午练11 正、余弦定理在实际生活中的应用专题训练-2024-2025学年高三数学一轮复习

江苏省泗阳实验高级中学2024-2025学年高三一轮复习精品午练专题训练篇 编号0039 正余弦定理在实际生活中的应用专题训练 一单选题（共8小题，每题5分，满分为40分） 1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为（　　） A.50 m　 B.50 m C.25 m　 D. m 2．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的C处的乙船，乙船也立即朝着渔船前往营救，则( ) A. B. C. D. 3如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且角B与角D互补，则AC的长为（　　） A.7 km　 B.8 km C.9 km　 D.6 km 4．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为( ) A. B. C. D. 5．如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离,施工单位测得以下数据:两个山头的海拔高度,,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为,N点的人仰角为,以及,则M,N间的距离为( ) A. B.120m C. D.200m 6．如图所示,为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得,,,,则塔高AB为( ) A. B. C. D. 7．桂林日月塔又称金塔银塔,情侣塔,日塔别名叫金塔,月塔别名叫银塔,所以也有金银塔之称.如图1,这是金银塔中的金塔,㭉数学兴趣小组成员为测量该塔的高度,在塔底O的同一水平面上的A,B两点处进行测量,如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为60°,在B处测得塔顶P的仰角为45°,米,,则该塔的高度( ) A.米 B.米 C.50米 D.米 8．武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处,为园内的主体建筑,是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度AB,在地面上共线的三点C,D,E处分别测得点A的仰角为,,,且,则武灵丛台的高度AB约为( ) （参考数据：） A.22m B.27m C.30m D.33m 二多选题（共3小题，每题6分，满分为18分） 9.一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的（　　） A.北偏东75°　 B.南偏东15° C.东北方向　 D.东南方向 10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离12 n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是（　　） A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C.灯塔C在D处的西偏南60° D.D在灯塔B的北偏西30° 11．已知中,,,,为的角平分线,交于点E,D为中点,下列结论正确的是( ) A. B. C.的面积为 D.P在的外接圆上,则的最大值为 三填空题（共3小题，每题5分，满分为15分） 12　甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船向正北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝　　. 13　如图，某直径为5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距5海里，cos∠BAD＝－.则小岛B与小岛D之间的距离为　　海里. 14.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'约为（≈1.732）_______________ 四解答题（共2小题，每题15分，满分为30分） 15.为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与D（A，B，C，D四点共面），测得AC＝1.6 m，CD＝2 m，BD＝1.8 m，已知cos∠BDC＝－，tan∠ACD＝3. （1）求△ACD的面积； （2）求A，B两点间的距离. 16.如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC＝15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，山高为2千米. （1）船的航行速度是每小时多少千米？ （2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？ ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正余弦定理在实际生活中的应用专题训练答案 1解析：A　在△ABC中，由正弦定理得＝，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，∴AB＝＝＝50（m）. 2解析：如图，由题意，，，由余弦定理得，， 由正弦定理得，即，解得. 3解析：A　在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即AC2＝25＋64－2×5×8cos B＝89－80cos B.在△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D，即AC2＝25＋9－2×5×3cos D＝34－30cos D.因为角B与角D互补，所以cos B＝－cos D，所以－＝，解得AC＝7（km）. 4解析：由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为. 5答案：A解析：由题意,可得,,,,, 且, 在直角中,可得, 在直角中,可得, 在中,由余弦定理得, 所以. 6答案：C解析：在中,,,, 所以, 所以, 由正弦定理, 可得, 在直角中,因为 所以, 即塔高为. 7答案：B 解析：由题意可知,,, 设米,则在中,米, 在中,米. 由余弦定理可得, 即,解得. 因为米,所以米. 8答案：B 解析：由题知,设, 则,,, 又, 所以中,,① 在中,,② 联立①②,解得. 故选：B. 9解析：AB　画出示意图如图，客船半小时航行的路程为32×＝16（n mile），∴AB＝16 n mile.又BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，∴＝，∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°；当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B. 10解析：AC　由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠ABD＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24（n mile），故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝，即CD＝＝8（n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，D在灯塔B的北偏西60°处，故D错误.故选A、C. 11答案：ACD 解析：在中,由余弦定理得,, 由角平分线定理得：,,所以A正确; 由得,解得,所以B错误; ,所以C正确; 在中, 设,则,由正弦定理得： ,其中,所以D正确.故选：ACD. 12解析：如图，设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝＝，所以sin∠BAC＝.又因为0°＜∠BAC＜60°，所以∠BAC＝30°.即θ＝60°－30°＝30°，所以甲船应沿北偏东30°方向前进. 13解析：由圆的内接四边形对角互补，得∠BAD＋∠BCD＝π，cos∠BCD＝cos（π－∠BAD）＝－cos∠BAD＝，所以sin∠BCD＝＝.在△BCD中，由正弦定理得＝＝2r＝5（r为圆形海域的半径），得BD＝3，所以小岛B与小岛D之间的距离为3海里. 14解析：　如图所示，根据题意过C作CE∥C'B'，交BB'于E，过B作BD∥A'B'，交AA'于D，则BE＝100，C'B'＝CE＝.在△A'C'B'中，∠C'A'B'＝75°，则BD＝A'B'＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA'－CC'＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100（＋1）＋100≈373. 15解：（1）如图所示，因为tan∠ACD＝3，可得sin∠ACD＝， 所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝（m2）. （2）因为tan∠ACD＝3， 所以cos∠ACD＝， 所以AD2＝1.62＋22－2×1.6×2×＝5.76，则AD＝2.4， 因为cos∠ADC＝＝， 所以sin∠ADC＝， 又cos∠BDC＝－， 所以∠ADB＝， 所以AB＝＝＝3（m）. 16解：（1）在△BCP中，tan∠PBC＝， 所以BC＝2. 在△ABC中，∠BCA＝60°－15°＝45°， 由正弦定理，得＝， 即＝， 所以AB＝2（＋1），船的航行速度是每小时6（＋1）千米. （2）在△BCD中，易求得DB＝＋1， 又BC＝2，∠DBC＝60°， 由余弦定理，得CD2＝BD2＋CB2－2BD·CBcos∠DBC＝6， 所以CD＝， 在△BCD中，由正弦定理，得＝⇒sin∠CDB＝， 又∠CDB＜120°， 所以∠CDB＝45°， 所以山顶位于D处南偏东45°. ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$