专题05导数及其应用（考题猜想，易错、好题精选6个考点40题专练）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修）

专题05导数及其应用（考题猜想，易错、好题精选6个考点40题专练） 变化的快慢与变化率 导数的运算 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值  利用导数研究曲线上某点切线方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．变化的快慢与变化率（共5小题） 1．（2023春•静安区期末）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 2．（2023春•浦东新区校级月考）已知函数是自然对数），则　　． 3．（2024•浦东新区校级模拟）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 　　． 4．（2023春•嘉定区校级期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则　　． 5．（2023春•普陀区校级期末）已知函数， （1）若时，取得极值，求实数的值； （2）当时，求在，上的最小值； （3）若对任意，直线都不是曲线的切线，求实数的取值范围． 二．导数的运算（共4小题） 6．（2024春•闵行区校级期中）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 7．（2023春•浦东新区校级期末）已知，则　　． 8．（2023春•青浦区期中）无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！ 已知函数，则它的导函数　　． 9．（2023春•浦东新区校级月考）设，，，，，则　　． 三．利用导数研究函数的单调性（共9小题） 10．（2024春•静安区校级期中）已知函数，下列判断正确的是　　 A．在定义域上为增函数 B．在定义域上为减函数 C．在定义域上有最小值，没有最大值 D．在定义域上有最大值，没有最小值 11．（2024春•宝山区校级月考）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为　　 A． B． C．，， D．，， 12．（2023春•浦东新区校级月考）定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是　　 A．（2）（3）（3）（2） B．（3）（3）（2）（2） C．（3）（2）（3）（2） D．（3）（2）（2）（3） 13．（2024春•青浦区校级期中）已知函数，则函数的单调递增区间为　 　． 14．（2023春•嘉定区校级期中）已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为　　 15．（2024春•青浦区校级月考）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 　　． 16．（2024春•宝山区校级月考）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； 17．（2024春•徐汇区校级期中）已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间，内是减函数，求的取值范围． 18．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数，，是自然对数的底数． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值． 四．利用导数研究函数的极值（共6小题） 19．（2024春•青浦区校级期中）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点（包括极大值点和极小值点）有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2024春•宝山区校级月考）设函数，若存在的极大值点，满足，则的取值范围是　 　． 21．（2023春•黄浦区校级期中）设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是　　． 22．（2024春•普陀区校级期中）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升关于行驶速度（千米小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米． （Ⅰ）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 23．（2024春•宝山区校级月考）已知函数，． （1）判断函数的奇偶性； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）记是自然对数的底数）．若对任意、，且时，均有成立，求实数的取值范围． 24．（2023春•浦东新区校级月考）已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间内有唯一极值点，解答以下问题： （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）证明：在区间内有唯一零点，且． 五．利用导数研究函数的最值（共4小题） 25．（2023春•浦东新区校级月考）若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 26．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝2lnx﹣1，g（x）＝a（x﹣m），若存在实数a＞0使y＝f（x）﹣g（x）在上有2个零点，则m的取值范围为 　 　． 27．（2023春•浦东新区校级月考）已知，若对任意，都有，则实数的取值范围是 　　． 28．（2023春•宝山区校级期中）已知正实数，满足，则的最大值为 　　． 六．利用导数研究曲线上某点切线方程（共12小题） 29．（2023春•杨浦区校级期中）设曲线在点，处的切线为．则以下说法正确的个数是　　 ①与曲线可能没有交点 ②与曲线一定只有一个交点 ③与曲线不可能有且仅有两个交点 ④与曲线可能有无穷多个交点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 30．