精品解析：河南省创新发展联盟2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2023—2024学年高二下学期第三次月考 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 8 2. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 4 D. 7 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知由样本数据组成的一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ） A. 第一､二､三象限 B. 第二､三､四象限 C. 第一､二､四象限 D. 第一､三､四象限 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在某城市中，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，则不同的路径共有（ ） A. 36条 B. 37条 C. 52条 D. 53条 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，各奇数项的二项式系数之和为32，则（ ） A. 常数项为 B. C. 项的系数为40 D. 项的系数为 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若存在极值点，则 B. 若，则有且只有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若1是极大值点，则 11. 已知，且成等差数列，随机变量的分布列为 1 2 3 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则__________. 13. 现有甲､乙等5人站成一排，若甲不站在队伍的最左边，且与乙相邻，则不同的站法共有__________.种.（用数字作答） 14. 已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢运动 40 20 60 不喜欢运动 20 20 40 合计 60 40 100 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？ （2）按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率. 附：，其中 01 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则点为曲线的拐点. （1）若函数，判断曲线是否有拐点，并说明理由； （2）若函数，且点为曲线的拐点，求在上的值域. 18. 在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为. （1）求的分布列与期望； （2）证明为等比数列，并求关于的表达式. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年高二下学期第三次月考 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数、组合数公式计算即得. 【详解】. 故选：A 2. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解即得. 【详解】函数，求导得，， 所以 故选：B 3. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 4 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由随机变量期望的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则. 故选：D 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，求出，即切线的斜率，结合点斜式方程，即可得到答案. 【详解】因为，所以，则， 故函数的图象在点处的切线方程为，即. 故选：C. 5. 已知由样本数据组成的一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ） A 第一､二､三象限 B. 第二､三､四象限 C. 第一､二､四象限 D. 第一､三､四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知负相关，已知条件求得样本中心点，然后根据经验回归直线经过样本点中心即可得出结果. 【详解】由相关系数为，知负相关，所以. 又，求得样本中心点为， 由于在经验回归直线上，且点在第三象限， 所以经验回归直线经过第二､三､四象限. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，求出，再将其和代入条件概率公式，即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 故. 故选：B. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数单调性问题转化为导数恒成立问题，再求解即可. 【详解】由，得，因为在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立，则，从而. 故选：C. 8. 在某城市中，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，则不同的路径共有（ ） A. 36条 B. 37条 C. 52条 D. 53条 【答案】D 【解析】 【分析】由图得出最短路径为8步，再分情况得出路径条数，最后根据分类加法原理求解即可. 【详解】由图可知，从地出发去往地的最短路径共8步，其中4步向下，4步向右，且前4步中最多2步向右， 则不同的路径共有条. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，各奇数项的二项式系数之和为32，则（ ） A. 常数项为 B. C. 项的系数为40 D. 项的系数为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，利用二项式定理逐项判断得解. 【详解】由展开式中各奇数项的二项式系数之和为32，得，解得，B正确； 的展开式的常数项为，A错误； 展开式项的项的系数为，C错误，D正确. 故选：BD 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若存在极值点，则 B. 若，则有且只有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若1是的极大值点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出导函数，由题意可得有两个不相等的正根或一正一负根，可判断A；由，判断两根的情况，可判断B；由有两个极值点，可得有两个不相等的正根，得到，可判断C；由1是的极大值点，判断为较小的正根，即可判断D. 【详解】因为，所以， 若存在极值点， 则方程有2个不相等的实数根，且至少有一个根为正数， 则或，故A错误； 若，则， 则方程有2个不相等的实数根，且， 故方程恰有1个正根，即有且只有一个极值点，故B正确； 若有两个极值点，则方程有2个不相等的正根， 则，从而，故正确； 若1是的极大值点， 则易知方程有2个不相等的正根，且，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知，且成等差数列，随机变量的分布列为 1 2 3 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合分布列的性质计算判断AB；求出期望、方差的函数关系推理判断CD. 【详解】对于AB，由，得，A错误，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D， ， 当时，取得最大值，且最大值为，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由，可得，则. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 13. 现有甲､乙等5人站成一排，若甲不站在队伍的最左边，且与乙相邻，则不同的站法共有__________.种.（用数字作答） 【答案】42 【解析】 【分析】分情况讨论，再由分类加法计数原理得出答案即可. 【详解】若乙站在甲的左边，则有种不同的站法；若乙站在甲的右边， 则有种不同站法，故共有42种不同的站法. 故答案为：42. 14. 已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先变形等式，并构造函数，并判断函数的对称性和单调性，将不等式变形为，利用函数的性质，即可求解不等式. 【详解】由，可得. 令，则，，所以的图象关于直线对称. 当时，，所以， 又上连续，所以在上单调递增，且在上单调递减， 由，可得，即， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数,利用函数的性质，求解不等式. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别令和，即可求解； （2）令和，两式求和化简可得答案. 【小问1详解】 令，得， 令，得， 所以. 【小问2详解】 令，得， 令，得， 则， 则. 16. 为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢运动 40 20 60 不喜欢运动 20 20 40 合计 60 40 100 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？ （2）按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）学生的性别与是否喜欢运动有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方，与临界值比较即可得解； （2）由古典概型概率计算公式结合组合数计算即可得解. 【小问1详解】 零假设为：学生的性别与是否喜欢运动无关， 根据列联表中的数据，计算得到， 根据的独立性检验，我们推断不成立，即学生的性别与是否喜欢运动有关. 【小问2详解】 由题意得选取的喜欢运动的男学生人数为，则不喜欢运动的男学生、喜欢运动的女学生、不喜欢运动的女学生的人数之和为， 则至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率为. 17. 设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则点为曲线的拐点. （1）若函数，判断曲线是否有拐点，并说明理由； （2）若函数，且点为曲线的拐点，求在上的值域. 【答案】（1）曲线有拐点，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据拐点的定义计算即可得到结论； （2）根据拐点的定义可得，利用导数研究函数在区间上的单调性，从而可得值域. 【小问1详解】 曲线有拐点，理由如下： 由题意得，，， 由，得或. 因为，， 所以点为曲线的拐点. 【小问2详解】 由题意得，， 由，得，且. 则，, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，所以在上单调递增. 因为，，所以在上的值域为. 18. 在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为. （1）求的分布列与期望； （2）证明为等比数列，并求关于的表达式. 【答案】（1）分布列见解析， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由的可能取值，计算相应的概率，列出分布列，利用公式计算期望； （2）由第次取出来的球的颜色，讨论红球的个数和相应的概率，得与的关系式，通过构造证明为等比数列，利用等比数列的通项求关于的表达式. 【小问1详解】 的可能取值为2，3，4. ， ， ， 则的分布列为 2 3 4 故. 【小问2详解】 ①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5， 则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为； ②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是， 此时红球的个数为. 故， ， 则，所以是公比为的等比数列. 故， 即. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出的解集即可. （2）根据给定条件，借助分析法将不等式转化为，再求出左右两边函数的最值即可推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 若，则，且当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减； 若，令，解得， 若，即，则恒成立，当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增； 若，即，则当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减； 若，即，则在上恒成立，函数在上递增； 若，即，则当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减， 所以当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 要证，需证， 而，即有， 则只需证明，即证，即证， 令，则，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，则， 令，则，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 从而，即成立. 【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$