2023-2024学年苏科版（2012）八年级数学上册暑假预习--10.角的对称性

欲为诸佛龙象，先做众生牛马。 练习主题 角的对称性 知识点一：角平分线的性质 OC是∠AOB的平分线，如果把∠1沿着OC翻折，因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合. 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 操作：在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA、OB的垂线PD、PC，PC与PD相等吗？ 于是，我们得到如下定理：角平分线的上到角两边的距离相等. 例1、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，∠B=∠CFD. 证明：（1）CF=EB；（2）AB=AF+2EB. 对应练习： 1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E.若BD=3，则DE的长为 . 2、如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E.若BC=7，DE=2，则△BCE的面积为 . 3、如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 . 第3题 第4题 第5题 4、如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是_______． 5、如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP的最小值为_______． 巩固练习： 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若BC=4，DE=1.6，则BD的长为 . 2、如图，△ABC的三条角平分线交于点O，OD⊥AB于点D.若△ABC的周长为45，OD=4，则△ABC的面积为 . 第1题 第2题 第3题 3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10 cm，则△DEB的周长是 cm. 4、如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD=8，则PE的最小值为_______． 5、如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8，对角线BD⊥CD，P是边BC上一动点，连接DP.若∠ADB=∠C，则DP的长的最小值为 .  第5题 第6题 6、如图，AB=AE，BC平分∠DCE，BD⊥AC，则下列结论：①∠DBC=∠ABE；②∠ABE+∠ECD=180°；③AC=2BE+CE；④AC=2CD-CE，正确的结论有_______． 7、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且DB=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断AE、AF与EB之间的数量关系，并说明理由. 知识点二：角平分线的判断 讨论：如果一个点在角的平分线上，那么这个点到角两边的距离相等；反过来，如果一个点到角的两边距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？ 如图，如图，点P为∠AOB的内部一点，PC⊥OB，PD⊥OA，垂足分别为C、D，PC=PD．OP平分∠AOB吗？ 于是，我们得到如下定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 知识点三：用直尺和圆规作出角的平分线 例1、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D点在∠BAC的平分线上。 例2、两个城镇A、B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A、B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P.（不要求写作法，保留作图痕迹.） 对应练习： 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形． （1）求证：点O在∠BAC的平分线上； （2）若AC=5，BC=12，AB=13，求OE的长． 巩固练习： 1、已知△ABC，求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且PA=PB．下列关于点P的说法正确的是（ ） A．P为∠A、∠B的平分线的交点 B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点 D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 2、到三角形三边距离相等的点是这个三角形（ ） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点 3、在三角形内部到三边距离相等的点有 个，而在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点共有 个. 4、如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB，BC，AC的距离相等，连接BO，CO，则∠BOC= °. 第4题 第5题 5、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP 相交于点P.若∠BPC=40°，则∠CAP的度数是 . 6、如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线. 7、甲村和乙村与公路a，b的位置如图所示，为了发展经济，甲、乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：①到两村的距离相等；②到两条公路的距离相等.请帮忙确定工厂的位置. 8、已知C是∠MAN的平分线上一点，∠BCD的两边CB，CD分别与射线AM，AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°，过点C作CE⊥AM，垂足为E. （1）如图①，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC； （2）如图②，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图③，在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G.若BG=1，DF=2，求线段DB的长. ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$