专题07 函数的极值和最值的应用8种常考题型归类【好题汇编】-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第二册）

专题07 函数极值和最值的应用8种常考题型归类 函数极值和最值的应用 求函数的最值 已知函数的极值点或极值点个数求参数范围 已知函数的极值点或极值求参数 求函数的极值点或极值 函数极值概念辨析 函数的零点求参数的范围 已知函数的最值求参数的范围 函数恒成立或者有解求参数范围 函数极值概念辨析 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（    ）    A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 2．（23-24高二上·江苏淮安·期末）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．仅有两个极值点 B．有两个极大值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 3．（22-23高二上·广东深圳·期末）（多选）函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（    ）    A．的减区间是 B．的增区间是 C．有一个极大值点，两个极小值点 D．有三个零点 4．（23-24高二上·山西忻州·期末）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．有2个极大值点 D．只有1个极小值点 5．（23-24高二上·江苏镇江·期末）（多选）已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．函数的单调递增区间是， C．处是函数的极值点 D．时，函数的导函数小于0 求函数的极值点或极值 6．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）设函数，则 （    ） A．为极大值点 B．为极大值点 C．为极小值点 D．无极值点 7．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 8．（21-22高二上·黑龙江牡丹江·期末）（多选）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二下·江西·期末）已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为（    ） A．或 B． C．2 D． 10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）（多选）已知，下列说法正确的是（　　） A．在 处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 11．（23-24高三上·山西大同·期末）（多选）已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·四川·期末）函数的极大值为 ． 已知 函数的极值点或极值求参数 13．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若函数在处有极小值，则（　　） A． B． C．或 D． 14．（21-22高二上·陕西西安·期末）若函数在处有极值，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知函数有两个极值点p，q，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·重庆·期末）若是函数，的极值点，则 . 17．（22-23高二下·福建漳州·期末）若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·山西运城·期末）（多选）若是函数的极值点，则下面结论正确的为（    ） A． B．的递增区间为 C．的极小值为1 D．的极大值为 已知函数的极值点或极值点个数求参数范围 19．（23-24高三上·宁夏银川·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高二下·福建福州·期末）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二下·安徽滁州·期末）已知存在唯一极小值点，则的范围是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高二下·四川绵阳·期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 23．（23-24高三上·江苏镇江·期末）（多选）若函数有两个不相等的极值点，则实数的取值可以是（    ） A． B．2 C．1 D．0 24．（9-10高二下·天津·期末）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ． 25．（23-24高三上·山西运城·期末）设是函数的两个极值点，若，则的范围为 . 26．（23-24高二下·甘肃·期末）已知函数． (1)若恰有两个极值点，求实数的取值范围； (2)若的两个极值点分别为，证明:． 27．（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函数. (1)求函数的极值； (2)设函数有两个极值点，求证：. 求函数的最值 28．（2022·全国·期末）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·福建南平·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 30．（2022·全国·期末）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 31．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数，若且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 32．（23-24高二上·江苏南通·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 33．（23-24高二上·湖南长沙·期末）（多选）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 34．（2021·全国·期末）函数的最小值为 . 35．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ． 36．（21-22高二下·全国·期末）已知函数，． (1)若，求a的值，并求出在处的切线方程； (2)若，，求最小值的最大值． 已知函数的最值求参数的范围 37．（21-22高二上·黑龙江鸡西·期末）若函数的最小值为，则实数（     ） A． B． C．4 D． 38．（22-23高二下·福建龙岩·期末）（多选）若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（    ） A． B． C． D． 39．