（2023春•宝山区校级期中）若函数的图像上存在两个不同的点，，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为　　 A． B． C． D． 31．（2023春•长宁区校级期末）若直线与曲线、曲线都相切，则直线的方程为 　　． 32．（2024春•浦东新区校级期中）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．曲线在点，曲率的计算公式是，其中是的导函数．则曲线上点的曲率的最大值是 　　． 33．（2023春•普陀区校级期中）已知曲线在处的切线为，则过点且与切线垂直的直线方程为 　　． 34．（2023春•黄浦区校级月考）在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．请用函数 “近似计算” 的值为 　　（结果用分数表示）． 35．（2023春•静安区期末）已知曲线上一点，则点处的切线方程为 　　． 36．（2023春•长宁区校级期中）已知函数的导函数为，且，则在处的切线方程为 　　． 37．（2023春•杨浦区校级月考）已知直线与曲线相切，则实数　　． 38．（2023春•松江区校级期中）已知函数，若在平面直角坐标系中，所有满足（a）（b）的点都不在直线上，则直线的方程可以是 　　（写出满足条件的一个直线方程即可）． 39．（2024春•宝山区校级月考）已知的图象在，（1）处的切线与直线平行． （1）求函数的极值； （2）若，，，求实数的取值范围． 40．（2023春•浦东新区校级期末）设，函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若有零点，求实数的取值范围； （3）若有两个相异零点，，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05导数及其应用（考题猜想，易错、好题精选6个考点40题专练） 变化的快慢与变化率 导数的运算 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值  利用导数研究曲线上某点切线方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．变化的快慢与变化率（共5小题） 1．（2023春•静安区期末）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 【分析】可求出导函数，然后求出时的导数即可． 【解答】解：， 时，． 故选：． 【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的单调性，导数的物理意义，考查了计算能力，属于基础题． 2．（2023春•浦东新区校级月考）已知函数是自然对数），则　　． 【分析】根据可求导得出导函数，然后即可求出（1）的值，根据导数的定义即求出的值． 【解答】解：， （1）． 故答案为：． 【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，导数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 3．（2024•浦东新区校级模拟）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 　　． 【分析】设时刻水面高为，水面圆半径为，用表示，求出圆锥中水的体积，根据杯中水的体积列方程求出关于的函数，利用导数求瞬时变化率即可． 【解答】解：由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为，则，即， 则此时水的体积为， 又以的匀速往杯中注水，则此时水的体积为，即， 则，所以， 当时，（3）． 故答案为：． 【点评】本题考查了导数的概念与应用问题，是基础题． 4．（2023春•嘉定区校级期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则　　． 【分析】利用导数的定义求解即可． 【解答】解：（2），（2）， 在处的切线斜率为， （2）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题． 5．（2023春•普陀区校级期末）已知函数， （1）若时，取得极值，求实数的值； （2）当时，求在，上的最小值； （3）若对任意，直线都不是曲线的切线，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用（1），再验证在的左右两侧的符号是否异号即可； （2）对于分类讨论当时与时，利用的单调性即可得出； （3）任意，直线都不是曲线的切线，对恒成立，即的最小值大于，解出即可． 【解答】解：（1），又时取得极值， （1），解得． ． 当时，； 当时，． 在时取得极小值，故符合． （2）当时，对，恒成立，在，上单调递增， ， 当时，由解得， 若，则， 在上单调递减． 若，则， 在上单调递增． 在时取得极小值，也是最小值，即． 综上所述，． （3）任意，直线都不是曲线的切线， 对恒成立， 即的最小值大于， 而的最小值为， ，故． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题． 二．导数的运算（共4小题） 6．（2024春•闵行区校级期中）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【分析】对于①，举例，设，，是偶函数，不是奇函数，①为假命题；对于②，举例，设，则，为常数），显然不是周期函数，②为假命题． 【解答】解：对于①，若为偶函数，则不一定为奇函数，如，是偶函数，不是奇函数，①是假命题； 对于②，令，则，为常数），显然不是周期函数，②是假命题． 故选：． 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，偶函数和奇函数的定义，周期函数的定义，考查了计算能力，属于中档题． 7．（2023春•浦东新区校级期末）已知，则　　． 【分析】利用复合函数的导数求法求解． 【解答】解：令，则，； ． 故答案为：． 【点评】本题考查的复合函数的导数，属于基础题． 8．（2023春•青浦区期中）无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！ 已知函数，则它的导函数　　． 【分析】根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题． 9．（2023春•浦东新区校级月考）设，，，，，则　　． 