专题01 一元一次方程期末复习题型【十大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（华东师大版）

专题01 一元一次方程期末复习之十大题型 目录 【题型一 一元一次方程的定义】 1 【题型二 已知一元一次方程的解求参数或代数式的值】 3 【题型三 等式的基本性质】 4 【题型四 解一元一次方程】 6 【题型五 解一元一次方程中的错解复原问题】 8 【题型六 新定义型一元一次方程的求解问题】 12 【题型八 求含字母参数的方程的解】 15 【题型九 含字母参数方程的解为整数解的问题】 16 【题型十 一元一次方程实际应用问题】 18 【过关检测卷】 23 【期末题型】 【题型一 一元一次方程的定义】 例题：（23-24七年级上·四川凉山·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南商丘·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知下列方程：①；②；③；④．其中一元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则该方程的解为（    ） A． B．0 C．2 D．2或 【题型二 已知一元一次方程的解求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级上·浙江·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则 ． 2．（23-24七年级上·福建福州·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【题型三 等式的基本性质】 例题：（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）下列等式变形正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）中央电视台某节目中，有一期的节目如图所示，两个天平都平衡，则与1个球体相等质量的正方体的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）已知，下列等式的变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列等式的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【题型四 解一元一次方程】 例题：（23-24七年级上·湖北随州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）解方程： (1) (2) 2．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）解下列方程 (1) (2) 3．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）解方程： (1) (2) 【题型五 解一元一次方程中的错解复原问题】 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：，（第一步） ，（第二步）  ，（第三步） ，（第四步）  ．（第五步） (1)任务一：填空．①以上求解步骤中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：请写出该方程正确的解题过程． (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小童同学的解题过程： 解方程： 解：去分母，得：………………① 去括号，得：………………② 移项，得：………………③ 合并同类项，得：………………④ 两边都除以4得：………………⑤ (1)上述小童的解题过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请写出正确的解题过程． 2．（23-24七年级上·河南许昌·期末）本学期学了一元一次方程的解法，下面是小亮同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得，……………………第一步 去括号，得，……………………第二步 移项，得，……………………第三步 合并同类项，得，……………………第四步 系数化为1，得．……………………第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； (2)第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (3)请直接写出该方程正确的解是 ； (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【题型六 新定义型一元一次方程的求解问题】 例题：（23-24七年级上·四川成都·期末）对于有理数，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①；②； (2)若是关于的一元一次方程的解，求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值； (3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【题型八 求含字母参数的方程的解】 例题：（22-23七年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 2．（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知关于x的一元一次方程 的解为 2023，那么关于y的一元一次方程 的解为 【题型九 含字母参数方程的解为整数解的问题】 例题：（23-24七年级上·重庆巴南·期末）已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为 ． 【变式训练】 1．（23-24六年级上·山东威海·期末）在等式中，若x为整数且a为正整数，则a的值为 ． 2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）若关于的一元一次方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【题型十 一元一次方程实际应用问题】 例题：（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，点B位于点A左侧，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； (2)若P，Q两点同时出发，动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？ ②当点Q到达点A后立即原速返回，其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值． 【变式训练】 1．（23-24六年级上·山东威海·期末）甲、乙两辆汽车分别从相距340千米的A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．行驶2小时后，甲车到达C地，并停车休息，此时两车相距40千米，乙车继续行驶，小时后也到达C地．乙车到达C地后未做停留继续匀速开往A地，甲车在C地休息1小时后按原速度开往B地． (1)由题意可求得甲车的速度为 千米/小时，乙车的速度为 千米/小时； (2)求两车出发多少小时相距140千米．（列方程解决） 2．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 商品种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 22 29 乙 30 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售且全部售完，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）2022 年我市在进行“全国文明城市”创城期间，某校策划了“文明城、共参与”的知识竞赛，七（1） 班为了给参赛同学准备奖品，让班长为班级购买奖品，下面是班长购买奖品后与生活委员的对话： (1)请用方程的知识帮助班长计算一下，为什么说班长搞错了； (2)班长连忙拿出发票，发现的确错了因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只记得是元或元，那么笔记本的单价是多少元？ 