专题02 二元一次方程组期末复习题型【九大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（华东师大版）

专题02 二元一次方程组期末复习之九大题型 目录 【题型一 二元一次方程的定义】 1 【题型二 已知二元一次方程（组）的解求参数】 3 【题型三 求解二元一次方程组】 4 【题型四 二元一次方程组的错题复原问题】 8 【题型五 构造二元一次方程组求解】 13 【题型六 二元一次方程组中同解方程组】 15 【题型七 二元一次方程组的特殊解法】 18 【题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 21 【题型九 二元一次方程组的应用】 23 【过关检测卷】 27 【期末题型】 【题型一 二元一次方程的定义】 例题：（22-23七年级下·河南开封·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山东临沂·期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 2．（22-23七年级下·广西河池·期末）下列方程中，二元一次方程的个数有（ 　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）已知是关于的二元一次方程，则的值为（　　） A． B． C．16 D．-16 【题型二 已知二元一次方程（组）的解求参数】 例题：（23-24八年级上·河北保定·期末）已知是关于x、y的二元一次方程组的解，则△和？代表的数分别是（    ） A．3和 B．和3 C．1和5 D．5和1 【变式训练】 1．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23七年级下·浙江台州·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则 ． 3．（22-23七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）若是方程的一个解，则的值为 ． 【题型三 求解二元一次方程组】 例题：（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）解方程组： (1) (2) ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）解方程组 (1) (2) 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）解下列方程组 (1)； (2)． 【题型四 二元一次方程组的错题复原问题】 例题：（23-24八年级上·山东青岛·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为 ………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________，其中第一步的依据是________； (2)第________步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在《二元一次方程组》单元回顾与整理时，刘老师给出方程组请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小明和小颖解方程组的部分过程如下： 小明：，得． 小颖：由②，得， 把①代入③，得． (1)①小明和小颖解方程组的过程是否正确（在横线处填写“正确”或“不正确”）： 小明的过程______        小颖的过程______ ②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是______． (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得③．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步 得．．．．．．．．．．．．．．．第二步 ．．．．．．．．．．．．．．．第三步 将代入①得．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步 所以，原方程组的解为．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________，其中第一步的依据是_________； (2)第_________步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 3．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）下面是小华同学解二元一次方程组的过程，请仔细观察回答下面问题． 解：，得（1） ，得（2） 将代入，得（3） 所以原方程组的解是（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在 步（填序号），第二次出错在 步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 【题型五 构造二元一次方程组求解】 例题：（22-23七年级下·山东威海·期末）若单项式与是同类项，则 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·期末）已知与互为相反数，则 ． 2．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）“※”是一种新运算，它是这样规定的：，其中a，b为常数，且，，则 ． 3．（22-23七年级下·四川·期末）对于实数，定义关于“”的一种运算：，例如：．若，，则的值是 ． 【题型六 二元一次方程组中同解方程组】 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）若关于，的方程组和的解相同，则 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为 ． 2．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知关于，的二元一次方程组和有相同的解，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【题型七 二元一次方程组的特殊解法】 例题：（23-24七年级上·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组 解：设，原方程组可变为 解得：．所以，解得．此种解方程组的方法叫换元法． 【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： 【能力运用】已知关于的方程组的解为， 直接写出关于的方程组的解为______． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 2．（22-23七年级下·广西南宁·期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 例题：（23-24八年级上·陕西榆林·期末）若方程组 的解满足 ，则 的值为 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）已知关于x、y的二元一次方程的解互为相反数，则m的值为 ． 2．（22-23七年级下·福建福州·期末）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是 ． 3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ． 【题型九 二元一次方程组的应用】 例题：（22-23七年级下·四川巴中·期末）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨，用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江·期末）随着北京冬奥会的开展，带火了玩具市场．已知某玩具小商店，销售“冰墩墩”与“雪容融”两种玩具．以下是该商店两天的进货情况： 冰墩墩（件） 雪容融（件） 总费用（元） 第一天 10 10 140 第二天 20 30 330 根据上表提供的信息，请回答下列问题： (1)“冰墩墩”与“雪容融”每件进价各为多少元？ (2)如果进两种玩具的总费用是100元，有几种不同的进货方式？写出每种进货方式． (3)在第（2）小题的基础上，已知“冰墩墩”的售价为16元，“雪容融”的售价为10元，如果全部卖出，应选择哪种方式进货才能使收益最大？最大收益为多少？ 2．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 【过关检测卷】 一、单选题 1．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）下列4组数值中，二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知是关于、的二元一次方程组的解，则△和？代表的数分别是（    ） A．3和 B．和3 C．1和5 D．5和1 4．