【分析】根据题意，由导数的计算公式求出，，，的解析式，分析可得，据此可得，将代入计算可得答案． 【解答】解：根据题意，由，则，，，， 则有， 则， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数的求导公式，周期函数的定义，考查了计算能力，属于中档题． 三．利用导数研究函数的单调性（共9小题） 10．（2024春•静安区校级期中）已知函数，下列判断正确的是　　 A．在定义域上为增函数 B．在定义域上为减函数 C．在定义域上有最小值，没有最大值 D．在定义域上有最大值，没有最小值 【分析】求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值． 【解答】解：，， ，令，得， 当 时，，递减． 当 时，，递增， ，无最大值． 故选：． 【点评】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． 11．（2024春•宝山区校级月考）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为　　 A． B． C．，， D．，， 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集． 【解答】解：由图象可知，在区间，上， 在区间，上， 不等式的解集为，，． 故选：． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．（2023春•浦东新区校级月考）定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是　　 A．（2）（3）（3）（2） B．（3）（3）（2）（2） C．（3）（2）（3）（2） D．（3）（2）（2）（3） 【分析】由的图象可得其导函数的符号与单调性，再由导数的几何意义判断． 【解答】解：由图可知，在上单调递增，且为上凸函数，则在大于0且单调递减， （3）（2），故错误； （2）的几何意义为在处的切线的斜率， 而（3）（2），其几何意义为割线的斜率，如图， 由图可知，（3）（2）（2），故正确，错误． 故选：． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义及应用，是基础题． 13．（2024春•青浦区校级期中）已知函数，则函数的单调递增区间为　　． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可． 【解答】解：的定义域是， ， 令，即，解得：， 故在递增， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题． 14．（2023春•嘉定区校级期中）已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为　，，，　 【分析】由原函数的单调性得到导函数的符号，把不等式转化为不等式组，求解不等式组后取并集得答案． 【解答】解：由函数图象可知的解集为：，，， 的解集为：． 由，得 ①或② 解①得：或； 解②得：． 不等式的解集为：，，，． 故答案为：，，，． 【点评】本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，训练了一元二次不等式及不等式组的解法，是基础的计算题． 15．（2024春•青浦区校级月考）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 　或　． 【分析】根据奇函数的导数为偶函数，结合已知条件得到的单调性，进而得到的符号规律，进而解不等式． 【解答】解：因为是奇函数，结合的图象可知： 在上单调递增，在，上单调递减， 故或；， 故或， 解得或． 故答案为：或． 【点评】本题考查导数与函数单调性之间的关系，以及函数的奇偶性等性质，属于中档题． 16．（2024春•宝山区校级月考）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； 【分析】（1）求出导函数，根据切线斜率和极值点列出方程组，求出，，，得到解析式； （2）令导函数大于0和小于0，求出单调区间． 【解答】解：（1）由题意，函数，可得， 因为函数在点处的切线斜率为4，且在处为驻点， 可得，即， 解得， 所以， （2）可得，令，解得：或， 当变化时，，的变换情况如下： 0 0 递增 2 递减 递增 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是． 【点评】本题主要考查了导数与单调性的关系，导数的几何意义的应用，还考查了导数与函数知识的综合应用，属于中档题． 17．（2024春•徐汇区校级期中）已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间，内是减函数，求的取值范围． 【分析】由于是高次函数，所以用导数法，先求导，令分二种情况讨论：当判别式△时为增函数，当△时，由两个不同的根，则为单调区间的分水岭． 先由函数求导，再由“函数在区间，内是减函数”转化为“在，恒成立”，进一步转化为最值问题：在，恒成立，求得函数的最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）， 当时，即时，△，，在上递增． 当时，即或时，△， 求得两根为， 即在，，上递增， 在，递减． （Ⅱ）在，恒成立． 即在，恒成立， 令，，， 则， 令，解得：，令，解得：， 故在，上为减函数，在，上为增函数， 而， 故，所以，故， 即的取值范围是，． 【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题． 18．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数，，是自然对数的底数． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值． 【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论和两种情况，求函数的单调性； （2）方程，转化为，利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，求参数的取值范围； （3）首先参变分离为，再令，，利用导数求函数的单调区间，并求函数的最小值的取值范围，即可求解的最大值． 