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24七年级上·广东珠海·期末）下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24七年级上·河南许昌·期末）已知是关于x的方程的解，则k的值为（   ） A． B．2 C． D．10 4．（23-24七年级上·云南楚雄·期末）对于任意两个有理数a，b，规定：．若，则x的值为（　　） A．2 B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知是不为的整数，并且关于x的方程有整数根，则a的值共有（    ）个． A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 7．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？译文：“用一根绳子去量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？设井深x尺，可列方程为 ． 8．（23-24七年级上·福建莆田·期末）若是关于x的方程的解，则代数式的值是 ． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解 ． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·河南新乡·期末）解方程： (1)． (2)． 12．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）下面是小明同学书写的解方程的过程，请你认真看他的解方程过程，并完成下面的任务． 解：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五步 任务一：填空： （1）以上解题过程中，第一步是依据 （性质）进行变形的；第二步是依据 （运算律）进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这步的错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该方程的正确解： ． 13．（23-24七年级上·河南许昌·期末）若关于x的方程的解与的解的和为7，求m的值． 14．（23-24七年级上·广东东莞·期末）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和谐方程”． (1)试判断方程是不是“和谐方程”； (2)若，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由． 15．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A，两种商品进行特价促销，己知购进了A，两种商品，其中A种商品每件的进价比种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进种商品3件的进价相同． (1)求A，两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该购物平台从厂家购进了A，两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价进行标价；B种商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A，两种商品，则全部售完共可获利多少元？ 16．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，C是线段上一点，，点M从点A出发，沿以的速度匀速向点B运动．点N从点C出发，沿以的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点M比点N先到．设点M出发时间为． (1)求线段的长； (2)是否存在某个时刻，点C恰好是线段的中点？如果存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由； (3)求点M与点N重合时（未到达点B），t的值； (4)直接写出点M与点N相距时，t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次方程期末复习之十大题型 目录 【题型一 一元一次方程的定义】 1 【题型二 已知一元一次方程的解求参数或代数式的值】 3 【题型三 等式的基本性质】 4 【题型四 解一元一次方程】 6 【题型五 解一元一次方程中的错解复原问题】 8 【题型六 新定义型一元一次方程的求解问题】 12 【题型八 求含字母参数的方程的解】 15 【题型九 含字母参数方程的解为整数解的问题】 16 【题型十 一元一次方程实际应用问题】 18 【过关检测卷】 23 【期末题型】 【题型一 一元一次方程的定义】 例题：（23-24七年级上·四川凉山·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据等式两边只有一个未知数且未知数的最高指数为1的方程是一元一次方程列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，， 解得：， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南商丘·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义．解题的关键是明确一元一次方程的一般形式：（a，b是常数且），只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0．根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】A．不是一元一次方程，不符合题意； B．不是一元一次方程，不符合题意； C．不是一元一次方程，不符合题意； D．是一元一次方程，符合题意， 故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知下列方程：①；②；③；④．其中一元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一元一次方程， 则一元一次方程的个数有2个， 故选B． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则该方程的解为（    ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和绝对值等知识点，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键．根据一元一次方程的定义得出且，求出，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， ∴且和0， ∴， 方程为， 解得：． 故选：C． 【题型二 已知一元一次方程的解求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级上·浙江·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】把解代入方程，求得a值即可．本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】∵是关于的方程的解， ∴ 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把代入，解得的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴把代入 得 解得 ∴ 故答案为： 2．