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）当时，关于，的方程的解也是选项中方程（   ）的解 A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·陕西商洛·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来就是，类似的，图②所示的算筹图用方程组表示出来就是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23七年级下·云南大理·期末）把二元一次方程写成用含的式子表示的形式为 ． 7．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如果与是同类项，则 ． 8．（21-22七年级下·陕西西安·期末）若关于x，y的二元一次方程组和同解，则 ． 9．（22-23七年级下·山东聊城·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 10．（22-23七年级下·山东聊城·期末）已知关于的方程组，下列结论：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；其中正确的有 ．（请填上你认为正确的结论序号） 三、解答题 11．（23-24八年级上·云南文山·期末）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 12．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）解方程组 (1) (2) 13．（23-24八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得．③……第一步 ③②，得．……第二步 ．……第三步 将代入①，得．……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 填空： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 14．（22-23八年级上·四川达州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 15．（22-23七年级下·全国·期末）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二元一次方程组期末复习之九大题型 目录 【题型一 二元一次方程的定义】 1 【题型二 已知二元一次方程（组）的解求参数】 3 【题型三 求解二元一次方程组】 4 【题型四 二元一次方程组的错题复原问题】 8 【题型五 构造二元一次方程组求解】 13 【题型六 二元一次方程组中同解方程组】 15 【题型七 二元一次方程组的特殊解法】 18 【题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 21 【题型九 二元一次方程组的应用】 23 【过关检测卷】 27 【期末题型】 【题型一 二元一次方程的定义】 例题：（22-23七年级下·河南开封·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，次数不为1，故该选项不正确，不符合题意； B. ，次数不为1，故该选项不正确，不符合题意； C. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，是二元一次方程，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山东临沂·期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】A 【分析】根据二元一次方程定义可得：，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 2．（22-23七年级下·广西河池·期末）下列方程中，二元一次方程的个数有（ 　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义进行逐项分析判断即可． 【详解】，是二元一次方程； ，分母含有字母，不是二元一次方程； ，未知数的项的最高指数为，不是二元一次方程； ，是二元一次方程； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义． 3．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）已知是关于的二元一次方程，则的值为（　　） A． B． C．16 D．-16 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义得出关于参数的方程，求解方程得参数值，代入代数式计算即可． 【详解】由题意，， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，根据定义确定出m、n的值是解题的关键． 【题型二 已知二元一次方程（组）的解求参数】 例题：（23-24八年级上·河北保定·期末）已知是关于x、y的二元一次方程组的解，则△和？代表的数分别是（    ） A．3和 B．和3 C．1和5 D．5和1 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义，将代入①可求得，即可求解；理解二元一次方程组解的定义：“使得二元一次方程组中每个方程都成立的未知数的值，叫做二元一次方程组解．”是解题的关键． 【详解】 解：将代入①得， ， 解得：， ， △和？代表的数分别是和； 故选：D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的解的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 所以，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法，掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． 2．（22-23七年级下·浙江台州·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则 ． 【答案】3 【分析】将代入原方程，可得出，解之即可求出a的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， ∴a的值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 3．（22-23七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）若是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】将代入方程，得到，整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查二元一次方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 【题型三 求解二元一次方程组】 例题：（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）解方程组： (1) (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法即可解答； （2）直接运用加减消元法即可解答． 【详解】（1）解：， 将①代入②可得：，解得：， 将代入①可得：， 所以方程组的解为：． （2）解：， 得：，解得：， 将代入②可得：，解得：， 所以方程组的解为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法，即可解题． （2）本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，即可解题． 【详解】（1） 解：将①代入②中得，解得， 将代入①中有， 原方程组的解为． （2） 解：得，解得， 将代入①中， 有 ， 原方程组的解为． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组； （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）将原方程组变形后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）， ①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）原方程组整理得， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 故原方程组的解为． 3．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组是解本题的关键； （1）由得：，再求解y即可； （2）把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 把代入①得：， ∴方程组的解是； （2）， 整理为：， 得：， 把代入， ∴， ∴方程组的解为． 