（22-23高二上·陕西西安·期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 . 40．（2023·四川宜宾·三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（22-23高二上·山西大同·期末）（多选）已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 42．（21-22高二下·吉林·期末）当时，函数取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 43．（18-19高二上·安徽芜湖·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 44．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知函数，若的最大值为 (1)求的值； (2)若在上恒成立，求b的取值范围. 45．（22-23高二上·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值． 函数恒成立或者有解求参数范围 46．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数，若恒成立，则 . 48．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若在区间上恒成立，求a的最小值． 49．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设a为实数，函数． (1)求的极值； (2)对于，都有，试求实数a的取值范围． 50．（23-24高三上·江西赣州·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求a和b的值； (2)若，求m的取值范围． 51．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的极值点和零点； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 函数的零点求参数的范围 52．（23-24高二上·山西吕梁·期末）函数的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 53．（23-24高二上·江苏南通·期末）若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 54．（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知函数的图象与轴有且仅有两个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D．0 55．（22-23高三上·河南·期末）若函数恰好有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．（23-24高三上·河北张家口·期末）已知函数在R上无零点，则实数a的取值范围是 ． 58．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 59．（23-24高三上·江西·期末）已知函数（）. (1)当时，求的最小值； (2)若有2个零点，求a的取值范围. 60．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 61．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知函数（） (1)求的单调区间； (2)当有3个零点时，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数极值和最值的应用8种常考题型归类 函数极值和最值的应用 求函数的最值 已知函数的极值点或极值点个数求参数范围 已知函数的极值点或极值求参数 求函数的极值点或极值 函数极值概念辨析 函数的零点求参数的范围 已知函数的最值求参数的范围 函数恒成立或者有解求参数范围 函数极值概念辨析 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（    ）    A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 【答案】B 【分析】根据题意结合导数判断的单调性，进而逐项分析判断. 【详解】因为， 由图可知：，；或，； 且或，；，； 可得或，；，； 且函数为连续可导函数， 则在内单调递减，在内单调递增， 可知有且仅有一个极小值，无极大值，故AC错误，B正确； 由于不知的解析式，故不能确定的零点，故D错误； 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏淮安·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．仅有两个极值点 B．有两个极大值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】BC 【分析】根据的图象，得到的正负，得到单调性和极值情况，得到答案. 【详解】根据的图象，可得 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在，处取得极大值，在处取得极小值，故A错误；B正确；C正确；D错误. 故选：BC. 3．（22-23高二上·广东深圳·期末）函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（    ）    A．的减区间是 B．的增区间是 C．有一个极大值点，两个极小值点 D．有三个零点 【答案】BC 【分析】由已知结合导数与单调性及极值关系，函数性质检验各选项即可判断. 【详解】结合导函数图象可知，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，错误，正确， 所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，C正确； 因为无法确定，，的正负，从而无法确定函数的零点个数，D错误. 故选：BC 4．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．有2个极大值点 D．只有1个极小值点 【答案】ABD 【分析】根据导函数图象与函数单调性以及极值的关系一一分析即可. 【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增，A，B均正确. 当时，，当时，，当时，， 所以的极大值点为，的极小值点为，C错误，D正确. 故选：ABD. 5．（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．函数的单调递增区间是， C．处是函数的极值点 D．时，函数的导函数小于0 【答案】BD 【分析】综合应用函数的单调性与导函数的关系即可解决. 【详解】根据导函数的图象，对于A项，在上，，可得函数的单调递减区间是，故A错误； 对于B项，在上，，在上，可得函数的单调递增区间是，，故B正确； 对于C项，是的变号零点，且时，，当时，，故是函数的极大值点， 是的不变号零点，不是函数的极值点，故C错误； 对于D项，，故D正确. 