八年级下学期期末考试压轴卷（范围：全册）-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

北师大教版八年级下学期期末考试压轴卷 （范围：全册，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列由左边到右边的变形，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 2．民间剪纸是劳动人民为了满足精神生活需要而创造的，具有鲜明的艺术特色和生活情趣．下列剪纸图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式的解集表示在如图所示的数轴上，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 6．对于任意正整数m，多项式不一定能被（    ） A．4整除 B．m整除 C．整除 D．整除 7．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接．则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④；其中正确结论的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10．如图1，在中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点即停止运动，设点的运动时间为的长为，表示与的函数关系的图像如图2所示，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ． 12．若式子有意义，则的取值范围是 ． 13．如图，将绕点A旋转得到，若，，，则的长为 ．    14．已知，满足，且，为等腰三角形的边长，则的周长是 ． 15．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ． 16．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是以为腰的等腰三角形，则的坐标为 ． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．（1）因式分解：； （2）解不等式组：． 18．化简求值：先化简，再从，中选择一个合适的数代入并求值． 19．在四边形中，．连结对角线交于点，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，已知，，求的长． 20．如图，在中，平分，，于点，点在上，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．观察下列各等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； (1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：__________________． (2)请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)将先向下平移5个单位，再向右平移5个单位，得到的图形，并写出点的坐标； (2)画出绕着点按顺时针方向旋转得到，请在图中画出； (3)如果将（1）中的看成是由经过一次平移得到的，请计算平移的距离． 23．端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． (1)填空： ①的度数为__________； ②线段，之间的数量关系为__________； (2)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由． 25．中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． (1)若， ①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明； (2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由） (3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由） 试卷第4页，共11页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大教版八年级下学期期末考试压轴卷 （范围：全册，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列由左边到右边的变形，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义以及因式分解的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、，正确； D、，原选项分解错误； 故选C． 2．民间剪纸是劳动人民为了满足精神生活需要而创造的，具有鲜明的艺术特色和生活情趣．下列剪纸图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，根据“旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形”判断即可． 【详解】解：A. 此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 此图形旋转后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D. 此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．若关于的不等式的解集表示在如图所示的数轴上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式得到，由数轴可知不等式得解集为，则，据此可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴可知不等式得解集为， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形，平行四边形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据为等腰三角形，，可求出，根据四边形为平行四边形即可得解． 【详解】解： 在中，， ， 又， ， 四边形为平行四边形， ． 故选：B． 5．分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果． 【详解】当时， ， 即， 解得： ， 当，时，分式的值为零 故选：D． 6．对于任意正整数m，多项式不一定能被（    ） A．4整除 B．m整除 C．整除 D．整除 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．直接套用平方差公式，整理即可判断． 【详解】解： ． 所以原式能被4整除，能被整除，能被整除．不一定能被m整除， 故选：B． 7．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握基本作图；根据角平分线的作图可判断D，根据角平分线的性质可判断B，证明，可判断A，由题目条件无法证明出，可判断C； 【详解】根据作图可知平分， ， 故D选项不符合题意； ，，平分， ， 故B选项不符合题意； ， ， ， 故A选项不符合题意； 由题目条件无法证明出，故C选项符合题意， 故选：C； 8．如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接．则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④；其中正确结论的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了平移的性质，平行线的判定，根据平移的性得到相关结论，进行逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形， ∴，， ，， ∴，，即，故①和②正确； ∵四边形的周长， ∴四边形的周长，故③正确； ∵， ∴，故④正确， 故选：D． 9．已知关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为非正数且分母不为0得到不等式组，解之可得答案． 【详解】解； 去分母得：， 解得， ∵关于x的分式方程的解为非正数， ∴， ∴且， 故选：C． 10．如图1，在中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点即停止运动，设点的运动时间为的长为，表示与的函数关系的图像如图2所示，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是动态问题的函数图象，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，化为最简二次根式，理解函数图象的含义是解本题的关键． 由图象可得：当与时，，此时，，如图，过作于，再进一步解答即可． 【详解】解：由图象可得：当与时，， ∴此时，，， 如图，过作于，    ∴， ∴， ∴； 故选C 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ． 【答案】9/九 【分析】本题考查了多边形内角和，一元一次方程的应用，掌握多边形内角和公式是解题关键．设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：9． 12．若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 【详解】解：若式子有意义， 则：， 解得：且， 故答案为：且． 13．如图，将绕点A旋转得到，若，，，则的长为 ．    【答案】4 【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 将绕点旋转得到， ， 故答案为：4 14．已知，满足，且，为等腰三角形的边长，则的周长是 ． 【答案】15 【分析】根据，即，可得，，而，为等腰三角形的边长，因此等腰三角形的第三条边的边长为6，分别计算即可．本题考查的是因式分解的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ，为等腰三角形的边长， 等腰三角形的第三条边的边长为6， 当第三条边的边长为6时，的周长为：， 故答案为：15． 15．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键． 先解不等式组，根据有且仅有4个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是正整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， 解分式方程，得：， 而分式方程的解为正整数， ∴，解得：， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，是增根，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． ∴满足条件的a只有1和， ∴满足条件的整数a的值之积为， 故答案为：． 