【解答】解：（1）， 若，则恒成立，所以在上单调递增， 若，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，时，的增区间是， 当时，的减区间是，增区间是； （2）方程，显然当时，方程不成立，则，， 若方程有两个不等实根，即与有2个交点， 则， 当，，时，，在区间和单调递减， 并且时，，当时，； 当时，，单调递增， 时，当时，取得最小值，（1）， 画出函数的大致图象，如图所示： 由与有2个交点，得，所以的取值范围是； （3）当时，，， 所以， 当时，，， 令，， 则， 由（1）可知，在单调递增，且（1），（2）， 所以在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点， 设此零点为，则，且， 当时，，单调递减， 当，时，，单调递增， 所以的最小值为， 所以， 所以整数的最大值为2． 【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题的关键是运用参变分离，转化为函数图象的交点问题，是难题． 四．利用导数研究函数的极值（共6小题） 19．（2024春•青浦区校级期中）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点（包括极大值点和极小值点）有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据当时函数单调递增，时单调递减，可从的图象可知在内从左到右的单调性依次为增减增减，然后得到答案． 【解答】解：从的图象可知在内从左到右的单调性依次为增减增减， 根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点， 由图可知，在内只有3个极值点． 故选：． 【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题． 20．（2024春•宝山区校级月考）设函数，若存在的极大值点，满足，则的取值范围是　，　． 【分析】求出函数的导数，求出以及的值，得到关于的不等式，解出即可． 【解答】解：，， 令，解得：或， 令，解得：， 故在递增，在递减，在递增， 故是的极大值点，即， 而， 故， 即， 即， 解得：， 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题． 21．（2023春•黄浦区校级期中）设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是　或　． 【分析】把，代入到中求出函数值代入不等式中，在利用根与系数的关系化简得到关于的不等式，求出解集即可． 【解答】解：因，故得不等式． 即． 由于． 令得方程． △，，， 代入前面不等式，并化简得． 解不等式得或， 因此，实数的取值范围是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力． 22．（2024春•普陀区校级期中）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升关于行驶速度（千米小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米． （Ⅰ）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【分析】把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量即可． 求出耗油量为与速度为的关系式，再利用导函数求出的极小值判断出就是最小值即可． 【解答】解：当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 要耗油（升． 答：当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升． 当速度为千米小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得，． 令，得． 当时，，是减函数； 当时，，是增函数． 当时，取到极小值． 因为在，上只有一个极值， 所以它是最小值． 答：当汽车以80千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 【点评】本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力． 23．（2024春•宝山区校级月考）已知函数，． （1）判断函数的奇偶性； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）记是自然对数的底数）．若对任意、，且时，均有成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）分别讨论，，结合函数的奇偶性的定义，可得结论； （2）求得的导数，由极值点1可得（1），解得，求得的解析式和导数、极值，由题意可得介于极小值和极大值之间； （3）由的单调性可得对任意、，且时恒成立，可得在，递减；在，递增．再由导数判断单调性和最值，可得所求取值范围． 【解答】解：（1）当时，，满足，为偶函数； 当时，，且，没有奇偶性； （2）函数在处有极值， 可得，（1），即，解得， 所以，， 当时，，递减；当或时，，递增， 可得在处取得极小值，且为；在处取得极大值，且为， 的方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是； （3）在，递减，可得时，， ，即为， 即， 即为对任意、，且时恒成立． 所以在，递减；在，递增． 当在，恒成立时，可得，即在，恒成立． 由的导数为，可得在，递增，在，递减， 则的最大值为，则； 当在，恒成立时，可得，即在，恒成立． 由的导数为，可得在，递增，则最小值为1，则． 综上可得的取值范围是，． 【点评】本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，以及函数奇偶性的判断，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题． 24．（2023春•浦东新区校级月考）已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间内有唯一极值点，解答以下问题： （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）证明：在区间内有唯一零点，且． 【分析】（1）求出在处的导数值、函数值，利用点斜式求出切线； （2）研究导数在内的单调性、端点处函数值符号，极值的符号解决（Ⅰ），对于（Ⅱ），需研究函数的单调性、极值求解． 