故选：BD. 求函数的极值点或极值 6．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）设函数，则 （    ） A．为极大值点 B．为极大值点 C．为极小值点 D．无极值点 【答案】B 【分析】 利用导数求出函数的单调区间，即可得到极值点. 【详解】函数定义域为， 则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，即为极大值点. 故选：B 7．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而由极值的定义可求出函数的极小值. 【详解】因为，， 所以. 当或时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，. 故选：D. 8．（21-22高二上·黑龙江牡丹江·期末）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据极值的定义以及导数符号对选项一一验证即可. 【详解】对于A，，定义域为， 其导数，则函数在和上单调递增，没有极值点，故A错误； 对于B，在定义域上单调递减，没有极值点，故B错误； 对于C，，定义域为， 其导数，再时，，函数单调递减， 再时，，函数单调递增， 则当时，函数取得极小值，故C正确； 对于D，，定义域为， 其导数，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 则当时，函数取得极小值，故D正确； 故选：CD. 9．（22-23高二下·江西·期末）已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为（    ） A．或 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，结合导数分析函数的单调性，进而确定极值点，可得，且，进而结合等比数列的性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由， 得， 令，则或；令，则， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值；当时，取得极小值. 因为与恰好为的两个极值点， 所以，且， 又，且， 所以. 故选：C. 10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，下列说法正确的是（　　） A．在 处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 【答案】BC 【分析】根据导数的几何意义求解切线方程；根据导数求解函数的单调区间，从而求出极值；求出函数零点即可求出与交点的个数，从而判断出方程的解. 【详解】对于选项， 的定义域为，， ∵，∴， 由导数的几何意义可知在 处的切线方程的斜率为， ∴在 处的切线方程为，则错误； 对于选项，令得， ∴的单调递减区间为，则正确； 对于选项，令得， ∴的单调递增区间为， ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值， ，则正确； 对于选项，∵ ， ∴在上存在一个零点， ∵当时，， ∴在上没有零点， ∴与只有一个交点， ∴方程只有一个解，则错误； 故选： . 11．（23-24高三上·山西大同·期末）已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据单调性求出极值可判断选项A、B；把分别代入求值可判断选项C、D. 【详解】的定义域为，， 由，得或；，得； 所以在上单调递增，上单调递减，在单调递增， 所以极大值点为1，极小值点为2，即， 所以，故A对，，B错误 ，故C正确； 由在上单调递减可得 ，即，故D正确 故选：ACD 12．（23-24高三上·四川·期末）函数的极大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用导数求解极值即可. 【详解】，当时，，当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 故答案为： 已知 函数的极值点或极值求参数 13．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若函数在处有极小值，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】求得，由，求得或，分别求得函数的单调区间，结合函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在处取得极小值，可得，解得或， 当时，令，解得或；令，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以在处有极大值，不符合题意，舍去； 当时，令，可得或；令，可得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以在处有极小值，符合题意， 综上可得，. 故选：A. 14．（21-22高二上·陕西西安·期末）若函数在处有极值，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用极值的定义得到，从而求得，再代回检验即可得解. 【详解】因为，所以， 又在处有极值， 所以，所以，得， 当时，， 当或时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 函数在处有极小值，满足题意. 故选：A. 15．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知函数有两个极值点p，q，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，得到方程组，求出，进而得到，得到答案. 【详解】依题意，，则， 因为，所以， 显然，，两式相除得，则， 代入中，解得，则． 故选：D 16．（23-24高二上·重庆·期末）若是函数，的极值点，则 . 【答案】-1 【分析】求出函数的导数，根据极值点的含义可得，经验证即可确定答案. 【详解】由于，故， 由于是函数的极值点，故， 即， 此时， 由于，则， 故是的变号零点， 即是函数，的极值点，符合题意， 故， 故答案为：-1. 17．（22-23高二下·福建漳州·期末）若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用导数研究函数的单调性以及极值点的定义，即可得到结果. 【详解】由题意可得，令，解得或，即及是函数的两个零点，且，令，则或， 当时，即，则在和单调递增，在单调递减，此时函数的大致图像如图所示，满足为函数的极大值点；    当时，即，则在和单调递增，在单调递减，此时不满足为函数的极大值点； 综上可得，. 故选：B. 18．（23-24高二上·山西运城·期末）若是函数的极值点，则下面结论正确的为（    ） A． B．的递增区间为 C．的极小值为1 D．的极大值为 【答案】AD 【分析】 先由求出值，再利用导函数研究函数的单调性与极值即可. 【详解】由题可得，， 因为是函数的极值点， 所以，则，解得， 故，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故的递增区间，递减区间为，故A正确，B错误； 由上可知，的极大值为，极小值为， 故C错误，D正确. 