2023-2024学年苏科版（2012）八年级数学上册暑假预习--9.线段的对称性

欲为诸佛龙象，先做众生牛马。 练习主题 线段的对称性 知识点一：垂直平分线的性质 直线L是线段AB的垂直平分线，L交AB于点O，把OA沿直线L翻折，因为∠1=∠2=90°，OA=OB，所以OA与OB重合. 所以我们得到：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 线段AB的垂直平分线L交AB于点O，点P在L上，PA与PB相等吗？ 于是我们得到如下定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 例1、如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线． （1）若CD=10 cm，则BD=_____cm； （2）若AB+AC=8 cm，则△ABD的周长是_______． 例1 例2 例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连接AE.若∠BAE=20°，则∠C的度数是______． 对应练习： 1、如图，在△ABC中，边BC上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_______． 2、如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4 cm，△ABD的周长是14 cm，则△ABC的周长是 cm. 第2题 第3题 第4题 3、如图，线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10 cm，则点P到点B的距离为 cm. 4、如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= . 5、已知：如图，AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，求证：∠ABE=∠CDE. 知识点二：垂直平分线的判断 思考： 如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段的两端的距离相等.反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？ 于是，我们得到如下定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 例1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF. （1） 求证：AD平分∠BAC； （2） 连接EF，求证：AD垂直平分EF. 例2、用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹：一辆汽车在直线型公路AB上由点A向点B行驶，点M、N分别是位于公路AB两侧的村庄，汽车在行驶到哪一点时，与村庄M、N的距离相等？请在图上找到这一点。 对应练习： 1、到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形（ ） A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条内角平分线的交点 2、如图，AC=AD，BC=BD，∠CAD=80°，则∠ACD的度数为（ ） A．40° B．50° C．30° D．25° 3、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证： （1）△ABC≌△DCB． （2）点M在BC的垂直平分线上． 6、为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如图所示），请你用尺规作图的方法确定点P的位置（写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹）． 巩固练习： 1、如图，在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E。若△BCE的周长为17，则AC的长为（　　） A. 8   B. 9  C. 15  D. 17 2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B=34°，则∠BDC的度数是（　　） A.68° B.112° C.124° D.146° 第1题 第2题 第3题 第5题 3、如图，△ABC中，∠C=90°，ED垂直平分AB，若AC=12，EC=5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（  ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 4、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（　　） A. 锐角三角形  B. 钝角三角形 C. 直角三角形  D. 不能确定 5、如图在△ABC中，BC=8，AB，AC的垂直平分线与BC分别交于E，F两点，则△AEF的周长为（　　） A. 2  B. 4 C. 8  D. 不能确定 6、如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的动点。若AB=6，AC=4，BC=7。则△APC周长的最小值是（   ） A. 10 B. 11 C. 11.5 D. 13 7、在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是________. 第6题 第7题 第8题 8、如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=______． 9、如图，AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，连接BE，DE.若∠ABE=65°，则∠CDE的度数为=______． 10、在△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点，且DE=4，则AD+AE的值为______． 11、某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置． 12、如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD． ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$