【解答】解：（1），故，， 故切线方程：即， （2），当时，，， （Ⅰ）①当时，，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去； ②当时，显然在上递增，又因为，， 所以在上有唯一零点，所以，；，， 所以在上有唯一极值点，符合题意， 综上，的取值范围是； （Ⅱ）由知，所以时，， 所以，，单调递减；，，，单调递增， 所以时，，则， 又因为，所以在，上有唯一零点，即在上有唯一零点， 因为，由（1）知，所以， 则， 构造，， 所以， 记，则， 显然在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增，所以，所以， 由前面讨论可知：，，且在，单调递增，所以． 【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值情况，进而解决函数零点的存在性问题，不等式的证明问题，属于难题． 五．利用导数研究函数的最值（共4小题） 25．（2023春•浦东新区校级月考）若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】把原不等式进行化简构造函数，再讨论增减性即可． 【解答】解：由题意可知，， 不等式可化简为， 设，即在上恒成立． ，令可得， 在上单调递增，单调递减． 且（1），，， ①在上，若恒成立，即，， ②在上，若，则成立，所以， 若， 即在上恒成立． 设，在上恒成立， 在上单调递增，即． 即，． 故选：． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极与最值、不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 26．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝2lnx﹣1，g（x）＝a（x﹣m），若存在实数a＞0使y＝f（x）﹣g（x）在上有2个零点，则m的取值范围为 　　． 【分析】由题意可知：原题意等价于f（x）＝2lnx﹣1与g（x）＝a（x﹣m）在内有2个交点，求y＝f（x）在x＝e处的切线方程，结合图象分析求解． 【解答】解：令y＝f（x）﹣g（x）＝0，可得f（x）＝g（x）， 原题意等价于f（x）＝2hx﹣1与g（x）＝a（x﹣m）在内内有2个交点，且a＞0， g（x）＝a（x﹣m）的横截距为m， 因为，则f（c）＝1.，即切点坐标为（e，1），切线斜率， 则切线方程为，即，即y＝f（x）在x＝c处的切线方程为， 该切线的横截距为， 结合图象可知：若f（x）＝2hx﹣1与g（x）＝a（x﹣m）在内有2个交点，则， 即m的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用函数的图象研究函数零点的方法，同时考查了利用函数思想、数形结合思想解题的能力．属于中档题． 27．（2023春•浦东新区校级月考）已知，若对任意，都有，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】，，，可得，对分类讨论，研究函数的单调性，结合已知条件：对任意，都有，即可得出实数的取值范围． 【解答】解：，，， ， 当时，，函数在，上单调递增，（1）， 时，，不满足题意，舍去． 当时，， ，即时，，函数在，上单调递增，同上，舍去． ，时，可得函数在，上单调递增，在，上单调递减， 时，函数取得极大值即最大值， ，化为：， 函数（a）在时单调递增，， ， 因此对任意，都有，则实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 28．（2023春•宝山区校级期中）已知正实数，满足，则的最大值为 　　． 【分析】由正实数，满足，变形为，，令，，利用导数研究函数的单调性可得，，可得，令，，利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论． 【解答】解：由正实数，满足， 变形为， ， 令，， ， 函数在上单调递增． ，， ， 令，， ， 时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减． 时，函数取得极大值即最大值，（2）． 即的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、构造法，考查了变形的重要性，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 六．利用导数研究曲线上某点切线方程（共12小题） 29．（2023春•杨浦区校级期中）设曲线在点，处的切线为．则以下说法正确的个数是　　 ①与曲线可能没有交点 ②与曲线一定只有一个交点 ③与曲线不可能有且仅有两个交点 ④与曲线可能有无穷多个交点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】由曲线在某点处切线的定义判断①；举例说明②③错误，④正确． 【解答】解：曲线在点，处的切线为， 必然在曲线上，且为切线与曲线的一个交点，故①错误； 与曲线不一定只有一个交点，可能有且仅有两个交点， 如图： 故②③错误； 与曲线可能有无穷多个交点，如，，，故④正确． 说法正确的个数是1个． 故选：． 【点评】本题考查过曲线上某点处的切线与曲线的位置关系，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题． 30．（2023春•宝山区校级期中）若函数的图像上存在两个不同的点，，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，原函数的导数至少存在两点处的导数值相等，才可能是“切线重合函数”，求导后举例即可判断． 【解答】解：对于，，，当时，，故函数是“切线重合函数”； 对于，，，当和时，，故函数是“切线重合函数”； 对于，，，而，则为单调函数，故不是“切线重合函数”； 对于，，，当和时，，故函数是“切线重合函数”． 故选：． 【点评】本题是新定义问题，考查了导数的几何意义，考查化归与转化思想，是中档题． 31．（2023春•长宁区校级期末）若直线与曲线、曲线都相切，则直线的方程为 　或　． 【分析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线的切点为，由此写出直线的方程，利用对应系数相等列方程组求出和的值，即可求出直线的方程． 【解答】解：设直线与曲线相切于点， 由，得，则直线的方程为，即， 设直线与曲线的切点为， 由，得，则直线的方程为，即， 所以， 解得或， 所直线的方程为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了方程思想以及运算求解能力，是中档题． 