ( 学习笔记 )求证：P，Q，R三点共线； 【解析】证法1：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知： 点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线． 证法2：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. 又∵Q∈平面APR，Q∈α，∴Q∈PR. ∴P，Q，R三点共线. 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