故选：AD. 已知函数的极值点或极值点个数求参数范围 19．（23-24高三上·宁夏银川·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，结合已知条件和导函数与函数极值的关系即可判断. 【详解】因为函数，定义域为， 则， 当时，由，可得或，由，可得，函数在处取得极大值； 当时，恒成立，函数不存在极值； 当时，由，可得或，由，可得，函数在处取得极小值； 所以， 故选：C. 20．（22-23高二下·福建福州·期末）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，有两个实数根求解即可. 【详解】∵函数有极值点， ∴有两个不同实数根， ∴，解得 故选：B 21．（22-23高二下·安徽滁州·期末）已知存在唯一极小值点，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，极值，即可得出答案． 【详解】由，， ， 当时，恒成立， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以没有极小值点，只有极大值点，不合题意， 当时，令，， ，令得， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， ，，当时，且当时，， ①若，则存在，，使得，即， 所以在上，，，，单调递减， 在上，，，，单调递减， 在上，，，，单调递减， 在上，，，，单调递增， 所以当时，有两个极小值点，不合题意， 当时，，即， 在上，单调递减， 在上，单调递增， 所以有唯一极小值点，无极大值点， 综上所述，当时，有唯一极小值点． 故选：A 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 22．（22-23高二下·四川绵阳·期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】求导后，将问题转化为在上有两个不同的零点，根据二次函数零点分布可构造不等式组求得结果. 【详解】由题意知：定义域为，， 令， 有两个不同的极值点，在上有两个不同的零点， ，解得：. 故选：A. 23．（23-24高三上·江苏镇江·期末）若函数有两个不相等的极值点，则实数的取值可以是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】BC 【分析】根据有两个不相同的极值点，转换为有两个不相等实数根，进而构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】由得， 由于有两个不相同的极值点，则有两个不相等的实数根，则 有两个不相等的实数根， 记，则， 故当单调递减，当，单调递增， 所以取极大值， 又当时，恒成立， 故， 故选：BC    24．（9-10高二下·天津·期末）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分类，讨论函数单调性，求出极值点，根据极值点大于零求解可得. 【详解】 当时，，此时在R上单调递增，无极值； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数存在极小值点， 依题意，，解得， 所以，实数a的取值范围是． 故答案为： 25．（23-24高三上·山西运城·期末）设是函数的两个极值点，若，则的范围为 . 【答案】 【分析】根据极值点定义可将问题转化为与有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到的图象；采用数形结合的方式可确定且；假设，由可确定，进而得到的值，结合图象可确定的取值范围. 【详解】由，可得， 因为是函数的两个极值点， 所以是的两根，当时，方程不成立， 故是的两根，即与的图象有两个交点， 令则， 当时，，当时，， 所以在单调递减；在上单调递增. 则图象如下图所示，    由图象可知：且 因为，所以， 当时，不妨令， 则，即，化简得，即， 当时，， 若，则，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 26．（23-24高二下·甘肃·期末）已知函数． (1)若恰有两个极值点，求实数的取值范围； (2)若的两个极值点分别为，证明:． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意导函数在上恰有两个不同的解，再根据二次函数的区间端点值，对称轴与判别式列式求解即可； （2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式. 【详解】（1）在上恰有两个不同的解， 令，所以 解得，即实数的取值范围是； （2）证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以 所以 ， 令， 令在上恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以， 所以． 27．（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函数. (1)求函数的极值； (2)设函数有两个极值点，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，，，，得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况； （2）由（1）得，并得到，，作差法得到，结合的范围得到结论. 【详解】（1）的定义域为， ①若，则，时，时， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值， ②若，则，在上单调递增，无极值. ③若，由得或， 时，时，时， 故在，上单调递增，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为. ④若，由得或， 时，时，时， 故在，上单调递增，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为. 综上，当时，极大值为，无极小值； 当时，极大值为，极小值为； 当时，无极值； 当时，极大值为，极小值为. （2）由（1）知函数有两个极值点时，. ， ， 所以 ， 因为，所以， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导. 求函数的最值 28．（2022·全国·期末）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 29．（23-24高二上·福建南平·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，所以构造函数求导即可进一步求解. 【详解】已知正数满足，则，令， 则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，也就是说的最小值为. 故选：B. 30．（2022·全国·期末）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 31．