精品解析：陕西省西安市第一中学2024届高三数学模拟预测文科数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟试题 文科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：高考范围． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 三个数，，之间的大小关系是 A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，若，则（ ）. A. B. C. 3 D. 1 6. 已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）． A. 2 B. C. D. 7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 A. 2 B. 4 C. 10 D. 28 8. 已知数列满足，且，，则数列前6项的和为（ ）. A. 115 B. 118 C. 120 D. 128 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形（矩形中的阴影部分为半圆），一个半圆组成，从该图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为 A. B. C. D. 11. 在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 12. 关于函数有下列结论，正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的最小值为 D. 函数的增区间为， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 曲线在点处的切线方程为______. 14. 已知等差数列的前n项和为，若，，则__________． 15. 若正实数，满足，则的最小值为_____________. 16. 直线与双曲的左支、右支分别交于A，B两点，F为右焦点，若，则该双曲线的离心率为____________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 的内角所对的边分别是，已知. (1)求； (2)若的面积为，，，求，. 18. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8 用户数量y（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2 已知x与y线性相关. （1）求y关于x的经验回归方程（，）； （2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 19. 如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积. 20. 已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． （1）求的标准方程； （2）设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 21. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）证明：函数仅有一个零点. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为(为参数，)，曲线的极坐标方程为. (1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2)设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值. 选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数，． （1）当时，解不等式； （2）若对于时，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟试题 文科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：高考范围． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合M，再利用集合的交集运算求解. 【详解】因为集合=或，， 所以. 故选：B. 2. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用复数乘法的运算法则进行求解即可. 【详解】. 故选：A. 3. 三个数，，之间的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出的取值范围，从而得到大小关系. 【详解】因为，考察函数的图象，当时，. 因为，考察函数的图象，当时，. 因为，考察函数的图象，当时，. 所以. 故选C. 【点睛】本题考查指数幂、对数值的大小关系，考查数形结合思想的运用，求解时注意中间变量0或1的引入，考查基本的运算求解能力. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦的二倍角公式可知，然后代入数据求解. 【详解】由正弦的二倍角公式可得， 将代入得：. 故选：D. 【点睛】本题考查争先的二倍角公式及变形运用，较简单. 5. 已知，，，若，则（ ）. A. B. C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用向量减法坐标运算法则求得,之后根据向量垂直的条件为其数量积等于零，利用向量数量积坐标公式求得结果. 【详解】， ，. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于简单题目. 6. 已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的定义知点P到焦点的距离等于到准线的距离，即可得到答案. 【详解】设点P的坐标为，有，故的最小值为． 故选：C. 7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 A. 2 B. 4 C. 10 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数运算根据流程图循环结构循环求解即可. 【详解】时，，符合题意，从而有，不符合题意， 所以，故输出4. 故选：B 8. 已知数列满足，且，，则数列前6项的和为（ ）. A. 115 B. 118 C. 120 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】由题干条件求得，得到，构造等比数列可得数列的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列前6项的和. 【详解】，则， 可得， 可化为， 有，得， 则数列前6项的和为. 故选：C 【点睛】本题考查由递推公式求数列通项公式以及求数列前n项和，属于基础题. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而得到函数的解析式. 【详解】解：由图象可得，再根据，可得， 所以， 再根据五点法作图可得，求得， 故函数的解析式为. 故选：C. 10. 某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形（矩形中的阴影部分为半圆），一个半圆组成，从该图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求图形以及阴影部分面积，再根据几何概型概率公式求结果. 【详解】设图形中等腰直角三角形的腰长为4，则图形的总面积为：， 阴影部分的面积为：， ∴该点取自阴影部分的概率为，故选D. 【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本运算求解能力，属基础题. 11. 