【题型四 二元一次方程组的错题复原问题】 例题：（23-24八年级上·山东青岛·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为 ………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________，其中第一步的依据是________； (2)第________步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 【答案】(1)加减消元法，等式的基本性质； (2)二； (3)见解析． 【分析】 本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． （1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可． （2）根据②③得，判断即可． （3）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：根据解方程组的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式性质变形得到， 故答案为：加减消元法，等式的基本性质； （2）②③得， 第二步错误，原因是合并同类项时出现错误； 故答案为：二； （3） 解：①，得③， ②③得，， 将代入①得， ∴ 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在《二元一次方程组》单元回顾与整理时，刘老师给出方程组请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小明和小颖解方程组的部分过程如下： 小明：，得． 小颖：由②，得， 把①代入③，得． (1)①小明和小颖解方程组的过程是否正确（在横线处填写“正确”或“不正确”）： 小明的过程______        小颖的过程______ ②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是______． (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组 【答案】(1)①不正确，正确；②消元 (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方组的解法． （1）先分别按照小明、小颖的方法解方程组，然后根据他们的解答过程进行判断即可； （2）利用加减消元法或代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：①， 解法一：得：，， 把代入①得：， 方程组的解为：； 解法二：由②，得， 把①代入③，得， 解得：， 把代入①得：， 方程组的解为：； 小明的过程不正确，小颖的过程正确， 故答案为：不正确，正确； ②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是消元， 故答案为：消元； （2）方法一：， 得：，， 把代入①得：， 方程组的解为：； 方法二：由②，得， 把①代入③，得， 解得：， 把代入①得：， 方程组的解为：． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得③．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步 得．．．．．．．．．．．．．．．第二步 ．．．．．．．．．．．．．．．第三步 将代入①得．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步 所以，原方程组的解为．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________，其中第一步的依据是_________； (2)第_________步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 【答案】(1)加减消元法，等式的基本性质 (2)二 (3)． 【分析】本题考查了二元一次解方程组的基本步骤，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． （1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可． （2）根据②③得，判断即可． （3）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：根据解方程组的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式性质变形得到， 故答案为：加减消元法，等式的基本性质； （2）解：②③得， 第二步错误，原因是合并同类项时出现错误； 故答案为：二； （3）解： 解：①，得③， ②③得，， 将代入①得， 所以原方程组的解为． 3．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）下面是小华同学解二元一次方程组的过程，请仔细观察回答下面问题． 解：，得（1） ，得（2） 将代入，得（3） 所以原方程组的解是（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在 步（填序号），第二次出错在 步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 【答案】(1)（1），（2） (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，关键是键是能熟练运用加减消元法． （1）根据加减消元法的步骤判断即可； （2）利用加减消元法正确求解即可． 【详解】（1）解：第一次出错在（1）步， 第二次出错在（2）步， 故答案为：（1），（2）； （2）解：正确的过程为： 解方程组：， ，得， ，得， 解得：， 将代入，得， 所以原方程组的解为． 【题型五 构造二元一次方程组求解】 例题：（22-23七年级下·山东威海·期末）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】根据同类项的概念“字母相同，相同字母的指数也相同”，由此联立方程组，运用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同类项的概念，解二元一次方程组的方法，掌握同类项的概念，加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·期末）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是：互为相反数的两个数的和为0；如果两个非负数的和为0，那么每一个数都为0，根据相反数及非负数的性质列出方程，求出x、y的值，再代入即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 2．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）“※”是一种新运算，它是这样规定的：，其中a，b为常数，且，，则 ． 【答案】10 【分析】根据已知条件得出，求出方程组的解，再求出答案即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴ 故答案为：10． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出关于a、b的方程组是解此题的关键． 3．（22-23七年级下·四川·期末）对于实数，定义关于“”的一种运算：，例如：．若，，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据新定义建立关于x，y的方程组，两式相加即可求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ，得 ， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组，根据新定义建立关于x，y的方程组是解答本题的关键． 【题型六 二元一次方程组中同解方程组】 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）若关于，的方程组和的解相同，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解一定能使方程左右相等是解题的关键． 首先把和组成方程组求得x、y的值，再把x、y的值代入， 可得关于a、b的方程组，进而完成解答． 【详解】解：解方程组，解得． 将代入方程得①， 将代入方程得②， 可得：． 故答案为：2． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为 ． 【答案】0 【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，代入即可求解． 【详解】解：解得， ， 把代入得， ， 解得， ． 故答案为：0． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 2．