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数，若且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】作出的图像，可得，，，设，求得导数和单调性、最大值，从而得到答案. 【详解】当时，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减， 在上单调递增，可得处取极小值为，从而作出的图像如下图： 由图像可得，，由得：，则， 设，则，当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，可得处取最大值且，则的最大值为. 故选：A 32．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 【答案】ABD 【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，极值，零点，值域，可判断A，B，C选项，根据函数奇偶性及图象变换可判断D. 【详解】由， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 又，，，， ，所以函数在有且仅有一个零点， 同理函数在有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点， 即函数共有3个零点，故B正确； 由前面得在上值域为，故C错误； 设，，， 所以函数是奇函数，图象关于对称， 又是向下平移1个单位得到，所以函数的对称中心为，故D正确. 故选：ABD. 33．（23-24高二上·湖南长沙·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 【答案】BD 【分析】利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可. 【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确， 令，解得，可得只有一个零点，故C错误， 易知，且结合单调性知，即成立，故D正确. 故选：BD 34．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 35．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设出切点坐标，求出切线方程为，从而可得，构造函数，求出其最小值即可得答案. 【详解】设切点为，，所以切线的斜率， 则切线方程为，即， 故， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为： 36．（21-22高二下·全国·期末）已知函数，． (1)若，求a的值，并求出在处的切线方程； (2)若，，求最小值的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入可得，再根据导数的几何意义求解即可； （2）求导分析函数的单调性可得，再求导分析的最大值即可. 【详解】（1）∵， ∴，即， ∴， ∴． ， ∴，则所求切线方程为，即． （2）由题意得，，则， 令，解得；令，解得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴． 记（），则， 令，解得；令，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，即最小值的最大值为3． 已知函数的最值求参数的范围 37．（21-22高二上·黑龙江鸡西·期末）若函数的最小值为，则实数（     ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】分三种情况，利用导数讨论函数单调性，求出每种情况下的函数最小值，进而确定的值。 【详解】因为，所以， 由题意，易知， 当时， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在时，取得最小值，即，解得； 当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以无最小值，故舍去； 综上，实数. 故选：B. 38．（22-23高二下·福建龙岩·期末）若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，将函数在区间内有最小值，转化成，令，列出等式求解即可． 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值， 若函数在区间内有最小值， 此时，解得， 当，即时， 整理得，解得或， 所以， 综上，满足条件的取值范围为，． 故选：CD． 39．（22-23高二上·陕西西安·期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算，得到，解得答案. 【详解】，，取得到， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； ，取，则或， 函数在上有最小值，则， 解得，即. 故答案为： 40．（2023·四川宜宾·三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围. 【详解】当时，，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，函数的极小值为， 因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减， 此时，函数在上无最小值，不合乎题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，函数在上的极小值为，且，则， 综上所述，. 故选：A. 41．（22-23高二上·山西大同·期末）已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性及最值，根据题意分析运算. 【详解】由题意可得：，， 当时，则，显然不合题意，舍去； 当时，令，而，则， 故在上单调递减，在上单调递增，且，即， 故，解得，则； 当时，令，而，则， 故在上单调递减，在上单调递增，且，即， 故，解得，则； 综上所述：或. 故选：AC. 42．（21-22高二下·吉林·期末）当时，函数取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导函数，由题意，解得，即可计算. 【详解】当时，函数取得最小值， 所以，所以，得， 又，根据函数在处取得最值， 所以即得， 所以，. 故选：C. 43．（18-19高二上·安徽芜湖·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用导数与切线斜率的关系求解即可； (2)利用导数讨论函数在区间上的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，， 所以切点为， ，则， 所以切线方程为，即. （2），， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 44．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知函数，若的最大值为 (1)求的值； (2)若在上恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】先利用导数研究函数的单调性，故可得，可得的方程，解得的值； 分离参数可得，故可设，利用导数研究函数的极值，故得b的取值范围. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 根据题意可得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 所以， 解得 （2）由（1）知， 因为，所以可化为， 设， 所以，则在上恒成立， 即可得在上单调递减， ， 因此的取值范围是 45．（22-23高二上·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)的极小值为，极大值为11； (2). 【分析】 （1）把代入，利用导数求出函数的极值作答. （3）利用导数探讨函数在的单调性，求出最小值即可求解作答. 【详解】（1） 当时，函数定义域为R，， 当或时，，当时，，即函数在，上递减，在上递增， 因此当时，取得极小值，当时，取得极大值， 所以的极小值为，极大值为11． （2） 函数，，求导得， 因为，则由得，显然， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 而，，则函数在上的最小值为，解得， 所以实数a的值为1. 函数恒成立或者有解求参数范围 46．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项整理得，设，利用导数得到其单调性，分和讨论即可. 【详解】， ， 设，则， 设，则在上恒成立， 在上单调递增，且， 当时，在单调递增， ，即， 当时，则，不妨取，即， 当时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， ，即，而有在上恒成立， ，即， 综上可得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是移项整理，利用导数并分类讨论求其最小值，对时需利用隐零点法求解其最值. 47．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数，若恒成立，则 . 【答案】1 【分析】对求导，分和两种情况，判断的单调性，求出的最小值，再结合恒成立求出的取值范围. 【详解】由题可得的定义域为，且， ①当时，，所以在上单调递增，所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以， 因为恒成立，所以，记当时，单调递增， 当时单调递减，所以，所以在上恒成立， 故要使恒成立，则，所以. 故答案为：1 48．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若在区间上恒成立，求a的最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】 （1）利用导数的几何意义计算即可； （2）含参分类讨论计算导函数的符号确定单调区间即可； （3）利用（2）的结论，分类讨论计算函数的最值即可. 【详解】（1）若，则， 所以， 故函数在处的切线方程为：； （2）由， 若，则恒成立，即在上单调递增； 若，则， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）可知，若，在上单调递增， 此时，符合题意； 当时， （i）若，即时，此时仍有在上单调递增， 所以，符合题意； （ii）若，即时，此时有在上单调递减， 所以，不符合题意， 综上满足题意. 故a的最小值为. 49．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设a为实数，函数． (1)求的极值； (2)对于，都有，试求实数a的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值； （2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，可得或，列表如下： 递增 极大值 递减 极小值 递增 故函数的极大值为，极小值为. （2）对于，，都有，则. 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 因为，且时，， 当时，， 故函数在上单调递减，再上单调递增，， 故， 由题意可得，故. 50．（23-24高三上·江西赣州·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求a和b的值； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）分离参数得，构造函数利用导数研究函数的单调性与最值计算即可. 【详解】（1）依题意知，当时，， 即，所以，则， 易得， 于是，所以，即； （2）因为，所以原不等式可变为， 记，则上式等价于， ， 记，则， 于是在上单调递减， 又，所以当时，，即， 当时，，即， 从而在上单调递增，在上单调递减， 故，所以， 故m的取值范围是. 【点睛】思路点睛：第二问关于含参恒成立问题最直接的方法就是分离参数，利用导数研究函数的单调性及最值，有时需要多次求导. 51．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的极值点和零点； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)极大值点为，没有极小值点；零点为1； (2) 【分析】（1）利用导数性质，结合函数极值点的定义和零点的定义进行求解即可； （2）运用常变量分离法，构造函数，利用导数进行求解即可. 【详解】（1）函数定义域为，， 当时单调递增， 当时单调递减， 所以函数在时取得极大值，函数没有极小值， 所以函数的极值点只有1个，即极大值点，无极小值点. 因为， 当时，， 当时， 所以 只有一个零点1. （2）要使恒成立，即恒成立， 令，则. 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减， 所以在时取得极大值也是最大值，， 要使恒成立，则， 即实数k的取值范围是. 函数的零点求参数的范围 52．（23-24高二上·山西吕梁·期末）函数的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求导可得函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求. 【详解】，令，则，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时取最小值， 又，， 所以=0在上各有一解，所以有两个零点， 故选：B. 53．（23-24高二上·江苏南通·期末）若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，确定，由的最小值为，可求出，即可得出的解析式，进一步求出函数的零点. 【详解】因为函数的导数，所以，为常数， 设，则恒成立，在上单调递增， 即在上单调递增，又， 故当时，，即单调递减， 时，，即单调递增， 所以在处取得最小值，即，所以， 所以，由， 令，解得，所以的零点为. 故选：C. 54．