16．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是以为腰的等腰三角形，则的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理以及等腰三角形的定义．在中，利用勾股定理找出关于的方程时解题的关键． 利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点、点的坐标．利用勾股定理可求出的长度．进而可得出的长度．设，则在中，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可得出的值，继而可得出点的坐标．进一步求得，然后分两种情况讨论求得点的坐标即可． 【详解】解：当时，， 点的坐标为：． 当时，， 解得：． 点的坐标为：． ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：． ． ． 是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形， 以和为腰，为底， 则， ， 点的坐标为：． 以和为腰，为底， ， 点是的中点， 点的坐标为：． 故答案为：或． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．（1）因式分解：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，解一元一次不等式组； （1）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解，即可求解； （2）先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 18．化简求值：先化简，再从，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式或当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质及运算法则先对分式化简，由分式有意义的条件可得，再取或代入化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ∵， ∴， 当时，原式； 当时，原式． 19．在四边形中，．连结对角线交于点，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）根据平行线的性质及三角形全等判定可知，再利用三角形全等的性质即可解答； （）根据勾股定理及全等三角形的判定与性质可知，再利用平行四边形的判定与性质可知，，最后利用平行四边形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵在四边形中，， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵在四边形中，， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，在中，平分，，于点，点在上，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)的长为3 【分析】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质． （1）用斜边，直角边证明，得到即可； （2）由，可得，设，则，，再证明，得，即，解出即可． 【详解】（1）解：，， 平分， 在和中 ， ． ； （2）由，可得 设， 则， 在和中 即 解得． 的长为3． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．观察下列各等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； (1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：__________________． (2)请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式的规律是解题的关键． （1）根据题中给出的等式的规律即可写出第4个等式； （2）根据（1）中等式的规律即可写出第n个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 故第4个等式为：． （2）第n个等式：． 证明：左边， 右边． 左边=右边， 等式成立． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)将先向下平移5个单位，再向右平移5个单位，得到的图形，并写出点的坐标； (2)画出绕着点按顺时针方向旋转得到，请在图中画出； (3)如果将（1）中的看成是由经过一次平移得到的，请计算平移的距离． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图——旋转变换和平移变换，写出平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理的应用，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义及勾股定理是解题的关键． （1）作点，，平移后的对应点，再连接即可； （2）作点，绕点旋转后的对应点，再连接即可； （3）先圈出格点直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，就是求作的图形，点的坐标为； （2）如图，就是所求作的图形； （3）圈出格点直角三角形，如图所示， ，， ∴ 23．端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)商场节后每千克A粽子的进价是10元； (2)商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意列出与的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该商场节后每千克粽子的进价是10元； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子， 由题意得：， 解得：， 设总利润为元， 由题意得：， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：该商场节前购进300千克粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． (1)填空： ①的度数为__________； ②线段，之间的数量关系为__________； (2)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，最小值为，最大值为 【分析】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆的性质定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质等知识，做题的关键是熟练掌握这些知识． （1）由条件易证明，故，，因为，所以． （2）仿照（1）中的解法可求出，证出，由为等腰直角三角形，及为中上的高，可得，从而证得． （3）如图时，因为点到点的距离是，所以点是以点为圆心，为半径的圆，当、、三点在同一条直线上时，有最小值，因为，，所以，在与中，，得，所以，，在中，，所以，，此时时，的最小值为，同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时，的最大值为：． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， 即， 在和中，， ∴， ∴，，， ∴， 在等腰直角三角形中，为斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：如图， ∵点到点的距离是， ∴点是以点为圆心，为半径的圆， 当、、三点在同一条直线上时，有最小值， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 此时时，的最小值为， 同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时， 的最大值为：． 25．中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． (1)若， ①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明； (2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由） (3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由） 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) (3)1或7 【分析】（1）①根据全等三角形的性质和平行四边形的性质直接可以得出结论； ②利用等腰三角形的判定证，根据证明，根据全等三角形的性质，结合平行四边形的性质证明即可； （2）利用证，再证全等三角形，结合平行四边形的性质即可得出结论； （3）利用（1）、（2）的结论，把，代入计算即可． 【详解】（1）①，证明如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； ②线段，，的数量关系是：， 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 由旋转可知：，， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴． （2），证明如下： ∵ ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ 由旋转可知：，， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴． （3）如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 中，，， 由，得； 如图②，，则， 中，， ∴，与矛盾，故图②中，不存在，的情况； 如图③， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ 由知，． 综上，或7． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用相关的知识是解题的关键． 试卷第4页，共11页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$