精品解析：2024年广东省东莞市中考三模数学试题

2023—2024学年度第二学期初三第三次中考模拟考试 九年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时90分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的考号、班级、姓名、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在考号栏相应位置填涂对应的数字． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液黑色字迹的钢笔或签字笔．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 的相反数是（　　） A B. C. D. 2023 2. 2008年5月，汶川大地震，土耳其向我国捐赠人民币约1400万元．2023年2月，土耳其工地震，我国首批援助土耳其人民币4000万元，可谓“滴水之恩，当涌泉相报”！请将“4000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校团委组织“青春无悔，展示风采”主题演讲活动，如表是八年一班的得分情况：数据，，，，的中位数是（ ） 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 A. B. C. D. 6. 如图，A、B、C、D为一个正多边形顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 8. 若有意义，则实数x的取值范围为( ) A. B. C. D. 9. 不等式组的整数解的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是___________ 13. 如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=22°，那么∠2的度数为______． 14. 如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若，则等于______． 15. 如图，在正方形中，对角线的长为，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则图中阴影部分的面积为__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． （1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：AD＝AE． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行（以下简称“成都大运会”），这是成都第一次举办世界性综合运动会．某校为了解同学们对“成都大运会”竞赛项目的知晓情况，对部分同学进行了随机抽样调查，结果分为四种类型：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 知晓情况 人数 A．非常了解 4 B．比较了解 18 C．基本了解 m D．不了解 5 根据图表信息，解答下列问题： （1）求本次调查的总人数及表中m的值； （2）求扇形统计图中“C”对应的扇形圆心角的度数； （3）“非常了解”的四名同学分别是，两名女生，，两名男生，若从中随机选取两名同学向全校作交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女姓的概率． 20. 为迎接“五一”国际劳动节，某市政府准备购买紫花风和洋红风两种观花树苗，用来美化某大道沿路两侧景观，在购买时发现，紫花风树苗的单价比洋红风树苗的单价高了，用元购买紫花风树苗的棵数比用元购买洋红风树苗的棵数少棵． （1）问紫花风、洋红风两种树苗单价各是多少元？ （2）现需要购买紫花风、洋红风两种树苗共棵，且购买的总费用不超过元，求至少需要购买多少棵洋红风树苗？ 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与x轴相交于点B． （1）求n和k的值； （2）如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接，求． 五、解答题（三）：本大共2小题，每小题12分，共24分． 22. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为；“一切平面图形中最美的是圆”小明决定研究一下圆，如图，是的直径，点C是上的一点，延长至点D，连接，且，过点C作于点E． （1）求证：是切线； （2）若，求证：点E是的中点； （3）在（2）的条件下，若点F是上一点(不与A、B、C重合)，求的值 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，D为第一象限的抛物线上一点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）求面积的最大值； （3）过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； （4）若点F为，点G为线段上一点，且四边形是平行四边形，直接写出D的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期初三第三次中考模拟考试 九年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时90分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的考号、班级、姓名、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在考号栏相应位置填涂对应的数字． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液黑色字迹的钢笔或签字笔．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：的相反数为2023． 故选：D 2. 2008年5月，汶川大地震，土耳其向我国捐赠人民币约1400万元．2023年2月，土耳其工地震，我国首批援助土耳其人民币4000万元，可谓是“滴水之恩，当涌泉相报”！请将“4000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】4000万即用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果． 【详解】解：4000万即的绝对值大于表示成的形式， ∵，， ∴4000万即表示成， 故选D． 【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值． 3. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图的识别，主视图即为从正面看到的图形，由此判断即可． 【详解】解：A的主视图为正方形、B的主视图为矩形，C的主视图为圆形，D的主视图为三角形， 故选：D． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、.，与不是同类二次根式； 故选：B. 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键. 5. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校团委组织“青春无悔，展示风采”主题演讲活动，如表是八年一班的得分情况：数据，，，，的中位数是（ ） 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数，解题的关键是掌握中位数的计算方法．将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数：如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将数组从小到大排序为：，，，，， 这组数总共有5个 中位数为第3个，即9.8 故选：B． 6. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论． 【详解】解：连接，， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 7. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项正确，符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． 与不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方的运算法则是解题的关键． 8. 若有意义，则实数x的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为0，二次根式内式子为非负可求得． 【详解】要使式子有意义 则 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分母不为零、二次根式有意义的条件，如本题，二次根式做分母，则要求二次根式内的式子为正数．掌握分母不为零、二次根式有意义的条件是解题的关键． 9. 不等式组的整数解的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，根据不等式组的解集确定整数解及其个数即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是：． 则整数解是2、3、4，共有3个． 故选C． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 10. 如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到， ，，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形 为正方形；故①正确； ②过作于，得到， ，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为 ，故②正确； ③连接，于是得到，即当 时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值为；故③正确； ④根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到 ，求得，根据勾股定理得到，故④正确． 【详解】解：①四边形是矩形， ， 将沿折叠得到， ，， ， ， ， ， ， 四边形矩形， ， 四边形为正方形；故①正确； ②过作于， 点，点， ，， ，， ， ， 的面积为，故②正确； ③连接， 则， 即当时，取最小值， ，， ， ， 即的最小值为；故③正确； ④， ， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式分解因式，熟练掌握因式分解的方法先提取公因式，然后利用公式因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根可得，直接求解即可． 