11.2.1 棱锥与圆锥-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 11.2.1 棱锥与圆锥 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 棱锥的定义、相关概念、分类 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥；记作：棱锥S­ABCD 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 分类1：按照底面多边形的边数； 分类2：如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 考点二 圆锥的定义、相关概念 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥；记作：圆锥S­O 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 考点三 台体的定义 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体； 大棱锥截去小棱锥后剩下的几何体称为棱台； 其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台； 大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台； 1、一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为 cm. 2、若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台 3、下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥； 其中正确说法的序号是________。 4、已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高与侧棱夹角为45°，则其斜高长为________ cm. 5、下列说法中，正确的是（ ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行. A．① B．①② C．② D．③ 6、下列命题中正确的是（ ） A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 7、一个正四棱台上、下底面边长为a，b，高为h，则它的一个对角面(经过不相邻两条侧棱的截面)的面积是________． 8、已知正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的棱长为3，连接两个面的重心E，F，则线段EF的长为________． 9、用一个半径为10 cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图，则它的最高点到桌面的距离为________ cm 10、圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和； 11、如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°， 在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm， 以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)， 求此绳在A、B两点间的最短绳长； 12、（1）正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高． （2）将（1）中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？ （3）将 （1）中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 11.2.1 棱锥与圆锥 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 棱锥的定义、相关概念、分类 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥；记作：棱锥S­ABCD 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 分类1：按照底面多边形的边数； 分类2：如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 考点二 圆锥的定义、相关概念 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥；记作：圆锥S­O 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 考点三 台体的定义 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体； 大棱锥截去小棱锥后剩下的几何体称为棱台； 其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台； 大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台； 1、一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为 cm. 【提示】注意转化为平面问题； 【答案】10； 【解析】如图，h＝20 cos 30°＝10(cm)． 答案：10； 【说明】本题主要考查了圆锥的轴截面及其应用； 2、若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台 【提示】注意理解棱台的定义与几何特征； 【答案】七； 【解析】由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台； 【说明】本题主要考查了棱台的定义与几何特征，对空间想象力有一定要求； 3、下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥； 其中正确说法的序号是________。 【提示】理解棱锥、棱台的定义及其结构特征； 【答案】①② 【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 4、已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高与侧棱夹角为45°，则其斜高长为________ cm. 【提示】注意结合正四棱锥的定义“找”角 【答案】2； 【解析】如图所示，∠ASO＝45°， ∴SO＝AO＝×4＝2(cm)． E为BC的中点，SE为BC边的斜高， ∴SE＝＝＝2(cm)． 【说明】对于椎体的计算注意抓住特殊的三角形；若侧棱、侧棱在底面射影、高构成的直角三角形；斜高、斜高在底面射影、高构成的直角三角形；母线、底面半径、高构成的直角三角形； 5、下列说法中，正确的是（ ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行. A．① B．①② C．② D．③ 【提示】理解棱锥、棱台的定义及结构特征； 【答案】B； 【解析】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误. 6、下列命题中正确的是（ ） A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 【提示】理解圆锥、圆台的定义与结构特征 【答案】C； 【解析】A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体； B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线；故选C； 【说明】1准确掌握圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键； 2、判断简单旋转体结构特征的方法；（1）明确由哪个平面图形旋转而成；（2）明确旋转轴是哪条直线； 7、一个正四棱台上、下底面边长为a，b，高为h，则它的一个对角面(经过不相邻两条侧棱的截面)的面积是________． 【提示】结合正四棱台的结构特征进行等价转化； 【答案】 【解析】可知对角面是上、下底分别为a和b，高为h的等腰梯形，其面积S＝(a＋b)h＝； 8、已知正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的棱长为3，连接两个面的重心E，F，则线段EF的长为________． 【提示】理解与用好正四面体的几何特征； 【答案】1； 【解析】如图所示，E为△ABD的重心，F为△ADC的重心，取BD的中点M，CD的中点N，连接AM，AN，MN，则EF∥MN，且EF＝MN， 又MN＝BC＝，∴EF＝1；答案：1； 【说明】最主要还是结合几何性质转化为平面几何的计算； 9、用一个半径为10 cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图，则它的最高点到桌面的距离为________ cm 【提示】注意等价转化 【答案】5 【解析】如图所示，半径为10 cm的半圆纸片卷成的圆锥底面半径为r， 则2πr＝10π， ∴r＝5 cm，且圆锥的母线为10 cm， 圆锥的轴截面VAB是等边三角形，高BH＝5 cm，故放倒后的圆锥最高点到桌面的距离为5 cm. 答案：5 cm 【说明】本题考查了圆锥的定义与结构特征；与等价转化数学思想进行了交汇； 10、圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和； 【提示】注意理解圆台的定义与几何特征； 【解析】设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r.将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO＝30°. 在Rt△BO′A′中，＝sin 30°， ∴BA′＝2r. 在Rt△BOA中，＝sin 30°， ∴BA＝4r. 又BA－BA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a. ∴S＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2； 【说明】对于台体的计算问题，关键是复原为椎体；通过轴截面或直角三角形，转化为平面几何的计算问题； 11、如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°， 在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm， 以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)， 求此绳在A、B两点间的最短绳长； 【提示】注意等价转化 【答案】5 【解析】作出三棱锥的侧面展开图， 如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度． 在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°， OA＝4 cm，OB＝3 cm， 所以AB＝＝5 cm. 所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm； 【说明】对于几何体的“最短”长度、路程问题，通过展开转化为平面几何问题往往非常有效； 12、（1）正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高． （2）将（1）中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？ （3）将 （1）中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？ 【提示】正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解． 【解析】作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点． 在Rt△ADO中，AD＝， ∠OAD＝30°， 故AO＝＝. 在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝， 故SO＝＝3，其高为3. （2）连接SD(图略)在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝ （3）如图正四棱锥S­ABCD中，SO为高，连接OC.则△SOC是直角三角形， 由题意BC＝3，则OC＝， 又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝； 【说明】本题的解题思路、方法将会在后续的解题中经常会再现； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$