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知关于，的二元一次方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】联立，求得和的值，代入，求得，的值，进一步求解即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组和有相同的解， 联立， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，联立两个已知的方程求出和的值是解题的关键． 3．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据方程组与方程组的解相同可组成方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，最后求的值即可求解． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴， 解得， 将代入得： ，解得， ∴． 【题型七 二元一次方程组的特殊解法】 例题：（23-24七年级上·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组 解：设，原方程组可变为 解得：．所以，解得．此种解方程组的方法叫换元法． 【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： 【能力运用】已知关于的方程组的解为， 直接写出关于的方程组的解为______． 【答案】拓展提高：；能力运用： 【分析】本题考查了换元法解方程组，正确理解换元法的意义是解题的关键． 拓展提高：设，，原方程组可变为，求解即可． 能力运用：设，，原方程组可变为，求解即可． 【详解】拓展提高：设，，原方程组可变为， 解方程组，得， ∴， 解方程组，得． 能力运用：设，，原方程组可变为， ∵关于，的方程组的解为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 【答案】 【分析】设，，方程变形后，利用加减消元法求出与的值，进而确定出与的值即可． 【详解】解：设，， 方程组变形得：， 整理得：， 得：，即， 把代入得：， ， 解得：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2．（22-23七年级下·广西南宁·期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． 【详解】（1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． 【题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 例题：（23-24八年级上·陕西榆林·期末）若方程组 的解满足 ，则 的值为 ． 【答案】11 【分析】此题考查了加减消元法，把a看作已知数表示出方程组的解，代入求出a的值即可，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：， ①+③得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：11． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）已知关于x、y的二元一次方程的解互为相反数，则m的值为 ． 【答案】2024 【分析】由得：，再由二元一次方程的解互为相反数，可得，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵二元一次方程的解互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：2024 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意得到是解题的关键． 2．（22-23七年级下·福建福州·期末）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】整理可知进而可得． 【详解】解：∵关于的方程组， ∴， ∵关于的方程组的解是， ∴， ∴， 故答案为； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ． 【答案】1或3或5 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组有整数解得到和都是整数，据此求解即可． 【详解】解：， 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于x、y的方程组有整数解， ∴和都是整数， ∴或， 又∵，即，且a为正整数， 解得或或或（舍去）， 故答案为：1或3或5． 【题型九 二元一次方程组的应用】 例题：（22-23七年级下·四川巴中·期末）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨，用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）． 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运辆B型车载满货物一次可运． (2)有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货列出方程求解即可； （2）根据（1）所求可得，求出次方程的整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意，得 解得 答：1辆A型车载满货物一次可运辆B型车载满货物一次可运． （2）解：由（1），得， ． 都是正整数， 或或 有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车1辆； 方案二：A型车5辆，B型车4辆； 方案三：A型车1辆，B型车7辆． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江·期末）随着北京冬奥会的开展，带火了玩具市场．已知某玩具小商店，销售“冰墩墩”与“雪容融”两种玩具．以下是该商店两天的进货情况： 冰墩墩（件） 雪容融（件） 总费用（元） 第一天 10 10 140 第二天 20 30 330 根据上表提供的信息，请回答下列问题： (1)“冰墩墩”与“雪容融”每件进价各为多少元？ (2)如果进两种玩具的总费用是100元，有几种不同的进货方式？写出每种进货方式． (3)在第（2）小题的基础上，已知“冰墩墩”的售价为16元，“雪容融”的售价为10元，如果全部卖出，应选择哪种方式进货才能使收益最大？最大收益为多少？ 【答案】(1)“冰墩墩”每件进价为9元，“雪容融”每件进价为5元； (2)共有2种进货方式：①“冰墩墩”5件，“雪容融”11件；②“冰墩墩”10件，“雪容融”2件； (3)应选择方式①进货才能使收益最大，最大收益为90元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（3）正确列式计算． （1）设“冰墩墩”每件进价为x元，“雪容融”每件进价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设“冰墩墩”的进货数量为m件，“雪容融”的进货数量为n件，根据题意得到，然后由m和n都是正整数求解即可； （3）根据题意分别求出两种方式的收益，进而比较即可． 【详解】（1）设“冰墩墩”每件进价为x元，“雪容融”每件进价为y元， 根据题意得， 解得 ∴“冰墩墩”每件进价为9元，“雪容融”每件进价为5元； （2）设“冰墩墩”的进货数量为m件，“雪容融”的进货数量为n件， 根据题意得， ∵m和n都是正整数 ∴当时，；当时，； ∴共有2种进货方式：①“冰墩墩”5件，“雪容融”11件；②“冰墩墩”10件，“雪容融”2件； （3）方式①：收益为（元）； 方式②：收益为（元）； ∵ ∴应选择方式①进货才能使收益最大，最大收益为90元． 2．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)该商场可获利1200元 (3)该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出，再将其代入中即可求出结论； （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润=每个足球的销售利润×销售数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 答：m的值为80，n的值为60． （2）依题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1200元． （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个， 依题意得：， 又∵a，b均为正整数，b为3的倍数， ∴或． 