【详解】∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得． 故答案为： 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是一元二次方程有实数根即． 13. 如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=22°，那么∠2的度数为______． 【答案】23° 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出∠3，即可求出答案． 【详解】解：如图： ∵AB∥CD，∠1=22°， ∴∠1=∠3=22°， ∴∠2=45°－22°=23°． 故答案为23°． 【点睛】本题考查平行线的性质的应用，利用数形结合求出∠3的度数是解题的关键． 14. 如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若，则等于______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】首先可求得的度数，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握和运用圆周角定理是解决本题的关键． 15. 如图，在正方形中，对角线的长为，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质和对角线的长为得出，，再用计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 即是等腰直角三角形， 又∵的长为 ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、扇形的面积公式等知识点，掌握割补法求面积是解此题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、30°角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合运算即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记30°角的余弦值是解答本题的基础． 17. 先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ∵且， ∴且， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． （1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：AD＝AE． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）按照角平分线作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 【小问1详解】 解：如图所示，CE即为所求． 【小问2详解】 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行（以下简称“成都大运会”），这是成都第一次举办世界性综合运动会．某校为了解同学们对“成都大运会”竞赛项目的知晓情况，对部分同学进行了随机抽样调查，结果分为四种类型：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 知晓情况 人数 A．非常了解 4 B．比较了解 18 C．基本了解 m D．不了解 5 根据图表信息，解答下列问题： （1）求本次调查的总人数及表中m的值； （2）求扇形统计图中“C”对应的扇形圆心角的度数； （3）“非常了解”的四名同学分别是，两名女生，，两名男生，若从中随机选取两名同学向全校作交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女姓的概率． 【答案】（1）40人， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用A对应的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出m的值即可； （2）用360度乘以C对应的人数占比即可得到答案； （3）列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 小问1详解】 解：人， ∴本次调查的总人数为40人， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中“C”对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：列表如下： 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中满足题意的结果数有8种， ∴恰好选到一名男生和一名女姓的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 为迎接“五一”国际劳动节，某市政府准备购买紫花风和洋红风两种观花树苗，用来美化某大道沿路两侧景观，在购买时发现，紫花风树苗的单价比洋红风树苗的单价高了，用元购买紫花风树苗的棵数比用元购买洋红风树苗的棵数少棵． （1）问紫花风、洋红风两种树苗的单价各是多少元？ （2）现需要购买紫花风、洋红风两种树苗共棵，且购买的总费用不超过元，求至少需要购买多少棵洋红风树苗？ 【答案】（1）紫花风树苗的单价是元，洋红风树苗的单价是元 （2）至少需要购买棵洋红风树苗 【解析】 【分析】（1）设洋红风树苗的单价是元，则紫花风树苗的单价是元，由题意：用元购买紫花风树苗的棵数比用元购买洋红风树苗的棵数少棵．列出分式方程，解方程即可； （2）设需要购买棵洋红风树苗，则购买棵紫花风树苗，由题意：购买的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 设洋红风树苗的单价是元，则紫花风树苗的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：紫花风树苗单价是元，洋红风树苗的单价是元； 【小问2详解】 设需要购买棵洋红风树苗，则购买棵紫花风树苗， 由题意得： ， 解得：， 答：至少需要购买棵洋红风树苗． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与x轴相交于点B． （1）求n和k的值； （2）如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数，得到n的值为3；再把点代入反比例函数，得到k的值为12； （2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为，过点A作轴，垂足为G，根据勾股定理得到，再根据菱形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入一次函数，得： ； ∴点， 把点代入反比例函数，得： ，解得：； 【小问2详解】 解：∵一次函数与轴相交于点B， 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 如图，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴， ∴， 在中，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 五、解答题（三）：本大共2小题，每小题12分，共24分． 22. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为；“一切平面图形中最美的是圆”小明决定研究一下圆，如图，是的直径，点C是上的一点，延长至点D，连接，且，过点C作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：点E是的中点； （3）在（2）的条件下，若点F是上一点(不与A、B、C重合)，求的值 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）要证明是的切线，只需证明，即即可； （2）利用直角三角形斜边中线的性质证明是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得到结论； （3）连接，由，，证明，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，而是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴，而， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴点E是的中点； 【小问3详解】 解：连接， 则，而，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，D为第一象限的抛物线上一点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）求面积的最大值； （3）过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； （4）若点F为，点G为线段上一点，且四边形是平行四边形，直接写出D的坐标； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）设，将点，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴于点，交于点，直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）同（2）得出，证明，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，根据得，将点D代入二次函数解析式求得t，继而求出点D得坐标． 【小问1详解】 抛物线与轴交于点，，，， 设，将点，代入， 得：， 解得：， ； 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为 ，，，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ∴， 当时，面积的最大值为； 【小问3详解】 由（2）得：， ，，， ∴ ∴在中，， ，轴， ， ， ， ， ， ，即， ， 当时，取得最大值为， ； 【小问4详解】 根据题意画出图形如下： ∵点G为线段上一点， ∴设， ∵，，F为 ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 点代入二次函数解析式得：， 解得：． ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$