在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】由题设底面中心到顶点的距离为，故正三棱锥的高为，设外接球的球心到底面的距离为，则由勾股定理可得，解之得，所以外接球的直径为，应选答案A． 12. 关于函数有下列结论，正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的最小值为 D. 函数的增区间为， 【答案】D 【解析】 【分析】A.由函数的奇偶性判断；B.利用特殊值判断；C.利用对数函数的值域求解判断；D.利用复合函数的单调性判断. 【详解】， 由，解得，所以函数的定义域为， 因为,所以函数为偶函数，故A错误. 因为，所以，故B错误； 因为 ，所以，故C错误； 令，如图所示： t在上递减，在上递增，又在递增，所以函数的增区间为，，故D正确； 故选：D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为,故,故,又,故在点处的切线方程为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解切线方程的问题,属于基础题. 14. 已知等差数列的前n项和为，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，求出和，再由等差数列的通项公式求出. 【详解】设数列的公差为d，由已知有，， 所以，，所以. 故答案为：. 15. 若正实数，满足，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据，利用“1”的代换，将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为 故答案为： 16. 直线与双曲的左支、右支分别交于A，B两点，F为右焦点，若，则该双曲线的离心率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先联立方程求出B两点的坐标，结合，利用斜率关系可得离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为，联立与，得， ∴，∴， 则， ∵，∴， 整理得，即，∴． 故答案为：. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 的内角所对的边分别是，已知. (1)求； (2)若的面积为，，，求，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由正弦定理得 ；（2）由，再由余弦订立的得. 试题解析： （1）由已知 结合正弦定理得 所以 即，亦即 因为，所以. （2）由，，得，即， 又，得 所以，又，∴ 18. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8 用户数量y（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2 已知x与y线性相关. （1）求y关于x的经验回归方程（，）； （2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）5.10万人 【解析】 【分析】（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，继而易得，从而得出答案； （2）代入（1）得到的回归方程即可得出结论. 【小问1详解】 由， ， 有， ， 故y关于x的经验回归方程为； 【小问2详解】 由（1）知经验回归方程为，当时，， 所以预测该月的用户数量为5.10万人 19. 如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 连接，由题可知，， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以四边形为菱形，从而， 同理可证，因此， 由于四边形为正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，平面， ∴，又，平面，平面， 故平面，平面， 所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得平面，从而得到，再运用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得； （2）由等积转换法可知，然后利用锥体的体积公式即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， . 所以，三棱锥的体积为. 20. 已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． （1）求的标准方程； （2）设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得，，设点， 则，， ，， ， 为定值． 【解析】 【分析】（1）由离心率，椭圆的性质列方程组计算即可； （2）设点，由斜率的定义表示出，，再结合点在椭圆上化简即可. 【小问1详解】 根据题意得，解得， 的标准方程为； 【小问2详解】 略 21. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）证明：函数仅有一个零点. 【答案】（1） （2） ， 函数的定义域为，且.设， 则. 当时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，（当且仅当时取等号）. 即当时，（当且仅当时取等号）. 所以函数在上单调递增，至多有一个零点. 因为是函数唯一的零点. 所以函数仅有一个零点. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导函数，得出其单调性，从而得出函数的最小值. （2）设，求出大导函数，得出其单调性，利用零点存在原理可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为， 则，得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增； 所以当时，函数取最小值. 【小问2详解】 略 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为(为参数，)，曲线的极坐标方程为. (1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2)设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值. 【答案】（1），；（2）8． 【解析】 【详解】试题分析：(1)利用平方关系消参化简直线的参数方程，利用，化简极坐标方程;(2)巧用韦达定理求的长度. 试题解析： (1)由消去得， 所以直线的普通方程为. 由得， 把，代入上式，得， 所以曲线的直角坐标方程为. (2)将直线的参数方程代入，得， 设两点对应的参数分别是， 则，， 所以， 当时，的最小值为8. 选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数，． （1）当时，解不等式； （2）若对于时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）当时，不等式为，分三段，，分别讨论求解不等式； （2）当时，原问题转化为对于恒成立，由不等式的恒成立思想可得答案. 【详解】解：（1）当时，不等式为， 当时，，即，所以； 当时，，即，解得，∴； 当时，，即，所以； ∴不等式的解集为． （2）当时，即，即对于恒成立， 即对于恒成立，而当时，， ∴． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，由不等式恒成立求参数的范围，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $