2023-2024学年苏科版（2012）八年级数学上册暑假预习--11.等腰三角形的对称性（1）--等腰三角形的性质

欲为诸佛龙象，先做众生牛马。 练习主题 等腰三角形的对称性（1）--等腰三角形的性质 探索： 在△ABC中，AB=AC，沿∠BAC的平分线把△ABD翻折，因为∠BAD=∠CAD，所以AB落在射线AC上，因为AB=AC，所以点B与点C重合，从而△ABD与△ACD重合. 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 由△ABD与△ACD重合，可知∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD. 于是我们得到如下定理： 等到三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 等腰三角形底边上的高线，中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”） 例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，∠ADC=70°.求∠BAC的度数． 例2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BE=DA，CE⊥BD，垂足为E. （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数。 例3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=BC.求证：AB平分∠EAD. 对应练习： 1、如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，则∠D的度数为______. 2、如图，∠AOB=35°，CD为OA的垂直平分线，则∠ACB=_______． 第1题 第2题 第3题 3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，分别以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠BDC=______. 4、如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于______. 第4题 第5题 第6题 5、如图，已知在△ABC中，点D在边BC上.若AB=AD=DC，∠C=35°，则∠BAD=______. 6、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到C，B两点的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF，正确的有________. 巩固练习： 1、等腰三角形的两边长分别为3和7，则周长为（ ） A．13 B．17 C．13或17 D．17或11 2、如图，在△ABC中，已知AB=BC，BD是边AC上中线．若∠A=35°，则∠CBD的度数为（ ） A．35° B．55° C．65° D．110° 3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为（　　） A．30° B．36° C．45° D．50° 第2题 第3题 第4题 第5题 4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ） A．20° B．35° C．45° D．50° 5、如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：①△ABD≌△ACD ；②AD⊥BC；③∠B=∠C ；④AD是△ABC的角平分线．其中正确的有_______． 6、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DF=EF，则∠DEF=______. 7、如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，若点B′恰好落在边BC上，且AB′=CB′，则∠C′的度数为______. 第6题 第7题 第8题 8、如图，△ABC中，∠CAB=72°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C'C∥AB，则∠AB'B的度数为_______． 9、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45度，则该等腰三角形的顶角的度数为_______. 10、过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 . 11、已知∠AOB=40°，点P在射线OA上，点M在射线OB上，△OPM为等腰三角形，则∠OMP的度数为 . 12、如图，△ABC中，AB与AC的垂直平分线EF和MN分别交BC于E，N，垂足分别为F，M若∠EAN=40°，则∠BAC的度数是_______． 13、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC.若∠C=70°，∠DAC=50°，则∠EBD=______. 14、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=26°，且AD=AE，求∠AED的度数． 13、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB． （1）如果AC=6 cm，BC=8 cm，试求△ACD的周长； （2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度数． 14、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点。求证：DG垂直平分EF. 15、如图，∠ABC=90°，点D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M. （1）求证：∠FMC=∠FCM. （2）AD与MC垂直吗？并说明理由. 16、如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （l）求证：BE=CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC． ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$