答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）下列4组数值中，二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】A选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解； B选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解； C选项：将代入方程，左边右边，所以是方程的解； D选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解． 故选：C 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键． 2．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，即含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，也考查了解一元二次方程组．由一元二次方程的定义，得到二元一次方程组，求解即可得到答案． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， ，解得：， 故选：D． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知是关于、的二元一次方程组的解，则△和？代表的数分别是（    ） A．3和 B．和3 C．1和5 D．5和1 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义，将代入①可求得，即可求解；理解二元一次方程组解的定义：“使得二元一次方程组中每个方程都成立的未知数的值，叫做二元一次方程组解．”是解题的关键． 【详解】 解：将代入①得， ， 解得：， ， △和？代表的数分别是和； 故选：D． 4．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）当时，关于，的方程的解也是选项中方程（   ）的解 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】得出，再除以得出，最后得出选项即可． 【详解】解：， ，得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确将方程组中两个方程变形，求出是解此题的关键． 5．（21-22七年级下·陕西商洛·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来就是，类似的，图②所示的算筹图用方程组表示出来就是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据图①表示的方程，可以将图②所示的算筹图用方程组表示出来，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得， 图②所示的算筹图用方程组表示为：， 故选B． 【点睛】 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 二、填空题 6．（22-23七年级下·云南大理·期末）把二元一次方程写成用含的式子表示的形式为 ． 【答案】 【分析】 把含x项移到方程的左边，即可． 【详解】解：， 移项得：， ∴． 故答案为： 【点睛】本题涉及到了二元一次方程的知识，考查了利用等式的性质对方程进行变形，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键． 7．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如果与是同类项，则 ． 【答案】2 【分析】根据同类项的定义列出方程组并求解，即可解答． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了同类项定义的应用能力，解二元一次方程组，关键是能准确理解并运用该知识得出方程组进行求解． 8．（21-22七年级下·陕西西安·期末）若关于x，y的二元一次方程组和同解，则 ． 【答案】0 【分析】由系数已知两方程组成方程组，求解得，分别代入含参数方程，求得参数． 【详解】解：由题意，得 求解得，， 代入得，， 解得， 代入得，， 解得， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解；理解方程组的定义是解题的关键． 9．（22-23七年级下·山东聊城·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】12 【分析】先把两方程相加，再利用整体代入法得到方程，然后解关于的一元一次方程即可． 【详解】解： ①②得：， 即， 解得：． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，即代入消元法和加减消元法，掌握整体代入法是本题运用简便方法的关键． 10．（22-23七年级下·山东聊城·期末）已知关于的方程组，下列结论：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；其中正确的有 ．（请填上你认为正确的结论序号） 【答案】①③④ 【分析】将两个二元一次方程相加可得，①令，即可求出的值，验证即可；②由①得，而，求出的值，再与比较得出答案；③解方程组可求出方程组的解，再代入求值即可；④用含有、的代数式表示，进而得出、的关系即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组， ①②得，，即， ①当方程组的解，的值互为相反数时，即时， ， ，故①正确； ②原方程组的解满足，当时，，而方程的解不满足，因此②不正确； ③方程组， 解得， ，因此③是正确的； ④方程组，由方程②得， 代入方程①得， ， 得： 即，因此④是正确的， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解答本题的关键． 三、解答题 11．（23-24八年级上·云南文山·期末）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得：， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 12．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程： （1）方程求出，再代入②，求出，即可求出方程组的解； （2）先将原方程组整理为，再运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得，， 把代入②得，， 解得，， 所以，方程组的解为； （2）解：原方程组整理为 ，得：， 解得，； 把代入①得，， 解得，， 所以，方程组的解为． 13．（23-24八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得．③……第一步 ③②，得．……第二步 ．……第三步 将代入①，得．……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 填空： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)二 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据加减消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答； （2）根据整式的加减运算法则判断即可； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为∶加减消元；等式的基本性质； （2）第二步开始出现错误； 故答案为∶二； （3） ①，得③ ③②，得， 将代入①，得， 所以，原方程组的解为． 故答案为∶． 14．（22-23八年级上·四川达州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元； (2)该公司共有四种购买方案，最大利润是万元． 【分析】（）设种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组即可； （）设购买辆种型号的新能源汽车，辆种型号的新能源汽车，根据题意得，由，均为正整数，求出，的值即可； 此题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【详解】（1）设种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元， 根据题意得：，解得：， 答：种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元； （2）设购买辆种型号的新能源汽车，辆种型号的新能源汽车，根据题意得：， ∴， ∵，均为正整数， ∴或或或， ∴该公司共有四种购买方案． 当，时，获得的利润为（万元）； 当，时，获得的利润为（万元）； 当，时，获得的利润为（万元）； 当，时，获得的利润为（万元）． ∵． ∴最大利润是万元． 15．（22-23七年级下·全国·期末）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：（1）由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$