（23-24七年级上·福建福州·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元一次方方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．代入方程可得，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：把代入方程可得， 故答案为：4． 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，将代入方程得出，得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：将代入方程 得， 即， ∴． 故答案为：2020． 【题型三 等式的基本性质】 例题：（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）下列等式变形正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】 本题考查等式的性质，根据等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，故选项错误； B、若，且时，则，故选项错误； C、若，且时，则，故选项错误； D、若，则，故选项正确； 故选D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）中央电视台某节目中，有一期的节目如图所示，两个天平都平衡，则与1个球体相等质量的正方体的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设一个球体的质量为x， 一个圆锥体的质量为y， 一个正方体的质量为z，则，，进而可得． 【详解】解：设一个球体的质量为x， 一个圆锥体的质量为y， 一个正方体的质量为z， 从第一个天平可知：， 从第二个天平可知，， 由以上两式可知，， 故和1个球体质量相等的正方体个数为2． 故选：C． 2．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）已知，下列等式的变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的性质一：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．据此即可解答． 【详解】解：等号两侧同时乘以，再同时加上1，可得，故A选项变形一定成立； 当时，等号两侧同时除以，可得，故B选项变形不一定成立； 等号两侧同时乘以，可得，故C选项变形一定成立； ，因此等号两侧同时除以，可得，故D选项变形一定成立； 故选：B． 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列等式的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果，那么，则A符合题意； 如果，那么，则B不符合题意； 如果，当时，，可能不相等，则C不符合题意； 如果，时，，则D不符合题意； 故选：A． 【题型四 解一元一次方程】 例题：（23-24七年级上·湖北随州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （）按照移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴． （2）解：， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查解一元一次方程： （1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （2） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． 3．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查解一元一次方程： （1）去分母，移项，合并，系数化1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，求解即可． 【详解】（1）解：去分母，得：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：； （2）去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并得：． 【题型五 解一元一次方程中的错解复原问题】 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：，（第一步） ，（第二步）  ，（第三步） ，（第四步）  ．（第五步） (1)任务一：填空．①以上求解步骤中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：请写出该方程正确的解题过程． (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立（或“等式的性质二”）； ②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (2)，正确的解题过程见解析 (3)解一元一次方程时，移项时注意变号（答案不唯一） 【分析】（1）根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （3）解一元一次方程时，移项时注意变号 【详解】（1）本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 解：①第一步的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立（或“等式的性质二”）； ②第二步开始出现错误；原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：； （3）解：解一元一次方程时，移项时注意变号．（答案不唯一） 【变式训练】 1．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小童同学的解题过程： 解方程： 解：去分母，得：………………① 去括号，得：………………② 移项，得：………………③ 合并同类项，得：………………④ 两边都除以4得：………………⑤ (1)上述小童的解题过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)①，利用等式的性质时漏乘 (2)见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”是解题关键． （1）根据等式的基本性质可知第①步开始出现错误，错误原因为利用等式的性质时漏乘； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：小童的解题过程从第①步开始出现错误，错误的原因是利用等式的性质时漏乘． 故答案为：①，利用等式的性质时漏乘； （2）解方程：， 解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边都除以4得：． 2．（23-24七年级上·河南许昌·期末）本学期学了一元一次方程的解法，下面是小亮同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得，……………………第一步 去括号，得，……………………第二步 移项，得，……………………第三步 合并同类项，得，……………………第四步 系数化为1，得．……………………第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； (2)第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (3)请直接写出该方程正确的解是 ； (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)一；去分母时常数项没有乘最简公分母12 (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据去分母的方法解答即可； （3）根据解一元一次方程的基本步骤即可解答； （4）结合解一元一次方程的经验，总结注意事项即可． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； （2）解：以上解题过程中从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时常数项没有乘最简公分母； 故答案为：一；去分母时常数项没有乘最简公分母； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 故答案为：； （4）解：解一元一次方程需要注意以下事项： ①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点； ②去括号时，如果括号外是“”号，括号内每一项都要变号； ③移项时，注意移动项的符号的变化． 【题型六 新定义型一元一次方程的求解问题】 例题：（23-24七年级上·四川成都·期末）对于有理数，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①；②； (2)若是关于的一元一次方程的解，求的值． 【答案】(1)①5；②； (2)的值为1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据新定义运算法则列式计算即可；②根据新定义运算法则列式计算即可； （2）根据新定义运算法则列方程计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ②， ； （2）解：分两种情况讨论： ①若，则， 解得； ②若，则， 解得； 不满足， 应舍去， 综上所述：的值为1． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值； (3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 【答案】(1)不是互为“成双方程”，理由见解析： (2)； (3)． 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“成双方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“成双方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”； 解，得：； 解，得：， ∵， 故方程与方程不是互为“成双方程”； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵方程与方程互为“成双方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵方程与互为“成双方程”， ∴的解为， ∵， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2)， (3)b的值为5或 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“伴生方程”的定义，即可得出的值； （2）根据“伴生方程”的定义，得到，，求解即可； （3）求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“伴生方程”， ∴； 故答案为：2； （2）由题意，得：，， ∴，； （3）∵， ∴， ∵的“伴生方程”是， 解得：， ∵均为整数， ∴． 【题型八 求含字母参数的方程的解】 例题：（22-23七年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据两个方程对比即可求解，解题关键是发现两个方程系数相同，利用方程同解求未知数的值． 【详解】∵的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解，得出关于y的一元一次方程中，即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程中， 解得：． 故答案为：2． 2．（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知关于x的一元一次方程 的解为 2023，那么关于y的一元一次方程 的解为 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据关于的一元一次方程的解为2023得出关于的一元一次方程中，再求出即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为2023， 关于的一元一次方程中， 解得：， 即关于的一元一次方程的解是． 故答案为：． 【题型九 含字母参数方程的解为整数解的问题】 例题：（23-24七年级上·重庆巴南·期末）已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得， ∵方程有非负整数解， ∴取，，，， ∴或，，时，方程的解都是非负整数， 则， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24六年级上·山东威海·期末）在等式中，若x为整数且a为正整数，则a的值为 ． 【答案】6或4或2 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与解法，正确得出或是解题关键．先解方程可得，再结合x为整数且a为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ∴， ∵x为整数且a为正整数， ∴或， 当时，则或， 当时，则， 则整数的取值是：2或4或6． 故答案为： 2或4或6． 2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）若关于的一元一次方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为负整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 当，即时， 解得：， 方程的解为负整数， ，，，， 解得：，0，，， ∴和为 故答案为：． 【题型十 一元一次方程实际应用问题】 例题：（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，点B位于点A左侧，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； (2)若P，Q两点同时出发，动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？ ②当点Q到达点A后立即原速返回，其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值． 【答案】(1)， (2)①当t为5或时，点P、Q两点到点A的距离相等；②在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值为5或 【分析】本题考查非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用； （1）利用非负性的性质列等式，求，再利用速度乘以时间列代数式表示点P； （2）①根据距离相等分两种情况，点Q在点A左侧和右侧，利用，分别计算即可； ②分两种情况：当点Q出发到点A的过程中与点P相遇，当点Q到达点A返回时与点P相遇，分别计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴点A、B表示的数分别是， ∴点P表示的数为 故答案为：，； （2）①点P、Q到点A的距离相等，有两种情况， 当点P与点Q在点A两侧时，即， 解得：， 当点P与点Q重合时，即， ， 解得：， ∴当t为5或时，点P、Q两点到点A的距离相等； ②分两种情况： 当点Q出发到点A的过程中与点P相遇时， 则， 当点Q到达点A返回时与点P相遇时， 则， ∴在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值为5或． 