（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知函数的图象与轴有且仅有两个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】由题意对函数进行求导，将函数的图象与轴的交点问题，转化成函数单调性和最值问题，分别讨论和两种情况，结合导数几何意义进行求解即可. 【详解】已知，函数定义域为，可得， 当时，，单调递增， 此时函数的图象与轴至多有一个交点，不符合题意； 当时，所以时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 要使函数的图象与轴有且仅有两个交点，需满足或， 因为，所以， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题重点为分别讨论和两种情况，将函数的图象与轴的交点问题，转化成函数单调性和最值问题. 55．（22-23高三上·河南·期末）若函数恰好有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意转化为与和共有两个交点，利用导数研究单调性极值，数形结合得解. 【详解】因为，所以不是的零点， 当时，令，得， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，，且当时，，如图所示， 所以当时，与的图象有且仅有两个交点，此时函数恰好有两个零点. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 56．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值，由函数图象的交点个数得的范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点， 函数的定义域为， , 令，解得 ， ,的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，有极小值， 令，解得， 当时，；当时，， 当无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0；当无限趋向于正无穷大时时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图象： 由图象得：当时，交点为0个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图象与的图象有两个交点， 则由图可知，实数的取值范围为. 故选：A. 57．（23-24高三上·河北张家口·期末）已知函数在R上无零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得当时，，符合题意；当时，令，通过分离参数并构造函数，再利用导数研究其单调区间，从而得到函数的图象，进而结合图象即可求解． 【详解】当时，，符合题意； 当时，令，得， 设，则， 则在区间上，，函数单调递增； 在区间上，，函数单调递减； 在区间上，，函数单调递减； 在区间上，，函数单调递增； 又，， 则当时，，当时，， 则函数的图象如图所示， 所以当时，函数在上无零点． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 58．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）求出导函数，根据和分类讨论求解即可； （2）根据函数的单调性易知且，根据零点存在性定理结合函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）． ①若，，在为增函数； ②若，令，得. 当时，为减函数， 当时，为增函数. 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，在单调递增，不可能有两个零点，不符合题意. 当时，在单调递减，在单调递增， 因为有两个零点，必有， 因为，所以.令， 则，所以在单调递减，而， 所以当时，，即. 又，故在有1个零点； 当时，因为，则，由得，由得， 所以函数在单调递减，在单调递增，所以，即，故，所以， 取，有， 所以在有1个零点. 综上所述，当有两个零点时，. 59．（23-24高三上·江西·期末）已知函数（）. (1)当时，求的最小值； (2)若有2个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）依据给定参数值，确定具体函数，用导数求解最值即可. （2）根据题意，对参数范围进行分类讨论，找到符合题意的情况即可. 【详解】（1）的定义域为. 当时，，. 令（），则， 所以在上单调递增，又，所以当时，，； 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. （2）由题意知（）. ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以至多有一个零点，不合题意； ②当时，令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，， 所以存在唯一，使得，所以. 当时，，；当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. （a）当时，由（1）知，即时，，且，只有一个零点1，不合题意； （b）当时，因为，则，又在上单调递减， 所以， 而，令，则. 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减， 所以；当时，，即. 又，所以，所以， 由的单调性及零点存在定理，知在上有且仅有一个零点. 又在上有且仅有一个零点1，所以，当时，存在两个零点； （c）当时，由，得，又在上单调递增， 所以.取，则，所以. 当时，，所以，所以，所以. 又因为，， 由的单调性及零点存在定理，知在上有且有一个零点， 又1为在内的唯一零点，所以当时，存在两个零点. 综上可知，a的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是正确对参数范围进行讨论，然后得到零点个数，最后得到所要求的参数范围． 60．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意可得是函数的一个零点，故方程有两个不同的非零实数根，令，则可转化为求的范围问题，即可得a的取值范围. 【详解】（1），则，又， 所以的切线方程为； （2）， 故是函数的一个零点， 由题意可知，方程有两个不同的非零实数根， 显然不合题意， 令，则， 设，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故， 又时，，时，， 故，即. 61．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知函数（） (1)求的单调区间； (2)当有3个零点时，求的取值范围． 【答案】(1)增区间，，减区间 (2) 【分析】（1）直接根据导数与单调性的关系即可得结果； （2）首先求出函数的极值，根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】（1）因为， 令，得或1； 令，得或； 令，得， 所以的增区间为，，减区间为. （2）由（1）易得的极大值为，极小值为 因为有3个零点，所以，解得. 即的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$