32．（2024春•浦东新区校级期中）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．曲线在点，曲率的计算公式是，其中是的导函数．则曲线上点的曲率的最大值是 　　． 【分析】由题意求得的表达式，再由基本不等式求最值即可． 【解答】解：由，得，，可得， ， 当且仅当时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题考查导数的概念及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题． 33．（2023春•普陀区校级期中）已知曲线在处的切线为，则过点且与切线垂直的直线方程为 　　． 【分析】求得，得到切线的斜率，进而求得所求直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解． 【解答】解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以所求直线的斜率为1，其方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 34．（2023春•黄浦区校级月考）在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．请用函数 “近似计算” 的值为 　　（结果用分数表示）． 【分析】由非常接近0，求出在处的切线方程，在附近用代替计算可得． 【解答】解：由，得， ，函数在点处的切线， 在附近可以用代替，即， 又非常接近0，． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，是中档题． 35．（2023春•静安区期末）已知曲线上一点，则点处的切线方程为 　　． 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案． 【解答】解：由，得， ， 曲线在点处的切线方程为， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是中档题． 36．（2023春•长宁区校级期中）已知函数的导函数为，且，则在处的切线方程为 　　． 【分析】求出原函数的导函数，可得（1）的值，再求出（3）及（3）的值，利用直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：由，得（1）， （1）（1），得（1）， ，（3），（3）． 在处的切线方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，求解（1）是关键，是中档题． 37．（2023春•杨浦区校级月考）已知直线与曲线相切，则实数　　． 【分析】设切点坐标，再由题意列关于，，的方程组，求解得答案． 【解答】解：由，得， 设切点为， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题． 38．（2023春•松江区校级期中）已知函数，若在平面直角坐标系中，所有满足（a）（b）的点都不在直线上，则直线的方程可以是 　（答案不唯一）　（写出满足条件的一个直线方程即可）． 【分析】求出原函数的导函数，利用导数可得原函数的单调性，再由可知，的图象关于对称，得到（a），代入（a）（b），结合单调性可得，从而可得满足条件的直线的方程． 【解答】解：由，得， 故在上为单调增函数， 又，故的图象关于对称， 则（a），代入（a）（b）， 可得（b），即，可得． 满足条件的一条直线方程为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查函数的性质及导数的综合运用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，是中档题． 39．（2024春•宝山区校级月考）已知的图象在，（1）处的切线与直线平行． （1）求函数的极值； （2）若，，，求实数的取值范围． 【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得，求出的导数和单调区间，即可得到所求极值； （2）设，可得，设在为增函数，设在为增函数，求得的导数，再由参数分离和构造函数，求出最值，即可得到所求的范围． 【解答】解：（1）的导数为， 可得的图象在，（1）处的切线斜率为， 由切线与直线平行，可得， 即，， ， 由，可得，由，可得， 则在递增，在递减， 可得在处取得极大值，且为，无极小值； （2）可设，若，， ，可得， 即有， 设在为增函数， 即有对恒成立， 可得在恒成立， 由的导数为得： 当，可得， 在递减，在，递增， 即有在处取得极小值，且为最小值， 可得， 解得， 则实数的取值范围是，． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和转化思想，考查不等式恒成立问题解法，运用参数分离和构造函数是解题的关键，属于中档题． 40．（2023春•浦东新区校级期末）设，函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若有零点，求实数的取值范围； （3）若有两个相异零点，，求证：． 【分析】（1）求出当 时的导数，再求切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程； （2）对讨论，分，，，可通过解方程和零点存在定理以及应用导数求极值，令极大值不小于0，即可得到； （3）原不等式， 令，则，于是．设函数．求出导数，判断单调性，由单调性即可得证． 【解答】解：在区间上，． （1）当 时，． 曲线在处的切线斜率为， 则切线方程为，即； （2）①若，有唯一零点． ②若，则，是区间上的增函数， （1），， （1），函数在区间有唯一零点． ③若，令得：． 在区间上，，函数是增函数； 在区间，上，，函数是减函数； 故在区间上，的极大值为． 由 即，解得：． 故所求实数的取值范围是． （3）证明：设，，， ，， 原不等式， ， 令，则，于是． 设函数． 求导得：， 故函数是上的增函数， （1），即不等式成立， 故所证不等式成立． 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值，考查函数的零点问题，注意运用零点存在定理，考查不等式的证明，注意构造函数应用导数判断单调性加以证明，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$