【变式训练】 1．（23-24六年级上·山东威海·期末）甲、乙两辆汽车分别从相距340千米的A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．行驶2小时后，甲车到达C地，并停车休息，此时两车相距40千米，乙车继续行驶，小时后也到达C地．乙车到达C地后未做停留继续匀速开往A地，甲车在C地休息1小时后按原速度开往B地． (1)由题意可求得甲车的速度为 千米/小时，乙车的速度为 千米/小时； (2)求两车出发多少小时相距140千米．（列方程解决） 【答案】(1)70；80； (2)出发小时或小时，两车相距140千米 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的意义，一元一次方程的意义，理解题意是解本题的关键； （1）由乙车继续行驶，小时后也到达C地可得乙车的速度,再由甲乙两车2小时行驶300千米可得甲车的速度，从而可得答案； （2）分两种情况讨论，设相遇前两车出发小时相距相距千米，设相遇前两车出发小时相距相距千米，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：由题意可得，乙车小时行驶40千米， 乙车的速度（千米/时）， ∴甲车的速度（千米/时）； 故答案为：70；80 （2）设相遇前两车出发小时相距相距千米，则 ， 解得：， 设相遇前两车出发小时相距相距千米，则 ， 解得：， 答：两车出发小时或小时相距140千米. 2．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 商品种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 22 29 乙 30 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售且全部售完，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)该超市第一次购进甲种商品150件，购进乙种商品90件 (2)以五折售出的乙商品有70件． 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． （1）设购进乙商品x件，则购进甲商品件，根据题意列方程求解即可． （2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进乙商品x件，则购进甲商品件， 依题意可知： 解得： ∴（件）， ∴该超市第一次购进甲种商品150件，购进乙种商品90件． （2）解：设以五折售出的乙商品有y件． 根据题意得： 解得： 故以五折售出的乙商品有70件． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）2022 年我市在进行“全国文明城市”创城期间，某校策划了“文明城、共参与”的知识竞赛，七（1） 班为了给参赛同学准备奖品，让班长为班级购买奖品，下面是班长购买奖品后与生活委员的对话： (1)请用方程的知识帮助班长计算一下，为什么说班长搞错了； (2)班长连忙拿出发票，发现的确错了因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只记得是元或元，那么笔记本的单价是多少元？ 【答案】(1)见解析； (2)笔记本的单价是元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设单价为6元的水笔购买了支，则单价为10元的水笔购买了支，根据总价单价数量，列出方程，解之即可得出结论； （2）设单价为6元的钢笔购买了支，笔记本的单价为元，则单价为10元的钢笔购买了支，根据总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，结合笔记本的单价是2元或3元，分别代入求出值，结合为整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设单价为6元的水笔购买了支，则单价为10元的水笔购买了支，由题意得： 解得： 又∵为整数， 不合题意， ∴班长搞错了． （2）解：设单价为6元的水笔购买了支，笔记本的单价为元，则单价为10元的水笔购买了 支，依题意得： 当时，符合题意； 当 时， 不为整数，舍去， ∴笔记本的单价是元． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24七年级上·广东珠海·期末）下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义，形如（），含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的方程即为一元一次方程，逐项判断作答即可． 【详解】解：A、 不是整式方程，不是一元一次方程，故选项A与题意不符 B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项B与题意不符；     C、最高次数是二次，不是一元一次方程，故选项C与题意不符；     D、含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，是一元一次方程，故选项D符合题意；     故选D． 2．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质．等式的性质：1、等式两边同时加上同一个数或式子，等式两边依然相等．2、等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、若，则，选项正确，不符合题意； B、若，则，选项正确，不符合题意； C、若，则，选项正确，不符合题意； D、若，且，则，原选项错误，符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级上·河南许昌·期末）已知是关于x的方程的解，则k的值为（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出k的值即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， 故选；D． 4．（23-24七年级上·云南楚雄·期末）对于任意两个有理数a，b，规定：．若，则x的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新运算的定义，得出方程是解题的关键． 根据新运算的定义，得到方程，再解这个方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ． 故选：A． 5．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知是不为的整数，并且关于x的方程有整数根，则a的值共有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及整数解，用到了分类讨论的思想． 先将方程化简，因为关于的方程：有整数解，所以必须为整数，则，，，从而得出答案． 【详解】解关于的方程：， 得， ∵有整数解， ∴是整数， ∵是不为的整数， ∴，，，有个值 故选：． 二、填空题 6．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义得到，且，即可求出m的值． 本题考查了一元一次方程的定义．注意一元一次方程的未知数的系数不为零． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ∴，且． 解得，． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？译文：“用一根绳子去量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？设井深x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据绳子的长度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺， ∴绳子的长度为尺； 又∵用绳子量井深，把绳四折来量，井外余绳一尺， ∴绳子的长度为尺． ∴根据题意可列出方程 故答案为： 8．（23-24七年级上·福建莆田·期末）若是关于x的方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．将代入原方程即可求出，然后将其整体代入求值． 【详解】解：将代入原方程可得：， ， 故答案为：3 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，理解方程的解的定义是解题的关键． 将代入方程求得m的值，再将m的值代入解关于y的方程即可． 【详解】解：将代入方程可得：，解得：， 将代入可得，解得：． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据题干定义的奇异方程，找到，之间的代数等量关系是解决问题的关键．方程的解为，因为它又是奇异方程，所以解为，两式相等即可找到，之间的代数等量关系，代入关于的方程即可求解． 【详解】解： ， ， 又 为奇异方程， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级上·河南新乡·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1． 【详解】（1）解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：； （2）解：， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 解得：． 12．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）下面是小明同学书写的解方程的过程，请你认真看他的解方程过程，并完成下面的任务． 解：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五步 任务一：填空： （1）以上解题过程中，第一步是依据 （性质）进行变形的；第二步是依据 （运算律）进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这步的错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该方程的正确解： ． 【答案】任务一：（1）等式的性质二，乘法分配律；（2）三，移项没有改变项的符号；任务二：． 【分析】本题考查了解一元一次方程． 任务一： （1）根据等式的性质及乘法运算律进行分析即可； （2）观察解不等式的步骤，找出出错的步骤，分析其原因即可； 任务二：根据去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的步骤进行计算即可． 【详解】解：任务一： （1）第一步是依据等式的性质二进行变形的；第二步是依据乘法分配律进行变形的； （2）第三步开始出现错误，这步的错误的原因是移项没有改变项的符号； 故答案为：（1）等式的性质二，乘法分配律；（2）三，移项没有改变项得符号； 任务二： 解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得． 13．（23-24七年级上·河南许昌·期末）若关于x的方程的解与的解的和为7，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程等知识点．先求出方程的解，再求出的解是，再根据题意列方程，即可求出m． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 由题意得， 解得． 14．（23-24七年级上·广东东莞·期末）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和谐方程”． (1)试判断方程是不是“和谐方程”； (2)若，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)不是 (2)有符合要求的“和谐方程”， 的值为 【分析】 本题考查一元一次方程的拓展应用，理解“和谐方程”的定义是解题的关键． （1）先求出方程的解，再根据“和谐方程”的定义判断； （2）根据“和谐方程”的定义列出关于b的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ， 方程是不是“和谐方程”； （2）解：解方程，得， 若有符合要求的“和谐方程”，则， 解得， 因此有符合要求的“和谐方程”， 的值为． 15．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A，两种商品进行特价促销，己知购进了A，两种商品，其中A种商品每件的进价比种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进种商品3件的进价相同． (1)求A，两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该购物平台从厂家购进了A，两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价进行标价；B种商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A，两种商品，则全部售完共可获利多少元？ 【答案】(1)A种商品每件的进价是120元，种商品每件的进价是80元 (2)全部售完共可获利1300元 【分析】本题考出来一元一次方程的应用等知识． （1）设A种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元，根据“购进A种商品2件与购进种商品3件的进价相同”列出方程，解方程即可求解； （2）设购买A种商品件，则购买商品件，根据“购进了A，两种商品共60件，所用资金为5800元”列出方程，求出两种商品的件数，即可求出总获利． 【详解】（1）解：设A种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， ， 答：A种商品每件的进价是120元，种商品每件的进价是80元； （2）解：设购买A种商品件，则购买商品件， 由题意得：， 解得：， ， （元）， 答：全部售完共可获利1300元． 16．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，C是线段上一点，，点M从点A出发，沿以的速度匀速向点B运动．点N从点C出发，沿以的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点M比点N先到．设点M出发时间为． (1)求线段的长； (2)是否存在某个时刻，点C恰好是线段的中点？如果存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由； (3)求点M与点N重合时（未到达点B），t的值； (4)直接写出点M与点N相距时，t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设，则，根据时间路程速度，结合点M比点N先到，得出一元一次方程，求解即可； （2）点C恰好是线段的中点得出方程，解方程即可； （3）根据路程速度时间，结合点M与点N重合，列出方程求解即可； （4）分三种情况：当点M追上点N前相距；当追上后相距；当点M到达终点，点N距离点；分别求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意可得：， 解得：， 答：的长为； （2）解：由题意可得：， 解得：， 故的值是； （3）解：由题意可得：， 解得：， 故点M与点N重合时（未到达点B），t的值为； （4）解：当点M追上点N前相距， 由题意可得：， 解得：， 当追上后相距， 由题意可得：， 解得：， 当点M到达终点，点N距离点，此时， 综上所述：或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$